Treno di Einstein
Un treno lungo L=0.5Km viaggia a v=100Km/h verso destra rispetto l'osservatore S.
All'istante t=0 dai 2 estremi del treno partono 2 segnali luminosi che raggiungono un sensore al centro del treno agli istanti t1 e t2.
Bisogna calcolare la differenza t2-t1, che dovrebbe risultare 4*10^-13, ma a me esce 1.53*10^-13 !!!
Qualcuno ottiene un risultato diverso?
Grazie
All'istante t=0 dai 2 estremi del treno partono 2 segnali luminosi che raggiungono un sensore al centro del treno agli istanti t1 e t2.
Bisogna calcolare la differenza t2-t1, che dovrebbe risultare 4*10^-13, ma a me esce 1.53*10^-13 !!!
Qualcuno ottiene un risultato diverso?
Grazie
Risposte
"matteotex":
Bisogna calcolare la differenza t2-t1, che dovrebbe risultare 4*10^-13, ma a me esce 1.53*10^-13 !!!
Qualcuno ottiene un risultato diverso?
Prova a postare il tuo procedimento.
I numeri possono essere sbagliati per tanti motivi...
BTW a me viene un risultato compatibile col tuo entro l'1%
ecco il procedimento che ho provato a seguire;
detti A',B' gli estremi del treno, nel sistema di riferimento solidale S' si trovano nelle posizioni A'(0,0,0) , B'(L,0,0), mentre O' centro del treno in S' occupa la posizione O'(L/2,0,0)
Il moto di S' rispetto al sistema s avviene nell'asse x x' a velocità v=100 Km/h, quindi le posizioni di A,B,O , osservate dal sistema in quiete S, si riducono a
$ A_x = vt $
$ B_x = L sqrt(1-beta ^2)+vt $
$ O_x=L/2 * sqrt(1-beta^2)+vt $
quindi i fronti d'onda che partono da A, B nell'istante t=0 si spostano nell'asse x con la legge
$ F_A=ct $
$ F_B= L sqrt(1-beta ^2) - ct $
ponendo $ F_A = O_x $ e $ F_B = O_x $ ottengo:
$ t_1= L/(2c) * sqrt((c-v)/(c+v)) $ (il tempo in cui il fronte d'onda che ha origine in A raggiunge O)
$ t_2 = L/(2c) * sqrt((c+v)/(c-v)) $ (" " " " " " " in B raggiunge O)
quindi $ |t_2-t_1|=L/(2c) * (sqrt((c-v)/(c+v))-sqrt((c+v)/(c-v))) = 1.5535*10^-13 $ che è il risultato incriminato...
detti A',B' gli estremi del treno, nel sistema di riferimento solidale S' si trovano nelle posizioni A'(0,0,0) , B'(L,0,0), mentre O' centro del treno in S' occupa la posizione O'(L/2,0,0)
Il moto di S' rispetto al sistema s avviene nell'asse x x' a velocità v=100 Km/h, quindi le posizioni di A,B,O , osservate dal sistema in quiete S, si riducono a
$ A_x = vt $
$ B_x = L sqrt(1-beta ^2)+vt $
$ O_x=L/2 * sqrt(1-beta^2)+vt $
quindi i fronti d'onda che partono da A, B nell'istante t=0 si spostano nell'asse x con la legge
$ F_A=ct $
$ F_B= L sqrt(1-beta ^2) - ct $
ponendo $ F_A = O_x $ e $ F_B = O_x $ ottengo:
$ t_1= L/(2c) * sqrt((c-v)/(c+v)) $ (il tempo in cui il fronte d'onda che ha origine in A raggiunge O)
$ t_2 = L/(2c) * sqrt((c+v)/(c-v)) $ (" " " " " " " in B raggiunge O)
quindi $ |t_2-t_1|=L/(2c) * (sqrt((c-v)/(c+v))-sqrt((c+v)/(c-v))) = 1.5535*10^-13 $ che è il risultato incriminato...
"matteotex":
ecco il procedimento che ho provato a seguire;
...
$ |t_2-t_1|=L/(2c) * (sqrt((c-v)/(c+v))-sqrt((c+v)/(c-v))) = 1.5535*10^-13 $ che è il risultato incriminato...
Ok, io ho seguito un procedimento diverso, e il risultato finale e' il medesimo.
(Ho scritto l'intervallo tipo-tempo che separa i due eventi della luce che raggiunge il punto medio nel sistema di riferimento del treno, e poi l'ho trasformato)
Direi che o c'e' un errore nella soluzione del libro o l'errore era nel testo...
BTW, allo scopo di verificare le soluzioni, la prossima volta e' preferibile che oltre al numero "raw" tu alleghi anche almeno la formula finale: come dicevo prima, ci sono molti motivi per cui i numeri possono essere sbagliati...
Grazie mille, anche troppo gentile!
Mi bastava sapere se qualcun'altro otteneva quel risultato numerico, ero un pò in crisi perchè a 5 giorni dall'esame cannare un esercizio semplice come questo era demoralizzante assai!
