Trasformazione di Legendre e funzione Hamiltoniana
Con riferimento al formalismo coordinato adottato per le dinamiche locali di un sistema conservativo, chiamiamo trasformazione di Legendre delle coordinate un'applicazione:
$L:X x RR^n rarr X x RR^n:(q,v)rarr(q,p)=L(q,v)$
che trasforma le velocità $v=(v^h)$ nei momenti cinetici $p_h=({delL}/{delv^h})_{(q,v)}$
Questa trasformazione risulta essere un diffeomorfismo che trasforma l'energia meccanica locale:
$ E=K(q,v)+V(q)$ (energia cinetica ed energia potenziale)
in una funzione Hamiltoniana locale data da
$H(q,p)=...=p_k-L(q,v)$
Derivando e tenendo presente che $p_k=({delL}/{delv^k})_{(q,v)}$
$({partialH}/{partialq^h})_{(q,p)}=p_k({delv^k}/{delq^h})_{(q,p)}-({delL}/{delv^k})_{(q,v)}({delv^k}/{delq^h})_{(q,p)} -({delL}/{delq^h})_{(q,v)}=({delL}/{delq^h})_{(q,v)}$
$({partialH}/{partialp_h})_{(q,p)}=v^h+p_k({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}-({delL}/{delv^k})_{(q,v)}({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}=v^h$
Ma non mi è chiaro come di svolgono queste derivate, qualcuno mi aiuta?
Casomai mi date anche qualche dritta generica per queste notazioni che mi sembrano tanto strambe
PS: come si fa il "per" del prodotto cartesiano?
$L:X x RR^n rarr X x RR^n:(q,v)rarr(q,p)=L(q,v)$
che trasforma le velocità $v=(v^h)$ nei momenti cinetici $p_h=({delL}/{delv^h})_{(q,v)}$
Questa trasformazione risulta essere un diffeomorfismo che trasforma l'energia meccanica locale:
$ E=K(q,v)+V(q)$ (energia cinetica ed energia potenziale)
in una funzione Hamiltoniana locale data da
$H(q,p)=...=p_k-L(q,v)$
Derivando e tenendo presente che $p_k=({delL}/{delv^k})_{(q,v)}$
$({partialH}/{partialq^h})_{(q,p)}=p_k({delv^k}/{delq^h})_{(q,p)}-({delL}/{delv^k})_{(q,v)}({delv^k}/{delq^h})_{(q,p)} -({delL}/{delq^h})_{(q,v)}=({delL}/{delq^h})_{(q,v)}$
$({partialH}/{partialp_h})_{(q,p)}=v^h+p_k({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}-({delL}/{delv^k})_{(q,v)}({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}=v^h$
Ma non mi è chiaro come di svolgono queste derivate, qualcuno mi aiuta?
Casomai mi date anche qualche dritta generica per queste notazioni che mi sembrano tanto strambe
PS: come si fa il "per" del prodotto cartesiano?
Risposte
"asabasa":
in una funzione Hamiltoniana locale data da $H(q,p)=...=p_k-L(q,v)$
mi sa che è $H(q,p)=...=p_kv_k-L(q,v)$
"asabasa":
Ma non mi è chiaro come di svolgono queste derivate, qualcuno mi aiuta?
cosa intendi? non capisci perché quelle derivate parziali di $H$ hanno quella espressione? Se è così devi solo applicare le regole della derivazione parziale delle funzioni composte.
"asabasa":
PS: come si fa il "per" del prodotto cartesiano?
$R\times R$ lo ottieni con R \times R
Dunque... abbiamo la funzione di Hamilton
(1)
\[
H(q,p) := p_k v^k - L(q,v).
\]
Ti faccio subito osservare una cosa, sui cui potresti non aver riflettuto: la funzione di Hamilton dipende unicamente dalle coordinate lagrangiane e dai momenti cinetici, non dalle velocità generalizzate. Pertanto, deve esserti chiaro che nella espressione (1) deve intendersi \( v^k = v^k(q,p) \), e che quest'ultima dipendenza funzionale può ottenersi invertendo la trasformata di Legendre. Ciò premesso, passiamo al calcolo delle derivate. Si ha, utilizzando la regola di Leibniz per la derivazione dei prodotti e la regola della catena per la derivazione delle mappe composte:
\[
\begin{split}
\frac{\partial H}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} &= p_k \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} + \frac{\partial p_k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} v^k - \frac{\partial L}{\partial q^h} \bigg |_{(q,v)} - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} + 0 - \frac{\partial L}{\partial q^h} \bigg |_{(q,v)} - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= - \frac{\partial L}{\partial q^h} \bigg |_{(q,v)}.
