Un esperimento sul redshift gravitazionale
Raga, mi potreste dare una mano su questo esercizio, sono completamente perso.
Consideriamo un esperimento sul redshift gravitazionale. Un fotone emesso con frequenza $f_{em}$ risale il campo gravitazionale di una stella il cui raggio di Schwarzschild è $r_s = 5104$ $m$; indicando con $x$ la distanza tra il punto di emissione del fotone e il centro della stella, e con $z$ la distanza tra la stella e la Terra, sappiamo che la formula che ci dà la frequenza ricevuta sulla Terra è
$$
f_{rec}(x,z) = \sqrt\frac{1-r_s/x}{1-r_s/z}f_{em}
$$
1) Assumendo che la distanza tra la stella e la Terra sia enorme rispetto alle altre dimensioni $r_s$ e $x$, calcolare il limite della formula precedente quando $z$ tende all'infinito
2) Usando la formula approssimata trovata nel passo precedente, calcola la frequenza ricevuta da un fotone che si trova alla distanza $x=10^5$ $m$ ed emette luce blu di frequenza $6.2*10^{14}$ $Hz$. La frequenza ricevuta è di quale colore?
3) Sempre utilizzando la formula approssimativa trovata al punto 1, calcola il limite per $x$ che tende all'infinito e spiega il significato matematico e fisico del risultato ottenuto.
4) Considerando $x$ maggiore di zero, studia la condizione di esistenza della funzione ottenuta al punto 1.
Cosa significa che $x$ non può essere più piccolo del raggio di Schwarzschild della stella?
Consideriamo un esperimento sul redshift gravitazionale. Un fotone emesso con frequenza $f_{em}$ risale il campo gravitazionale di una stella il cui raggio di Schwarzschild è $r_s = 5104$ $m$; indicando con $x$ la distanza tra il punto di emissione del fotone e il centro della stella, e con $z$ la distanza tra la stella e la Terra, sappiamo che la formula che ci dà la frequenza ricevuta sulla Terra è
$$
f_{rec}(x,z) = \sqrt\frac{1-r_s/x}{1-r_s/z}f_{em}
$$
1) Assumendo che la distanza tra la stella e la Terra sia enorme rispetto alle altre dimensioni $r_s$ e $x$, calcolare il limite della formula precedente quando $z$ tende all'infinito
2) Usando la formula approssimata trovata nel passo precedente, calcola la frequenza ricevuta da un fotone che si trova alla distanza $x=10^5$ $m$ ed emette luce blu di frequenza $6.2*10^{14}$ $Hz$. La frequenza ricevuta è di quale colore?
3) Sempre utilizzando la formula approssimativa trovata al punto 1, calcola il limite per $x$ che tende all'infinito e spiega il significato matematico e fisico del risultato ottenuto.
4) Considerando $x$ maggiore di zero, studia la condizione di esistenza della funzione ottenuta al punto 1.
Cosa significa che $x$ non può essere più piccolo del raggio di Schwarzschild della stella?
Risposte
1) basta porre $ r_s/z$ circa uguale a zero , ovvero trascurabile, e hai la formula richiesta.
2) è una applicazione numerica della formula ottenuta.
3) anche $r_s/x$ tende a zero, quando $x\rarr\infty$. Ovviamente si sta supponendo la sorgente in quiete rispetto al ricevitore. A distanza dal BN tendente ad infinito, lo spaziotempo tende a diventare piatto (piattezza asintotica, si dice). L’effetto di curvatura della materia/energia causato dal BN è praticamente limitato a un suo intorno; giusto per dare qualche numero, se abbiamo un BN di raggio $R_s$= 30 km circa (raggio dell'orizzonte degli eventi, nel buco nero di Schwarzschild), la teoria della gravitazione di Einstein si discosta dalla gravitazione di Newton fino a un migliaio di km : una bazzecola, in termini astronomici! 1000 km sono meno di tre volte la distanza Terra-Luna. Al di là di questa "distanza di sicurezza” si può tranquillamente applicare la gravitazione di Newton. Quindi, a decine e decine di migliaia di km , praticamente hai la “piattezza” a cui accennavo prima, e puoi applicare la RR se ti interessa il moto relativo tra due oggetti, e le velocita in gioco sono relativistiche.
