Tutti gli studenti di ingegneria di tor vergata....
(o quasi) hanno fatto il primo esonero di fisica2 sabato scorso.
per sentirmi piu' tranquillo nel frattempo che escono i risultati posto un paio d'esercizi che non sono al cento percento sicuro.
Un condensatore a facce piane e parallele (avente superficie $Sigma$ e distanti $h$) viene caricato mantenendo una differenza di potenziale $V=V_A-V_B$ tra le armature. SUccessivamente una lastra di dielettrico, di costante dielettrica relativa $epsilon_r$, viene inserito tra le armature. Tale lastra ha la medesima superficie $Sigma$ delle armature e spessore $x
$C_i=epsilon_0Sigma/h,C_f=((h-x)/(epsilon_0Sigma)+x/(epsilon_0epsilon_rSigma))^-1=(epsilon_0epsilon_rSigma)/(epsilon_r(h-x)+x)$
$C_f=2C_i rArr (epsilon_0epsilon_rSigma)/(epsilon_r(h-x)+x)=2epsilon_0Sigma/h rArr x=(epsilon_rh)/(2(epsilon_r-1))=7.5mm$
carica presente allo stato finale:
$Q=C_(f) *V$
differenza di potenziale ai capi del dielettrico, che ho posto $C_2$ dove $C_f=(1/C_1+1/C_2)^-1$
$V(C_2)=Q/C_2=(C_(f)*V)/C_2=(xepsilon_rV)/(epsilon_r(h-x)+x)=75V$
per sentirmi piu' tranquillo nel frattempo che escono i risultati posto un paio d'esercizi che non sono al cento percento sicuro.
Un condensatore a facce piane e parallele (avente superficie $Sigma$ e distanti $h$) viene caricato mantenendo una differenza di potenziale $V=V_A-V_B$ tra le armature. SUccessivamente una lastra di dielettrico, di costante dielettrica relativa $epsilon_r$, viene inserito tra le armature. Tale lastra ha la medesima superficie $Sigma$ delle armature e spessore $x
$C_i=epsilon_0Sigma/h,C_f=((h-x)/(epsilon_0Sigma)+x/(epsilon_0epsilon_rSigma))^-1=(epsilon_0epsilon_rSigma)/(epsilon_r(h-x)+x)$
$C_f=2C_i rArr (epsilon_0epsilon_rSigma)/(epsilon_r(h-x)+x)=2epsilon_0Sigma/h rArr x=(epsilon_rh)/(2(epsilon_r-1))=7.5mm$
carica presente allo stato finale:
$Q=C_(f) *V$
differenza di potenziale ai capi del dielettrico, che ho posto $C_2$ dove $C_f=(1/C_1+1/C_2)^-1$
$V(C_2)=Q/C_2=(C_(f)*V)/C_2=(xepsilon_rV)/(epsilon_r(h-x)+x)=75V$
Risposte
Due dipoli di momenti $vecp_1$ e $vecp_2$ sono dispodti come in figura. Sapendo che per portare i due dipoli nella cofigurazione idicata in figura b) occorre compiere un lavoro $L$ determinare il modulo di $vecp_2$ eseguire i calcoli per $a=1m,p_1=10^-7Cm,L=5*10^-5j$
qui ho considerato $vecp_2$ mobile soggetto al campo $vecE_1$ di $vecp_1$;
$vecE_1=-p_1/(4piepsilon_0r^3)hatj
$U_i=-vecp_2*vecE_1=0
$U_f=-vecp_2(-vecp_1/(4piepsilon_0r^3))
$U_f-U_i=(p_1p_2)/(4piepsilon_0r^3)cos0°=L rArr p_2=(L4piepsilon_0(2a)^3)/(p_1)=4.5*10^-7Cm
poi c'è quello del cilindro che è il più facile lo posto giusto per chi vuole vedere come si svolge:
Un cilindro indefinito cavo, di raggio interno $2a$ e raggio esterno $3a$ è uniformemente carico con densità $rho$. si scelga l'asse x e una retta ortogonale all'asse del cilindro. a distanza a da tale asse, e parallelamente ad esso è disposto un filo rettilineo indefinito di sezione trascurabile, uniformemente carico con densità lineare $lambda$ ed intersecante l'asse x. si determini il valore di $rho$, sapendo che è nulla la risultante delle forze su una carica Q posta sull'asse x a distanza 8a dall'asse del cilindro. si eseguano i calcoli per $lambda=5*10^-8C/m, a=2cm$
$Phi_c=2rpihE rArr E2rpih=(pi(9a^2-4a^2)hrho)/(epsilon_0) rArr E_c=(5a^2rho)/(2repsilon_0)
$Phi_f=2rpihE rArr E2rpih=(lambdah)/epsilon_0 rArr E_f=lambda/(2rpiepsilon_0)
$F_1+F_2=0 rArr (Q5a^2rho)/(2epsilon_(0)8a)=-(Qlambda)/(rpiepsilon_(0)7a)rArr rho=-8/(35)*lambda/(pia^2)=-8/(35)*(5*10^-8)/(pi2^2)=-0.9(nC)/m^3
Un cilindro indefinito cavo, di raggio interno $2a$ e raggio esterno $3a$ è uniformemente carico con densità $rho$. si scelga l'asse x e una retta ortogonale all'asse del cilindro. a distanza a da tale asse, e parallelamente ad esso è disposto un filo rettilineo indefinito di sezione trascurabile, uniformemente carico con densità lineare $lambda$ ed intersecante l'asse x. si determini il valore di $rho$, sapendo che è nulla la risultante delle forze su una carica Q posta sull'asse x a distanza 8a dall'asse del cilindro. si eseguano i calcoli per $lambda=5*10^-8C/m, a=2cm$
$Phi_c=2rpihE rArr E2rpih=(pi(9a^2-4a^2)hrho)/(epsilon_0) rArr E_c=(5a^2rho)/(2repsilon_0)
$Phi_f=2rpihE rArr E2rpih=(lambdah)/epsilon_0 rArr E_f=lambda/(2rpiepsilon_0)
$F_1+F_2=0 rArr (Q5a^2rho)/(2epsilon_(0)8a)=-(Qlambda)/(rpiepsilon_(0)7a)rArr rho=-8/(35)*lambda/(pia^2)=-8/(35)*(5*10^-8)/(pi2^2)=-0.9(nC)/m^3
grazie a chi gli vuole dare un'occhiata
Il primo esercizio dovrebbe essere giusto, Michele.