\end{split}
\]
Nota che abbiamo usato la relazione di Legendre che definisce i momenti cinetici \( p_k = \frac{\partial L}{\partial v^k}(q,v) \) e il fatto che ovviamente \( \frac{\partial p_k}{\partial q^h} = 0 \) (un po' come dire che per una funzione di due variabili \( x \) ed \( y \) risulta nulla la derivata parziale di \( x \) rispetto ad \( y \)!). Inoltre, abbiamo usato il fatto che ti ho sottolineato prima: le velocità generalizzate devono intendersi come funzionalmente dipendenti dalle coordinate lagrangiane e dai momenti cinetici per mezzo della trasformazione inversa di Legendre.
Adesso ti risulta un po' più chiaro il calcolo dell'altra derivata?
(1)
\[
H(q,p) := p_k v^k - L(q,v).
\]
Ti faccio subito osservare una cosa, sui cui potresti non aver riflettuto: la funzione di Hamilton dipende unicamente dalle coordinate lagrangiane e dai momenti cinetici, non dalle velocità generalizzate. Pertanto, deve esserti chiaro che nella espressione (1) deve intendersi \( v^k = v^k(q,p) \), e che quest'ultima dipendenza funzionale può ottenersi invertendo la trasformata di Legendre. Ciò premesso, passiamo al calcolo delle derivate. Si ha, utilizzando la regola di Leibniz per la derivazione dei prodotti e la regola della catena per la derivazione delle mappe composte:
\[
\begin{split}
\frac{\partial H}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} &= p_k \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} + \frac{\partial p_k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} v^k - \frac{\partial L}{\partial q^h} \bigg |_{(q,v)} - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} + 0 - \frac{\partial L}{\partial q^h} \bigg |_{(q,v)} - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial q^h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= - \frac{\partial L}{\partial q^h} \bigg |_{(q,v)}.
\end{split}
\]
Nota che abbiamo usato la relazione di Legendre che definisce i momenti cinetici \( p_k = \frac{\partial L}{\partial v^k}(q,v) \) e il fatto che ovviamente \( \frac{\partial p_k}{\partial q^h} = 0 \) (un po' come dire che per una funzione di due variabili \( x \) ed \( y \) risulta nulla la derivata parziale di \( x \) rispetto ad \( y \)!). Inoltre, abbiamo usato il fatto che ti ho sottolineato prima: le velocità generalizzate devono intendersi come funzionalmente dipendenti dalle coordinate lagrangiane e dai momenti cinetici per mezzo della trasformazione inversa di Legendre.
Adesso ti risulta un po' più chiaro il calcolo dell'altra derivata?
Si mi risulta più chiaro, grazie.
La derivata di $L(q,v)$ non mi è entrata benissimo in testa (non ancora), però avevo immaginato che c'entrasse il fatto che $v$ è espressa in funzione di $(q,p)$
Quando vado a derivare rispetto a $p_h$ e ho :
$v^h+p_k({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}-({delL}/{delv^k})_{(q,v)}({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}=v^h$
"manca" ${delL}/{delp_h}$ , perchè è nullo o perchè io non ci ho capito niente xD ?
Su quale libro hai studiato queste cose?
Grazie anche a mathbells
La derivata di $L(q,v)$ non mi è entrata benissimo in testa (non ancora), però avevo immaginato che c'entrasse il fatto che $v$ è espressa in funzione di $(q,p)$
Quando vado a derivare rispetto a $p_h$ e ho :
$v^h+p_k({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}-({delL}/{delv^k})_{(q,v)}({delv^k}/{delp_h})_{(q,p)}=v^h$
"manca" ${delL}/{delp_h}$ , perchè è nullo o perchè io non ci ho capito niente xD ?
