Trasformazione di Penrose nello spazio piatto
Purtroppo le mie conoscenze di relatività sono piuttosto limitate, ma nonostante questo ho bisogno di capire qualcosa di una trasformazione introdotta da Penrose in questo articolo:
Conformal treatment of infinity, 1964
Mi interessa soprattutto capire la trasformazione dello spazio piatto di Minkowski introdotta a pagina 905:
\[
u=\tan p, \qquad v=\tan q \]
dove \[u, v\] sono "null coordinates" e \[p, q\] sono coordinate non fisiche. Domande:
1) Non so cosa siano le coordinate nulle. Me lo potreste spiegare oppure darmi un riferimento bibliografico? Penso che in letteratura siano note anche con qualche altro nome ("light-like coordinates", forse?), perché stranamente non ne ho trovato menzione in nessun libro consultato.
2) Una volta capita questa trasformazione, mi sapreste dire come essa cambia l'equazione delle onde? Mi interessa specialmente capire se essa viene trasformata in una equazione su una varietà compatta.
Grazie!
Conformal treatment of infinity, 1964
Mi interessa soprattutto capire la trasformazione dello spazio piatto di Minkowski introdotta a pagina 905:
\[
u=\tan p, \qquad v=\tan q \]
dove \[u, v\] sono "null coordinates" e \[p, q\] sono coordinate non fisiche. Domande:
1) Non so cosa siano le coordinate nulle. Me lo potreste spiegare oppure darmi un riferimento bibliografico? Penso che in letteratura siano note anche con qualche altro nome ("light-like coordinates", forse?), perché stranamente non ne ho trovato menzione in nessun libro consultato.
2) Una volta capita questa trasformazione, mi sapreste dire come essa cambia l'equazione delle onde? Mi interessa specialmente capire se essa viene trasformata in una equazione su una varietà compatta.
Grazie!
Risposte
Ciao Dissonance, è un po' che non ci sentiamo, da quando facevi il moderatore….
Ti rispondo per quello che so e posso. Purtroppo non riesco a visualizzare la pagina da te indicata, ma ti metto un link abbastanza completo e chiaro sull'argomento :
http://www.ift.uni.wroc.pl/~blaschke/ma ... linska.pdf
Le coordinate di Penrose, e il relativo diagramma, si possono introdurre fin da "quasi subito" in Relatività, e sono un altro esempio di coordinate utili (oltre a quelle polari) per descrivere lo spaziotempo piatto della RR : non c'è bisogno di arrivare ai buchi neri (e quindi studiare la RG) per capirle.
Si parte dall'elemento lineare dello spaziotempo piatto in coordinate polari sferiche $(t,r,\theta, \Phi)$ :
$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2sen^2\theta*d\Phi^2$
e si sostituiscono $t$ ed $r$ con due nuove coordinate $u$ e $v$ definite da :
$u = t -r $
$v = t +r$
per cui l'elemento lineare diventa :
$ds^2 = -du*dv + 1/4(u-v)^2 (d\theta^2 + sen^2\theta*d\Phi^2) $
Gli assi $(u,v)$ sono ruotati di $45°$ rispetto agli assi $(t,r)$ , in un diagramma che riporta $r$ in ascisse e $t$ in ordinate. Ma le bisettrici dei quadranti di tale diagramma $(t,r)$ sono le geodetiche tipo luce, cioè le linee di universo dei segnali luminosi. Le linee di universo della luce sono anche dette geodetiche nulle , infatti l'intervallo spazio temporale $ds^2$ tra due eventi che si trovano sulla stessa geodetica luce è nullo. Questo è il motivo del nome che viene dato loro.
Se ricevo in un certo istante del mio tempo terrestre la luce da una supernova che si è "improvvisamente" (?!?!) accesa nella galassia di Andromeda, distante circa 2.4 milioni di anni luce dalla Terra, l'intervallo spaziotemporale $\Deltas^2$ tra l'accensione della supernova e l'arrivo della luce sulla Terra è nullo.
