Uguaglianza numeri complessi e surface plasmon polaritons
Salve,ho un problema di tipo più matematico che concettuale, sto affrontando l'argomento dei surface plasmon polaritons, mi sono imbattuto nella relazione da cui deriva la lunghezza di propagazione e la distanza di evanescenza nei due materiali (rispettivamente un dielettrico e un metallo), andando a considerare un caso non ideale, cioè considerando il metallo formato da parte reale ed immaginaria, si procede al calcolo dei \(\displaystyle K'_x \) e \(\displaystyle K''_x \). Vi posto in allegato il l'immagine con il procedimento fatto, il quale ho ripetuto e sono arrivato anche il alla relazione finale (cerchiata in rosso)
tramite l'uguaglianza si ricavano questi valori di \(\displaystyle K'_x \) e \(\displaystyle K''_x \), ma sinceramente non riesco a cogliere il ragionamento fatto, in particolare sull'uguaglianza dei numeri complessi. Volevo chidere se magari qualcuno avesse idee o suggerimenti in merito
Grazie mille
tramite l'uguaglianza si ricavano questi valori di \(\displaystyle K'_x \) e \(\displaystyle K''_x \), ma sinceramente non riesco a cogliere il ragionamento fatto, in particolare sull'uguaglianza dei numeri complessi. Volevo chidere se magari qualcuno avesse idee o suggerimenti in merito
Grazie mille
Risposte
Si sta supponendo che $epsilon_2$ è reale e che il coefficiente dell'immaginario di $epsilon_1$ è piccolo, cosicché è lecito trascurare contributi di ordine superiore: questo spiega la comparsa del simbolo $\cong$ al posto di $=$.
I calcoli, cioè i prodotti ed i quadrati dei numeri, sono sviluppati con le solite regole di calcolo.
E la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di $k_1$ sono determinati in maniera approssimata risolvendo semplici equazioni reali.
Quindi, dov'è il problema?
I calcoli, cioè i prodotti ed i quadrati dei numeri, sono sviluppati con le solite regole di calcolo.
E la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di $k_1$ sono determinati in maniera approssimata risolvendo semplici equazioni reali.
Quindi, dov'è il problema?
Nell'ultima parte, quella cerchiata in rosso grande, si arriva ad una eguaglianza che permette di determinare \(\displaystyle k'_x \) e \(\displaystyle k''_x \), quale ragionamento è stato fatto per dedurre che \(\displaystyle k'_x = \) \(\displaystyle \sqrt{(\epsilon'_1 \epsilon_2) \over (\epsilon'_1 + \epsilon_2)} \) e quale k''_x. Nel senso, da dove escono fuori e perchè.
Non vorrei farti dilungare molto, se riesci a spiegarmelo te ne sarei davvero grato
Non vorrei farti dilungare molto, se riesci a spiegarmelo te ne sarei davvero grato
Scusa, ma c'è scritto che:
\[
(k_x^\prime)^2 + \imath\ 2k_x^\prime k_x^{\prime \prime} \cong \frac{(\epsilon_1^\prime)^2 \epsilon_2 + \epsilon_1^\prime \epsilon_2^2}{(\epsilon_1^\prime + \epsilon_2)^2}\ \frac{\omega^2}{c^2} + \imath\ \frac{\epsilon_1^{\prime \prime} \epsilon_2^2}{(\epsilon_1^\prime + \epsilon_2)^2}\ \frac{\omega^2}{c^2}
\]
e basta separare il reale dall'immaginario, mettere in evidenza, semplificare ed usare un po' di calcolo letterale da prima superiore per ottenere i valori di \(k_x^\prime\) e \(k_x^{\prime \prime}\).
P.S.: Che notazione terribile!
\[
(k_x^\prime)^2 + \imath\ 2k_x^\prime k_x^{\prime \prime} \cong \frac{(\epsilon_1^\prime)^2 \epsilon_2 + \epsilon_1^\prime \epsilon_2^2}{(\epsilon_1^\prime + \epsilon_2)^2}\ \frac{\omega^2}{c^2} + \imath\ \frac{\epsilon_1^{\prime \prime} \epsilon_2^2}{(\epsilon_1^\prime + \epsilon_2)^2}\ \frac{\omega^2}{c^2}
\]
e basta separare il reale dall'immaginario, mettere in evidenza, semplificare ed usare un po' di calcolo letterale da prima superiore per ottenere i valori di \(k_x^\prime\) e \(k_x^{\prime \prime}\).
P.S.: Che notazione terribile!
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