Su quale libro hai studiato queste cose?
Grazie anche a mathbells
Beh... manca perché la Lagrangiana \( L \) non dipende esplicitamente dai momenti cinetici: essa è funzione unicamente delle coordinate \( q \) e delle velocità generalizzate \( v \). La dipendenza dalle \( p \) si ha solo attraverso le \( v \) (che a loro volta dipendono dalle \( p \) ), e si manifesta nella derivazione per mezzo del termine \( \frac{\partial L}{\partial v^k} \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \). Il calcolo esplicito delle altre \( n \) derivate della funzione di Hamilton è pertanto:
\[
\begin{split}
\frac{\partial H}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} &= p_k \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} + \frac{\partial p_k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} v^k - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} + \delta^{h}_{k} v^k - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= v^h.
\end{split}
\]
Dove ho studiato... beh, da un po' di libri diversi. Diciamo che la prima formazione me la diedero le dispense di Meccanica Analitica del prof. Grassini, che puoi trovare disponibili per il download qui. Poi, di testi ce ne sono tanti... io conosco abbastanza bene il testo di Meccanica Razionale di Antonio Romano, edito da Liguori, oppure anche il classico "Meccanica Analitica" di Fasano/Marmi, della Bollati Boringhieri. Tu a quale testo stai facendo riferimento?
\[
\begin{split}
\frac{\partial H}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} &= p_k \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} + \frac{\partial p_k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} v^k - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} + \delta^{h}_{k} v^k - \frac{\partial L}{\partial v^k} \bigg |_{(q,v)} \frac{\partial v^k}{\partial p_h} \bigg |_{(q,p)} \\
&= v^h.
\end{split}
\]
Dove ho studiato... beh, da un po' di libri diversi. Diciamo che la prima formazione me la diedero le dispense di Meccanica Analitica del prof. Grassini, che puoi trovare disponibili per il download qui. Poi, di testi ce ne sono tanti... io conosco abbastanza bene il testo di Meccanica Razionale di Antonio Romano, edito da Liguori, oppure anche il classico "Meccanica Analitica" di Fasano/Marmi, della Bollati Boringhieri. Tu a quale testo stai facendo riferimento?
Giusto! grazie ancora!
Studio anche io dagli appunti del prof. Grassini e sinceramente trovo molta difficoltà in alcuni punti.
Per esempio quando introduce il sistema di equazioni di Lagrange:
$mddotp{delp}/{delq^h}=F(tau,p,dotp){delp}/{delq^h}$
Vuole dimostrare che nell'incognita $q=q(t)inX$
$dotq^h=v^h$ e $d/{dt} {delH}/{delv^h}-{delH}/{delq^h}=F_h(tau,q,v)$
(quindi viene data un'espressione coordinata formulata in termini di energia cinetica e di lavori virtuali
$K(q,v)=K(xi(q),d_qxi(v))$
$F_h(tau,q,v)=F_h(tau,xi(q),d_qxi(v)){delp}/{delv^h}$)
Per farlo valuta l'espressione coordinata delle componenti lagrangiane di forza attiva e forza inerziale,
e pone:
$mddotp{delp}/{delq^h}=d/{dt}(mdotp{delp}/{delq^h})-(mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h})$
Perchè?
Il procedimento sulla forza attiva è immediato, quindi mi è chiaro.
Per esempio quando introduce il sistema di equazioni di Lagrange:
$mddotp{delp}/{delq^h}=F(tau,p,dotp){delp}/{delq^h}$
Vuole dimostrare che nell'incognita $q=q(t)inX$
$dotq^h=v^h$ e $d/{dt} {delH}/{delv^h}-{delH}/{delq^h}=F_h(tau,q,v)$
(quindi viene data un'espressione coordinata formulata in termini di energia cinetica e di lavori virtuali
$K(q,v)=K(xi(q),d_qxi(v))$
$F_h(tau,q,v)=F_h(tau,xi(q),d_qxi(v)){delp}/{delv^h}$)
Per farlo valuta l'espressione coordinata delle componenti lagrangiane di forza attiva e forza inerziale,
e pone:
$mddotp{delp}/{delq^h}=d/{dt}(mdotp{delp}/{delq^h})-(mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h})$
Perchè?