Nel secondo, non mi quadra la relazione:
$vec(E_1)=-(vec(p_1))/(4piepsilon_0r^3) hatj$...
Cosa sarebbe il secondo membro di questa equazione?
Compaiono due vettori, il versore $hatj$ e il vettore $vec(p_1)$...
Nel secondo, non mi quadra la relazione:
$vec(E_1)=-(vec(p_1))/(4piepsilon_0r^3) hatj$...
Cosa sarebbe il secondo membro di questa equazione?
Compaiono due vettori, il versore $hatj$ e il vettore $vec(p_1)$...
Anche il terzo mi sembra corretto.
Anzi, ora che ci penso bisogna vedere
se le due forze agenti (nel terzo esercizio)
sono parallele o no... NON è assolutamente vero che il modulo
della somma di due vettori è la somma
dei moduli! Cosa che ha detto una volta
Quattromini all'esercitazione, che mi ha
stupito parecchio... Il procedimento è giusto comunque,
forse c'è una svista proprio nell'ultima parte.
se le due forze agenti (nel terzo esercizio)
sono parallele o no... NON è assolutamente vero che il modulo
della somma di due vettori è la somma
dei moduli! Cosa che ha detto una volta
Quattromini all'esercitazione, che mi ha
stupito parecchio... Il procedimento è giusto comunque,
forse c'è una svista proprio nell'ultima parte.
si ho modificato, naturalmente in quella relazione $p_1$ è solo il modulo
Forse nel primo esercizio non volevi scrivere $vec(p_1)$ nella
formula di $vec(E_1)$, ma $p_1$.
formula di $vec(E_1)$, ma $p_1$.
Ecco... 
mi stupisce che ti stupisce una cosa del genere!
$vecA:=(a_x,a_y)
$vecB:=(b_x,b_y)
$|vecA|+|vecB|!=|vecA+vecB| rArr sqrt(a_x^2+a_y^2)+sqrt(b_x^2+b_y^2)!=sqrt((a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2) hArr a_x-b_x!=0 vvv a_y-b_y!=0
forse c'entra qualcosa con qualche disuguaglianza notevole?
$vecA:=(a_x,a_y)
$vecB:=(b_x,b_y)
$|vecA|+|vecB|!=|vecA+vecB| rArr sqrt(a_x^2+a_y^2)+sqrt(b_x^2+b_y^2)!=sqrt((a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2) hArr a_x-b_x!=0 vvv a_y-b_y!=0
forse c'entra qualcosa con qualche disuguaglianza notevole?
Sì, infatti, presi $x,y in RR^n$, si ha:
$||\mathbf(x)+\mathbf(y)||<=||\mathbf(x)||+||\mathbf(y)||
$||\mathbf(x)+\mathbf(y)||<=||\mathbf(x)||+||\mathbf(y)||
comunque nel caso del terzo esercizio (cilindro) i campi sono entrambi normali alle superfici, che sono tra loro parallele, quindi possiamo sommare direttamente i loro moduli
Ok, se sono paralleli ed equiversi allora è corretto.
perfetto grazie geniaccio! 
Eh eh... Ma dai!!!
Tieni a mente questa formula:
dati $\mathbf(a), \mathbf(b) in RR^n$, allora
$\mathbf(||a+b||)=\mathbf(sqrt((a+b)*(a+b)))
dove al solito con $\mathbf(u*v)$ si denota
il prodotto scalare dei vettori u e v.
dati $\mathbf(a), \mathbf(b) in RR^n$, allora
$\mathbf(||a+b||)=\mathbf(sqrt((a+b)*(a+b)))
dove al solito con $\mathbf(u*v)$ si denota
il prodotto scalare dei vettori u e v.
"micheletv":
mi stupisce che ti stupisce una cosa del genere!
Aspetta... Mi sa che mi sono espresso male... E' Quattromini
che ha detto "il modulo della somma è la somma dei moduli"
mi sembra due venerdì fa all'esercitazione... E' di questa frase
che mi ero stupito!!!
:-D:-D
ahhhh, tutto chiaro adesso
sai questa formula che mi hai detto ci ho pensato su ma non riesco a capirla.. cosa significa il doppio modulo? forse si usa questa notazione per indicare il modulo di un vettore?
Sì, si usa questa notazione per indicare
la norma, modulo, intensità, lunghezza
o come la vuoi chiamare...
In fondo la formula che ho postato
non è niente di speciale, infatti
dato un vettore $vecu$, si ha: $||vecu||=sqrt(vecu*vecu)$
per il fatto che $vecu*vecu=||vecu||^2$ per come
è definito il prodotto scalare.
la norma, modulo, intensità, lunghezza
o come la vuoi chiamare...
In fondo la formula che ho postato
non è niente di speciale, infatti
dato un vettore $vecu$, si ha: $||vecu||=sqrt(vecu*vecu)$
per il fatto che $vecu*vecu=||vecu||^2$ per come
è definito il prodotto scalare.
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