Un altro conticino di MQ (traccia)
Ciao,
siccome mi hai dato una rande mano con l'altra domanda c'è un altro dubbio che mi rimane sullo stomaco da qualche giorno (dello studio che sto facendo) ed è il seguente:
Si vuole calcolare la traccia di un operatore in E spazio dato da E1 cross E2, gli appunti dicono che la traccia in E è un numero complesso che si ottiene facendo la traccia in E1 e in E2
$Tr[F]=Tr_2{Tr_1[F]}$ (*) già qui non ho capito se sia una definizione o una dimostrazione, nella lezione non è stato chiarissimo.
Ad ogni modo svolge questo calcolo:
$Tr_2{Tr_1[f]}=sum_k_2$ quindi fa l'elemento di matrice di Tr[F], ma scusa Tr[F] è un numero mica un operatore, quindi come fa a prendere l'elemento di matrice mi pare insensato, quindi non capisco qualcosa.
Contiando arriva a $sum_(i,k) =sum_(i,k)F_(ik,ik)$ quindi in effeti mi sembra così ottenere la sommatoria degli elementi di matrice diagonale degli stati dello spazio di hilbert cross prod. quindi dimostra che è la Traccia e non (*) come scriveva all'inizio, cioè sembra che (*) sia la definizione di traccia, ma è il contrario, parto da quel conto e arrivo alla traccia a mio parere..
Mi aiuteresti? Grazie ancora $oo$
siccome mi hai dato una rande mano con l'altra domanda c'è un altro dubbio che mi rimane sullo stomaco da qualche giorno (dello studio che sto facendo) ed è il seguente:
Si vuole calcolare la traccia di un operatore in E spazio dato da E1 cross E2, gli appunti dicono che la traccia in E è un numero complesso che si ottiene facendo la traccia in E1 e in E2
$Tr[F]=Tr_2{Tr_1[F]}$ (*) già qui non ho capito se sia una definizione o una dimostrazione, nella lezione non è stato chiarissimo.
Ad ogni modo svolge questo calcolo:
$Tr_2{Tr_1[f]}=sum_k
Contiando arriva a $sum_(i,k)
Mi aiuteresti? Grazie ancora $oo$
Risposte
Ma con chi stai parlando?
"megas_archon":Mi hai fatto ridere, hai ragione. Con Filippo, il mio amico immaginario
Ma con chi stai parlando?
In realtà era una domanda che avevo inserito in un altro post ma poi l'ho scorporata, scrivevo @LoreT314
però mi sembra permanere il dubbio:
quindi fa l'elemento di matrice di Tr[F], ma scusa Tr[F] è un numero mica un operatore, quindi come fa a prendere l'elemento di matrice mi pare insensato
...Ma hai letto la risposta che ti ho dato? E' qui https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_t ... definition
La traccia parziale è una mappa lineare di tipo \(\hom(U\otimes X,U\otimes Y\) che "integra in $U$" una mappa lineare \(f : U\otimes X\to U\otimes Y\) e restituisce \(\text{tr }f \in\hom(X,Y)\). Si ottiene a partire dall'unità \(\eta : k\to U^\star\otimes U\) e dalla counità \(\epsilon : U^*\star\otimes U\to k\) ed è definita mandando \(f : U\otimes X\to U\otimes Y\) in
\[\begin{CD} X @= k\otimes X @>\eta\otimes X>> U^\star\otimes U\otimes X @>U^\star\otimes f>> U^\star\otimes U \otimes Y @>\epsilon \otimes Y>> k\otimes Y @=Y \end{CD}\] La traccia che si definisce all'asilo nido è un caso particolare di questo operatore, quando \(X=Y=k\); in quel caso, l'omomorfismo lineare \(\text{tr }f : k\to k\) è unicamente determinato da uno scalare, proprio lo scalare che la maestra dell'asilo chiama "traccia di un operatore lineare \(f : U\to U\)".
Un buon riferimento bibliografico (quello dove ho studiato io negli anni '10) è il libro di Turaev, "Quantum Invariants of Knots" https://www.amazon.com/Quantum-Invarian ... 3110221837
La traccia parziale è una mappa lineare di tipo \(\hom(U\otimes X,U\otimes Y\) che "integra in $U$" una mappa lineare \(f : U\otimes X\to U\otimes Y\) e restituisce \(\text{tr }f \in\hom(X,Y)\). Si ottiene a partire dall'unità \(\eta : k\to U^\star\otimes U\) e dalla counità \(\epsilon : U^*\star\otimes U\to k\) ed è definita mandando \(f : U\otimes X\to U\otimes Y\) in
\[\begin{CD} X @= k\otimes X @>\eta\otimes X>> U^\star\otimes U\otimes X @>U^\star\otimes f>> U^\star\otimes U \otimes Y @>\epsilon \otimes Y>> k\otimes Y @=Y \end{CD}\] La traccia che si definisce all'asilo nido è un caso particolare di questo operatore, quando \(X=Y=k\); in quel caso, l'omomorfismo lineare \(\text{tr }f : k\to k\) è unicamente determinato da uno scalare, proprio lo scalare che la maestra dell'asilo chiama "traccia di un operatore lineare \(f : U\to U\)".
Un buon riferimento bibliografico (quello dove ho studiato io negli anni '10) è il libro di Turaev, "Quantum Invariants of Knots" https://www.amazon.com/Quantum-Invarian ... 3110221837
Sì ho letto, ma per quel che ho capito non comprendo come mi aiuti nel mio quesito.
Ho capito che è quell'operatore ma in modo pratico il calcolo non vedo perché dovrebbe funzionare, quando io faccio la traccia (come elemento di matrice) devo farlo su un operatore, io ho Tr[F] che è un numero e non ho Tr come operatore, io ho un numero da quel risultato applicato ad F.
Quindi non capisco questa scrittura: $sum_k_2$. Continuo a non capire come mi aiuti il sapere che la traccia parziale è quell'operatore da te linkato con questo calcolo pratico 
.
Mi potresti spiegare questa cosa?
Ho capito che è quell'operatore ma in modo pratico il calcolo non vedo perché dovrebbe funzionare, quando io faccio la traccia (come elemento di matrice) devo farlo su un operatore, io ho Tr[F] che è un numero e non ho Tr come operatore, io ho un numero da quel risultato applicato ad F.
Quindi non capisco questa scrittura: $sum_k
.Mi potresti spiegare questa cosa?
I "numeri" sono nient'altro che endomorfismi del campo di base (che facendo tu mq, suppongo sia quello complesso)
Quello che mi sembra tu debba dimostrare, poi, è l'uguaglianza \[\mathrm{tr}^U_{X,Y}(\mathrm{tr}^V_{X\otimes U,Y\otimes U}(f)) = \mathrm{tr}^{U\otimes V}_{X,Y}(f)\] che è soddisfatta quando \(f:X\otimes U\otimes V\to Y\otimes U\otimes V\) e la traccia parziale con tutti gli indici e pedici del caso è una famiglia di mappe
\[\mathrm{tr}^U_{X,Y} : \hom_k(X\otimes U,Y\otimes U)\to \hom_k(X,Y)\]che soddisfa questi assiomi (quello che interessa a te è la seconda proprietà di vanishing, ma anche le altre sono importanti per definire la traccia).
\[\mathrm{tr}^U_{X,Y} : \hom_k(X\otimes U,Y\otimes U)\to \hom_k(X,Y)\]che soddisfa questi assiomi (quello che interessa a te è la seconda proprietà di vanishing, ma anche le altre sono importanti per definire la traccia).
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