Il procedimento sulla forza attiva è immediato, quindi mi è chiaro.
"asabasa":
Per esempio quando introduce il sistema di equazioni di Lagrange:
$mddotp{delp}/{delq^h}=F(tau,p,dotp){delp}/{delq^h}$
Queste non sono ancora le equazioni di Lagrange. Quello che si sta facendo qui, formalmente, è proiettare l'equazione fondamentale della dinamica newtoniana sulle direzioni tangenti alla varietà vincolare che funge da spazio delle configurazioni dinamicamente ammissibili al sistema meccanico (per effetto dei vincoli). L'idea feconda di Lagrange è che in questo modo è possibile ottenere delle equazioni pure di movimento (le equazioni che portano il suo nome, appunto) in cui non compaiano le reazioni vincolati che, come ben sai, sono un'incognita del problema (cioè a priori non è assegnata una legge di forza che faccia dipendere dette reazioni dalle variabili tempo, posizione, velocità, come invece è per le sollecitazioni attive).
"asabasa":
Vuole dimostrare che nell'incognita $q=q(t)inX$
$dotq^h=v^h$ e $d/{dt} {delH}/{delv^h}-{delH}/{delq^h}=F_h(tau,q,v)$
Mi sa che qui devi sostituire \( H \) con \( L \). Questo è il sistema lagrangiano delle equazioni differenziali che reggono il moto.
"asabasa":
Per farlo valuta l'espressione coordinata delle componenti lagrangiane di forza attiva e forza inerziale,
e pone:
$mddotp{delp}/{delq^h}=d/{dt}(mdotp{delp}/{delq^h})-(mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h})$
Perchè?
Beh, qui si tratta solo di derivare un prodotto (regola di Leibniz):
\[
\frac{d}{dt} \bigg ( m\dot{p} \frac{\partial p}{\partial q^h} \bigg ) = m \ddot{p} \frac{\partial p}{\partial q^h} + m \dot{p} \frac{d}{dt} \frac{\partial p}{\partial q^h}.
\]
"s.stuv":
Queste non sono ancora le equazioni di Lagrange. Quello che si sta facendo qui, formalmente, è proiettare l'equazione fondamentale della dinamica newtoniana sulle direzioni tangenti alla varietà vincolare che funge da spazio delle configurazioni dinamicamente ammissibili al sistema meccanico (per effetto dei vincoli). L'idea feconda di Lagrange è che in questo modo è possibile ottenere delle equazioni pure di movimento (le equazioni che portano il suo nome, appunto) in cui non compaiano le reazioni vincolati che, come ben sai, sono un'incognita del problema (cioè a priori non è assegnata una legge di forza che faccia dipendere dette reazioni dalle variabili tempo, posizione, velocità, come invece è per le sollecitazioni attive).
"s.stuv":
[quote="asabasa"]
Vuole dimostrare che nell'incognita $q=q(t)inX$
$dotq^h=v^h$ e $d/{dt} {delH}/{delv^h}-{delH}/{delq^h}=F_h(tau,q,v)$
Mi sa che qui devi sostituire \( H \) con \( L \). Questo è il sistema lagrangiano delle equazioni differenziali che reggono il moto.
[/quote]
Quello che ho scritto l'ho preso dalla dispensa del prof.
Credo sia corretto, la $L$ non compare solo nel sistema di equazioni di Eulero-Lagrange?
Domanda stupida, penso, tu parli di dinamica Newtoniana, ma qua non "usa" il principio dei lavori virtuali?
"s.stuv":
Beh, qui si tratta solo di derivare un prodotto (regola di Leibniz):
\[
\frac{d}{dt} \bigg ( m\dot{p} \frac{\partial p}{\partial q^h} \bigg ) = m \ddot{p} \frac{\partial p}{\partial q^h} + m \dot{p} \frac{d}{dt} \frac{\partial p}{\partial q^h}.
\]
Ora che me lo hai spiegato tu, è chiaro.
Ufff avrai notato che non ci sto capendo molto
Con Newton e D'Alambert ho avuto meno difficoltà, anche se non mi sono chiarissime le equazioni differenziali, anche la parte sulla dinamica terreste e celeste mi sembra fattibile.
