Trasformazioni Canoniche e Funzioni Genertrici
Ciao a tutti,
ho un esercizio di Meccanica Analitica da proporvi.
L' esercizio chiede queste due domande ( a cui una ho già risposto):
Dato un sistema con due gradi di libertà descritto dalle coordinate canoniche $(q_1, q_2, p_1, p_2)$, verificare che la trasformazione
$Q_1 = 1/2 (q_1^2 + q_2^2)$ , $Q_2 = 1/2 (q_1^2 - q_2^2)$
$P_1 = 1/2(p_1/q_1 + p_2/q_2)$ , $P_2 = 1/2(p_1/q_1 - p_2/q_2)$
è canonica e determinare una sua funzione generatrice.
Usando le parentesi di Poisson, ho già verificato che la trasformazione è canonica; la mia domanda è: come si risolve il secondo punto?(quello che chiede di determinare una funzione generatrice)
10 Punti al migliore!
P.S. Dal momento che mi ci è voluto un bel po' a calcolarmi le parentesi di Poisson nel primo punto, non è che sapreste dirmi un modo più efficace per risolverlo? Magari cambiando coordinate passando dalle cartesiane alle polari o qualcosa del genere?
Grazie in anticipo
ho un esercizio di Meccanica Analitica da proporvi.
L' esercizio chiede queste due domande ( a cui una ho già risposto):
Dato un sistema con due gradi di libertà descritto dalle coordinate canoniche $(q_1, q_2, p_1, p_2)$, verificare che la trasformazione
$Q_1 = 1/2 (q_1^2 + q_2^2)$ , $Q_2 = 1/2 (q_1^2 - q_2^2)$
$P_1 = 1/2(p_1/q_1 + p_2/q_2)$ , $P_2 = 1/2(p_1/q_1 - p_2/q_2)$
è canonica e determinare una sua funzione generatrice.
Usando le parentesi di Poisson, ho già verificato che la trasformazione è canonica; la mia domanda è: come si risolve il secondo punto?(quello che chiede di determinare una funzione generatrice)
10 Punti al migliore!
P.S. Dal momento che mi ci è voluto un bel po' a calcolarmi le parentesi di Poisson nel primo punto, non è che sapreste dirmi un modo più efficace per risolverlo? Magari cambiando coordinate passando dalle cartesiane alle polari o qualcosa del genere?
Grazie in anticipo
Risposte
Prima di impelagarci eventualmente nei calcoli, visto che ti chiede anche la funzione generatrice penso sia inutile calcolarti le parentesi di poisson tanto che è canonica lo sai già, te lo dice nel testo. Verifichi la canonicità calcolando la funzione generatrice e fai due colpi in uno. La domanda è, cosa ti crea problemi nel calcolo di questa funzione? Lo dico perché può essere davvero fastidioso riportare tutti i calcoli qui. In sostanza ti scegli una delle varianti della funzione generatrice e fai le opportune derivate provando a integrare in forma chiusa. Se trovi delle singolarità in una provi con un'altra. Ma così ad occhio mi sembrerebbe indifferente, ma finchè non si prova difficile dirlo. Magari prova usando le $q$ e $Q$.
Il problema è che non so proprio come procedere per trovare la generatrice 
. Non è che sapresti descrivermi più o meno i passaggi da seguire per favore?
. Non è che sapresti descrivermi più o meno i passaggi da seguire per favore?
E' molto semplice impostare il problema, poi sono solo calcoli, magari lunghi, molto simili a quelli fatti per ricercare un potenziale. Ci sono in generale varie possibilità per la ricerca della generatrice, ti consiglierei di provare con una $F(q,Q)$ che risponda a queste proprietà:
$(\partial F)/(\partial q)= p$
$(\partial F)/(\partial Q)= -P$
Questa è una possibilità, anche se ovviamente puoi scegliere altre variabili. In genere è indifferente ma potresti incontrare delle singolarità in alcuni punti ed avere bisogno di provarne un'altra. Quindi visto che dici che non sai proprio come partire ti consiglio, a prescindere dall'esercizio, di guardarti l'argomento su un testo per capire da dove vengono fuori queste relazioni e come modificarle per cambiare tipo di generatrice.
PS: forse riguardando bene il tuo problema sarebbe meglio usare variabili diverse, comunque se ti crea problemi questa forma posso passarti le relazioni per le altre però capisci che avrebbe poco senso. Devi prendere l'argomento e studiartelo altrimenti poi non saprai mai come fare.
$(\partial F)/(\partial q)= p$
$(\partial F)/(\partial Q)= -P$
Questa è una possibilità, anche se ovviamente puoi scegliere altre variabili. In genere è indifferente ma potresti incontrare delle singolarità in alcuni punti ed avere bisogno di provarne un'altra. Quindi visto che dici che non sai proprio come partire ti consiglio, a prescindere dall'esercizio, di guardarti l'argomento su un testo per capire da dove vengono fuori queste relazioni e come modificarle per cambiare tipo di generatrice.
PS: forse riguardando bene il tuo problema sarebbe meglio usare variabili diverse, comunque se ti crea problemi questa forma posso passarti le relazioni per le altre però capisci che avrebbe poco senso. Devi prendere l'argomento e studiartelo altrimenti poi non saprai mai come fare.
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