Con le coordinate di Penrose, si può disegnare "al finito" tutto lo spaziotempo. Guarda anche il cap. 7 di queste ottime note di RG pubblicate su arxiv.org, scritte da Sean Carroll, noto esperto di Relatività :
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf
Per quanto riguarda la faccenda delle onde, francamente non ho compreso, ma temo di non poterti aiutare per i miei limiti. Forse nelle note di Carroll c'è quello che chiedi.
Ti rispondo per quello che so e posso. Purtroppo non riesco a visualizzare la pagina da te indicata, ma ti metto un link abbastanza completo e chiaro sull'argomento :
http://www.ift.uni.wroc.pl/~blaschke/ma ... linska.pdf
Le coordinate di Penrose, e il relativo diagramma, si possono introdurre fin da "quasi subito" in Relatività, e sono un altro esempio di coordinate utili (oltre a quelle polari) per descrivere lo spaziotempo piatto della RR : non c'è bisogno di arrivare ai buchi neri (e quindi studiare la RG) per capirle.
Si parte dall'elemento lineare dello spaziotempo piatto in coordinate polari sferiche $(t,r,\theta, \Phi)$ :
$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2sen^2\theta*d\Phi^2$
e si sostituiscono $t$ ed $r$ con due nuove coordinate $u$ e $v$ definite da :
$u = t -r $
$v = t +r$
per cui l'elemento lineare diventa :
$ds^2 = -du*dv + 1/4(u-v)^2 (d\theta^2 + sen^2\theta*d\Phi^2) $
Gli assi $(u,v)$ sono ruotati di $45°$ rispetto agli assi $(t,r)$ , in un diagramma che riporta $r$ in ascisse e $t$ in ordinate. Ma le bisettrici dei quadranti di tale diagramma $(t,r)$ sono le geodetiche tipo luce, cioè le linee di universo dei segnali luminosi. Le linee di universo della luce sono anche dette geodetiche nulle , infatti l'intervallo spazio temporale $ds^2$ tra due eventi che si trovano sulla stessa geodetica luce è nullo. Questo è il motivo del nome che viene dato loro.
Se ricevo in un certo istante del mio tempo terrestre la luce da una supernova che si è "improvvisamente" (?!?!) accesa nella galassia di Andromeda, distante circa 2.4 milioni di anni luce dalla Terra, l'intervallo spaziotemporale $\Deltas^2$ tra l'accensione della supernova e l'arrivo della luce sulla Terra è nullo.
Con le coordinate di Penrose, si può disegnare "al finito" tutto lo spaziotempo. Guarda anche il cap. 7 di queste ottime note di RG pubblicate su arxiv.org, scritte da Sean Carroll, noto esperto di Relatività :
http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf
Per quanto riguarda la faccenda delle onde, francamente non ho compreso, ma temo di non poterti aiutare per i miei limiti. Forse nelle note di Carroll c'è quello che chiedi.
Caro navigatore, che piacere rileggerti! Mi pare che tu mi abbia fornito dell'ottimo materiale, domani mattina mi ci metto su come prima cosa. Grazie mille!
L'articolo di Penrose che ho citato sopra (e che purtroppo non è accessibile da postazioni private a meno di pagare una somma piuttosto salata) è esattamente quello in cui vengono introdotte alcune trasformazioni conformi che "permettono di rappresentare al finito tutto lo spaziotempo", come giustamente dici tu. Io, che non sono un fisico, avrei proprio bisogno di qualcosa del genere per ridurre l'equazione libera di d'Alembert a una equazione su una regione limitata. Sto spulciando gli articoli che mi hai passato, e che mi stanno tornando molto utili.
Caro navigatore, rispolvero questa discussione perché lavorando con le coordinate di Penrose mi è venuta una curiosità. Con le convenzioni delle note di Ewa Felinska da te citate sopra, supponiamo di passare a coordinate di Penrose nella sezione di spaziotempo \(t=0\). In coordinate stiamo facendo la trasformazione seguente:
\[
(r, \Omega)\mapsto (R, \Omega),\quad R=2\arctan(r),
\]
dove \((r>0, \Omega\in\mathbb{S}^2)\) sono le coordinate sferiche di un punto dello spazio euclideo e \((R, \Omega)\) sono le corrispondenti coordinate ipersferiche su \(\mathbb{S}^3\). Abbiamo rappresentato lo spazio euclideo come una sfera tridimensionale.