Ma vedo che tu non solo hai capito la materia, ma ne parli, oltre che con una certa padronanza, con termini che comunque nel libro non sono presenti!
Ho anche degli appunti del corso ma dicono ben poco in più...
Hai qualche consiglio da darmi ? avendo anche sostenuto l'esame con lo stesso prof
(immagino)Grazie mille per tutte le risposte
Scusa, scusa, scusa... non avevo visto il membro di destra dell'equazione! Dove hai segnato la funzione di Hamilton \( H \) non ci va la Lagrangiana \( L \), ma l'energia cinetica \( K \). E quelle sono proprio le equazioni di Lagrange. Ovviamente, nel caso di dinamica conservativa, definisci la Lagrangiana \( L := K - V \) (energia cinetica meno energia potenziale) e le equazioni di Lagrange
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q}^h} - \frac{\partial K}{\partial q^h} = F_h(q)
\]
si riducono alle equazioni di Eulero-Lagrange
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^h} - \frac{\partial L}{\partial q^h} = 0.
\]
Poi, andando un po' più avanti, capirai bene il perché di questo nome: in effetti, il caso di dinamica conservativa si inquadra molto bene in un campo dell'Analisi che si chiama Calcolo delle Variazioni, in cui le equazioni di Eulero-Lagrange, appunto, giocano un ruolo fondamentale.
Comunque, al di là di questo, che con il corso che stai seguendo non c'entra niente... il consiglio che posso darti è quello di seguire le lezioni del Professore, perché le sue dispense sono piuttosto sintetiche, mentre a lezione lui si dedica molto di più a spiegare i dettagli. Inutile dirti di curare in modo estremo la parte preliminare (le appendici su geometria affine e metrica, topologia, calcolo differenziale, varietà differenziabili ed equazioni differenziali), senza la quale la lettura del testo principale diventa praticamente impossibile. Poi, ovviamente, potresti cercare un confronto con altri testi che si occupano delle stesse tematiche, tra quelli che ti ho consigliato qualche post fa. Per il resto... darti consigli "tecnici" qui sul forum mi è difficile, a meno che non si tratti di problemi specifici. Cerca di capire quale concetto di fondo non ti è chiaro, e proverò a dirti qualcosa. Se poi sei proprio in guai grossi, al massimo ci si vede in dipartimento e ci si fa una chiacchierata live
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q}^h} - \frac{\partial K}{\partial q^h} = F_h(q)
\]
si riducono alle equazioni di Eulero-Lagrange
\[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^h} - \frac{\partial L}{\partial q^h} = 0.
\]
Poi, andando un po' più avanti, capirai bene il perché di questo nome: in effetti, il caso di dinamica conservativa si inquadra molto bene in un campo dell'Analisi che si chiama Calcolo delle Variazioni, in cui le equazioni di Eulero-Lagrange, appunto, giocano un ruolo fondamentale.
Comunque, al di là di questo, che con il corso che stai seguendo non c'entra niente... il consiglio che posso darti è quello di seguire le lezioni del Professore, perché le sue dispense sono piuttosto sintetiche, mentre a lezione lui si dedica molto di più a spiegare i dettagli. Inutile dirti di curare in modo estremo la parte preliminare (le appendici su geometria affine e metrica, topologia, calcolo differenziale, varietà differenziabili ed equazioni differenziali), senza la quale la lettura del testo principale diventa praticamente impossibile. Poi, ovviamente, potresti cercare un confronto con altri testi che si occupano delle stesse tematiche, tra quelli che ti ho consigliato qualche post fa. Per il resto... darti consigli "tecnici" qui sul forum mi è difficile, a meno che non si tratti di problemi specifici. Cerca di capire quale concetto di fondo non ti è chiaro, e proverò a dirti qualcosa. Se poi sei proprio in guai grossi, al massimo ci si vede in dipartimento e ci si fa una chiacchierata live
Si ho messo la $H$ invece della $K$!! Ho sbagliato
Per il momento ti ringrazio per tutte le risposte, i consigli e soprattutto la disponibilità.