MA la cosa divertente della RG è che puoi prendere LOCALMENTE, in un punto qualunque dello ST, un cosiddetto LIF ( Local Inertial Frame), cioè un riferimento inerziale locale, all’interno del quale, non importa quale sia la gravitá esterna , puoi ritenere valide le leggi fisiche della Relatività ristretta, dove non si considerano campi gravitazionali . In poche parole, quel LIF è come una scatola (pure abbastanza grande secondo i nostri parametri terrestri) che viene “abbandonata” nelle mani del campo gravitazionale esterno ivi esistente , e quindi si muove, rispetto a un osservatore esterno, solo in preda alla gravità e alla sua inerzia, cioè é “in caduta libera”.
Ma dentro non riscontri effetti gravitazionali : la ISS ( stazione spaziale internazionale) è un esempio di LIF , e gli oggetti dentro la ISS sono in quiete o in moto rettilineo uniforme rispetto alla ISS stessa.
Ma per capire bene queste cose ci vuole una conoscenza della Relatività alquanto profonda, e forse ti sto dicendo cose troppe avanzate.
4) se la stella si riduce per ipotesi al suo buco nero, sai che da un BN non può allontanarsi neppure la luce. Una sorgente posta dentro un BN non potrà emettere radiazione che vada all’esterno dell’orizzonte degli eventi.Non è colpa dell’intensità del campo gravitazionale, è colpa della curvatura dello ST che impedisce alla luce di uscire. LA metrica di Schwarzschild descrive lo spaziotempo vuoto attorno ad una massa sferica statica, ma per “andare dentro" al BN matematicamente parlando ci vogliono altre considerazioni. Hai mai visto questa figura?
La linea verticale a destra è la linea di universo di un astronomo “distante” , a cui arrivano raggi di luce “outgoing” , emessi periodicamente da una stella che collassa su se stessa , e , se sono soddisfatte certe condizioni sulla massa della stella (che non ti dico) , diventa un buco nero. Durante il collasso, i “coni di luce” ( concetto che si espone in relatività ristretta) per effetto della curvatura dello ST si piegano (detto in maniera semplice) verso il centro, come noti seguendo gli “ingoing light rays” . Superato l’orizzonte degli eventi , i coni di luce sono tutti piegati verso il centro, dove si trova la singolarità centrale a r=0 . Tutto questo meccanismo si spiega fisicamente e matematicamente, con procedimenti alquanto complessi. L’importante è capire che tutto ciò che entra nel BN superando l’orizzonte degli eventi non ne può più uscire, neanche la luce.
Il redshift gravitazionale fu provato sperimentalmente da Pound e Rebka negli anni ‘60 ; leggi questo link1. Vai anche a leggere la voce link 2
Su internet trovi anche tanti articoli sui BN e la metrica di Schwarzschild, ma attenzione perché ci sono pure tante sciocchezze.
Curiosità: in quale ambito è dato questo esercizio? SE devi fare un elaborato, e ci metti dentro la figura che ho postato e qualche concetto di quelli esposti , fai una bellissima figura !
2) è una applicazione numerica della formula ottenuta.
3) anche $r_s/x$ tende a zero, quando $x\rarr\infty$. Ovviamente si sta supponendo la sorgente in quiete rispetto al ricevitore. A distanza dal BN tendente ad infinito, lo spaziotempo tende a diventare piatto (piattezza asintotica, si dice). L’effetto di curvatura della materia/energia causato dal BN è praticamente limitato a un suo intorno; giusto per dare qualche numero, se abbiamo un BN di raggio $R_s$= 30 km circa (raggio dell'orizzonte degli eventi, nel buco nero di Schwarzschild), la teoria della gravitazione di Einstein si discosta dalla gravitazione di Newton fino a un migliaio di km : una bazzecola, in termini astronomici! 1000 km sono meno di tre volte la distanza Terra-Luna. Al di là di questa "distanza di sicurezza” si può tranquillamente applicare la gravitazione di Newton. Quindi, a decine e decine di migliaia di km , praticamente hai la “piattezza” a cui accennavo prima, e puoi applicare la RR se ti interessa il moto relativo tra due oggetti, e le velocita in gioco sono relativistiche.