La mia domanda è se questa trasformazione non sia esattamente la proiezione stereografica.
\[
(r, \Omega)\mapsto (R, \Omega),\quad R=2\arctan(r),
\]
dove \((r>0, \Omega\in\mathbb{S}^2)\) sono le coordinate sferiche di un punto dello spazio euclideo e \((R, \Omega)\) sono le corrispondenti coordinate ipersferiche su \(\mathbb{S}^3\). Abbiamo rappresentato lo spazio euclideo come una sfera tridimensionale.
La mia domanda è se questa trasformazione non sia esattamente la proiezione stereografica.
Provo a rispondere io stesso alla mia domanda precedente perché mi sembra una curiosità simpatica. Illustro la cosa nel piano euclideo solo per semplicità di lettura, perché tutto può essere visto in qualsiasi dimensione.
Consideriamo la proiezione stereografica del piano sulla sfera unitaria \(\mathbb{S}^2\), avente per centro di proiezione il polo sud:
Dotando il piano di coordinate polari \(r\in[0, \infty)\) e \(\phi'\in [0, 2\pi)\) e la sfera di coordinate sferiche \(R=\theta\in [0, \pi],\ \phi\in [0, 2\pi)\), tale proiezione si scrive analiticamente come
\[
R=2\arctan(r),\ \phi=\phi'.\]
Consideriamo ora lo spazio-tempo di Minkowski 3-dimensionale, di coordinate \(t, r, \phi'\). Le corrispondenti coordinate di Penrose \(T, R, \phi\) sono date dalle formule
\[
T=\arctan(t+r)+\arctan(t-r),\quad R=\arctan(t+r)-\arctan(t-r),\quad \phi=\phi' \]
che, sulla sezione \(t=0\), si riducono a
\[
T=0, \quad R=2\arctan(r), \quad \phi=\phi'.
\]
Quindi il passaggio a coordinate di Penrose al tempo fissato \(t=0\) è esattamente la proiezione stereografica di centro il polo sud.
Non so se una simile interpretazione geometrica si possa dare anche ad istanti diversi da \(0\): immagino che fissando un tempo \(t_0\ne 0\), il passaggio a coordinate di Penrose nella sezione \(t=t_0\) corrisponda alla proiezione stereografica su una sfera di raggio non unitario, ma non ho fatto i conti necessari a verificare questa piccola congettura.
Consideriamo la proiezione stereografica del piano sulla sfera unitaria \(\mathbb{S}^2\), avente per centro di proiezione il polo sud:
Dotando il piano di coordinate polari \(r\in[0, \infty)\) e \(\phi'\in [0, 2\pi)\) e la sfera di coordinate sferiche \(R=\theta\in [0, \pi],\ \phi\in [0, 2\pi)\), tale proiezione si scrive analiticamente come
\[
R=2\arctan(r),\ \phi=\phi'.\]
Consideriamo ora lo spazio-tempo di Minkowski 3-dimensionale, di coordinate \(t, r, \phi'\). Le corrispondenti coordinate di Penrose \(T, R, \phi\) sono date dalle formule
\[
T=\arctan(t+r)+\arctan(t-r),\quad R=\arctan(t+r)-\arctan(t-r),\quad \phi=\phi' \]
che, sulla sezione \(t=0\), si riducono a
\[
T=0, \quad R=2\arctan(r), \quad \phi=\phi'.
\]
Quindi il passaggio a coordinate di Penrose al tempo fissato \(t=0\) è esattamente la proiezione stereografica di centro il polo sud.
Non so se una simile interpretazione geometrica si possa dare anche ad istanti diversi da \(0\): immagino che fissando un tempo \(t_0\ne 0\), il passaggio a coordinate di Penrose nella sezione \(t=t_0\) corrisponda alla proiezione stereografica su una sfera di raggio non unitario, ma non ho fatto i conti necessari a verificare questa piccola congettura.
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