Al prossimo (anzi ai prossimi) dubbi
Per il momento ti ringrazio per tutte le risposte, i consigli e soprattutto la disponibilità.
Al prossimo (anzi ai prossimi) dubbi
Alla prossima, e in bocca al lupo.
Mi scuso se riesumo questo post ma evidentemente ho capito meno di quanto pensassi:
(Provo a ragionare partendo dall'energia cinetica perché mi risulta più semplice)
Devo far vedere che:
$d/{dt} {delK}/{delv^h}-{delK}/{delq^h}=mddotp{delp}/{delq^h}$ cioè che
$d/{dt}{del}/{delv^h}(1/2mdotpdotp)-{del}/{delq^h}(1/2mdotpdotp)=mddotp{delp}/{delq^h}$
Considero il primo addendo soltanto, se io "porto dentro" ${del}/{delv^h}$
Devo andare a derivare $dotpdotp$ che altri non è che $dotp^2$ che diventa:
$d/{dt}(2/2mdotp{del}/{delv^h}dotp)=d/{dt}(mdotp{deldotp}/{delv^h})$
che poi derivando rispetto a $d/{dt}$ diventa : $mddotp{deldotp}/{delv^h} + mdotpd/{dt}{deldotp}/{delv^h}= mddotp{deldotp}/{delv^h}+ mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h}$
Secondo addendo ${del}/{delq^h}(1/2mdotpdotp)=mdotp{deldotp}/{delq^h}=mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h}$
Che sommati mi danno proprio che $d/{dt} {delK}/{delv^h}-{delK}/{delq^h}=mddotp{deldotp}/{delv^h}=mddotp{delp}/{delq^h}$
Che dite, fila? (Spero di non aver fatto errori di trascrizione!!!)
Questo è il procedimento del testo
"asabasa":
$mddotp{delp}/{delq^h}=F(tau,p,dotp){delp}/{delq^h}$
Vuole dimostrare che nell'incognita $q=q(t)inX$
$dotq^h=v^h$ e $d/{dt} {delH}/{delv^h}-{delH}/{delq^h}=F_h(tau,q,v)$
(quindi viene data un'espressione coordinata formulata in termini di energia cinetica e di lavori virtuali
$K(q,v)=K(xi(q),d_qxi(v))$
$F_h(tau,q,v)=F_h(tau,xi(q),d_qxi(v)){delp}/{delv^h}$)
Per farlo valuta l'espressione coordinata delle componenti lagrangiane di forza attiva e forza inerziale,
e pone:
$mddotp{delp}/{delq^h}=d/{dt}(mdotp{delp}/{delq^h})-(mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h})$
Perchè?
Il procedimento sulla forza attiva mi è chiaro.
(Provo a ragionare partendo dall'energia cinetica perché mi risulta più semplice)
Devo far vedere che:
$d/{dt} {delK}/{delv^h}-{delK}/{delq^h}=mddotp{delp}/{delq^h}$ cioè che
$d/{dt}{del}/{delv^h}(1/2mdotpdotp)-{del}/{delq^h}(1/2mdotpdotp)=mddotp{delp}/{delq^h}$
Considero il primo addendo soltanto, se io "porto dentro" ${del}/{delv^h}$
Devo andare a derivare $dotpdotp$ che altri non è che $dotp^2$ che diventa:
$d/{dt}(2/2mdotp{del}/{delv^h}dotp)=d/{dt}(mdotp{deldotp}/{delv^h})$
che poi derivando rispetto a $d/{dt}$ diventa : $mddotp{deldotp}/{delv^h} + mdotpd/{dt}{deldotp}/{delv^h}= mddotp{deldotp}/{delv^h}+ mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h}$
Secondo addendo ${del}/{delq^h}(1/2mdotpdotp)=mdotp{deldotp}/{delq^h}=mdotpd/{dt}{delp}/{delq^h}$
Che sommati mi danno proprio che $d/{dt} {delK}/{delv^h}-{delK}/{delq^h}=mddotp{deldotp}/{delv^h}=mddotp{delp}/{delq^h}$
Che dite, fila? (Spero di non aver fatto errori di trascrizione!!!)
Questo è il procedimento del testo
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