Mi bastava sapere se qualcun'altro otteneva quel risultato numerico, ero un pò in crisi perchè a 5 giorni dall'esame cannare un esercizio semplice come questo era demoralizzante assai!
"yoshiharu":
(Ho scritto l'intervallo tipo-tempo che separa i due eventi della luce che raggiunge il punto medio nel sistema di riferimento del treno, e poi l'ho trasformato)
Mannaggia, questa non l'ho capita. Io intuisco che nel sistema di riferimento del treno i due segnali non partono simultaneamente e quindi neanche arrivano simultaneamente. Perciò abbiamo due eventi espressi nel sistema di riferimento del treno come \((t'_1, L/2), (t'_2, L/2)\). Ora quello che tu chiami "intervallo tipo-tempo" sarà la differenza \(t'_2-t'_1\), immagino, e per trasformarla si dovranno applicare trasformazioni di Lorentz. Ma non capisco bene come si faccia.
Mi puoi fare vedere come si fa, per favore? Grazie!
PS.: Per inciso, ho fatto anche io i conti col metodo di Matteo e ottengo il vostro stesso risultato.
"dissonance":
Io intuisco che nel sistema di riferimento del treno i due segnali non partono simultaneamente e quindi neanche arrivano simultaneamente.
Non sottoscrivo in generale cio' che viene dopo il 'quindi'
Pero' la prima parte e' assolutamente corretta.
Perciò abbiamo due eventi espressi nel sistema di riferimento del treno come \((t'_1, L/2), (t'_2, L/2)\). Ora quello che tu chiami "intervallo tipo-tempo" sarà la differenza \(t'_2-t'_1\), immagino, e per trasformarla si dovranno applicare trasformazioni di Lorentz. Ma non capisco bene come si faccia.
Con "intervallo" in effetti intendevo proprio tutto il segmento. Mi riferivo al fatto che si tratta di due eventi che accadono nello stesso punto (nel sistema di rif. del treno).
Per calcolare i tempi di partenza dei segnali, devi calcolare qual e' la retta su cui giacciono gli eventi (sul treno) che sono simultanei secondo il riferimento della stazione. Poi fai intersecare i coni luce (essendo il problema bidimensionale si tratta di semirette) delle sorgenti con la linea di universo del punto di mezzo, per raggi che partono ai tempi che hai calcolato prima (quindi i vertici dei coni saranno a tempi diversi). Sei ancora nel riferimento del treno, avendo usato il riferimento della stazione solo per calcolare i tempi di partenza dei segnali.
In tutto questo ti puo' aiutare parecchio fare il diagrammino spazio-tempo bidimensionale.
Comunque una volta che hai le due coincidenze (cioe' il passaggio dei due segnali dal punto di mezzo) nel riferimento del treno, queste restano coincidenze pure nel riferimento della stazione, non hai che da trasformarle con la trasformazione di Lorentz appropriata, e poi fare la differenza tra i tempi di arrivo, che saranno i tempi nel riferimento della stazione.
Ci sono riuscito! Il mio risultato coincide con quello di Matteo fino alla terza cifra decimale. Grazie yoshiharu!!! E' stato un buon esercizio.
Un'ultima cosa.
Un'ultima cosa.
Comunque una volta che hai le due coincidenze [...] queste restano coincidenze pure nel riferimento della stazione[...]Cosa vuoi dire? Io veramente ho seguito questo ragionamento: nel riferimento primed del treno, i due eventi "arrivo dei segnali al centro della carrozza" sono non simultanei e avvengono nello stesso posto: chiamiamoli \((t'_1, L'/2), (t'_2, L'/2)\) (dove \(L'=0.5 \rm{km}\) è la lunghezza del treno misurata sul treno in corsa). Nel riferimento della stazione però questi due eventi non avvengono nello stesso posto. Cosa significa allora che essi "restano coincidenze"?
"dissonance":
Un'ultima cosa.Comunque una volta che hai le due coincidenze [...] queste restano coincidenze pure nel riferimento della stazione[...]Cosa vuoi dire? Io veramente ho seguito questo ragionamento: nel riferimento primed del treno, i due eventi "arrivo dei segnali al centro della carrozza" sono non simultanei e avvengono nello stesso posto: chiamiamoli \((t'_1, L'/2), (t'_2, L'/2)\) (dove \(L'=0.5 \rm{km}\) è la lunghezza del treno misurata sul treno in corsa). Nel riferimento della stazione però questi due eventi non avvengono nello stesso posto. Cosa significa allora che essi "restano coincidenze"?
Scusa, era gergale: coincidenza=intersezione tra due linee di universo (nel caso specifico, tra cono luce e linea d'universo del centro del treno). Una coincidenza e' invariante, il resto sequitur
Aaahnn ho capito. Eh si certo, perché le trasformazioni di Lorentz sono lineari. Va bene, va bene, grazie ancora!
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