MA la cosa divertente della RG è che puoi prendere LOCALMENTE, in un punto qualunque dello ST, un cosiddetto LIF ( Local Inertial Frame), cioè un riferimento inerziale locale, all’interno del quale, non importa quale sia la gravitá esterna , puoi ritenere valide le leggi fisiche della Relatività ristretta, dove non si considerano campi gravitazionali . In poche parole, quel LIF è come una scatola (pure abbastanza grande secondo i nostri parametri terrestri) che viene “abbandonata” nelle mani del campo gravitazionale esterno ivi esistente , e quindi si muove, rispetto a un osservatore esterno, solo in preda alla gravità e alla sua inerzia, cioè é “in caduta libera”.
Ma dentro non riscontri effetti gravitazionali : la ISS ( stazione spaziale internazionale) è un esempio di LIF , e gli oggetti dentro la ISS sono in quiete o in moto rettilineo uniforme rispetto alla ISS stessa.
Ma per capire bene queste cose ci vuole una conoscenza della Relatività alquanto profonda, e forse ti sto dicendo cose troppe avanzate.
4) se la stella si riduce per ipotesi al suo buco nero, sai che da un BN non può allontanarsi neppure la luce. Una sorgente posta dentro un BN non potrà emettere radiazione che vada all’esterno dell’orizzonte degli eventi.Non è colpa dell’intensità del campo gravitazionale, è colpa della curvatura dello ST che impedisce alla luce di uscire. LA metrica di Schwarzschild descrive lo spaziotempo vuoto attorno ad una massa sferica statica, ma per “andare dentro" al BN matematicamente parlando ci vogliono altre considerazioni. Hai mai visto questa figura?
La linea verticale a destra è la linea di universo di un astronomo “distante” , a cui arrivano raggi di luce “outgoing” , emessi periodicamente da una stella che collassa su se stessa , e , se sono soddisfatte certe condizioni sulla massa della stella (che non ti dico) , diventa un buco nero. Durante il collasso, i “coni di luce” ( concetto che si espone in relatività ristretta) per effetto della curvatura dello ST si piegano (detto in maniera semplice) verso il centro, come noti seguendo gli “ingoing light rays” . Superato l’orizzonte degli eventi , i coni di luce sono tutti piegati verso il centro, dove si trova la singolarità centrale a r=0 . Tutto questo meccanismo si spiega fisicamente e matematicamente, con procedimenti alquanto complessi. L’importante è capire che tutto ciò che entra nel BN superando l’orizzonte degli eventi non ne può più uscire, neanche la luce.
Il redshift gravitazionale fu provato sperimentalmente da Pound e Rebka negli anni ‘60 ; leggi questo link1. Vai anche a leggere la voce link 2
Su internet trovi anche tanti articoli sui BN e la metrica di Schwarzschild, ma attenzione perché ci sono pure tante sciocchezze.
Curiosità: in quale ambito è dato questo esercizio? SE devi fare un elaborato, e ci metti dentro la figura che ho postato e qualche concetto di quelli esposti , fai una bellissima figura !
Curiosità: in quale ambito è dato questo esercizio? SE devi fare un elaborato, e ci metti dentro la figura che ho postato e qualche concetto di quelli esposti , fai una bellissima figura !
Indovinato. Comunque grazie per la dettagliata spiegazione. Mi sento un po' colpa (si fa per dire) perché il livello richiesto é solamente liceale, e tutta quella roba potrebbe risultare ridondante, seppur molto interessante
Non darti pensiero, sono solito parlare tanto di un argomento se mi piace, indipendentemente dalle necessità di chi legge.
Prima di fare l'elaborato, non dimenticarti di leggere l’articolo sul red-shift gravitazionale. Ce ne sono molti altri, basta fare una ricerca su internet , digitando “gravitational redshift” . Io preferisco di solito quelli in inglese, sono fatti meglio, senza disprezzare i nostri professori italiani. E comunque ti consiglio di citare e illustrare l’esperimento di Pound-Rebka. Metti l’essenziale, non il ridondante.
Prima di fare l'elaborato, non dimenticarti di leggere l’articolo sul red-shift gravitazionale. Ce ne sono molti altri, basta fare una ricerca su internet , digitando “gravitational redshift” . Io preferisco di solito quelli in inglese, sono fatti meglio, senza disprezzare i nostri professori italiani. E comunque ti consiglio di citare e illustrare l’esperimento di Pound-Rebka. Metti l’essenziale, non il ridondante.
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