Transition probability
Supponiamo di avere un sistema che ha una certa distribuzione di energia (diciamo che data la temperatura del sistema l'energia segue una distribuzione maxwelliana). Tale sistema deve compiere una transizione che prevede una barriera energetica DeltaE. Il sistema "tenta" di compiere la transizione con una frequenza v.
Mi aspetto che la funzione probabilità della transizione abbia le seguenti proprietà:
P~v*exp(-DeltaE/(k*T))
con k= costante di boltzmann e T= temperatura del sistema
lim(t->inf)P=1
Secondo voi è lecito aspettarsi la seconda di queste proprietà o la probabilità può essere anche superiore a 1, dato che il sistema, anche dopo aver effettuato una transizione continuerà a tentare di farne altre?
Che forma dovrebbe avere la funzione P? Se la seconda proprietà è sensata, come normalizzo P in modo da rispettarla e ottenere una funzione adimensionale?
Mi aspetto che la funzione probabilità della transizione abbia le seguenti proprietà:
P~v*exp(-DeltaE/(k*T))
con k= costante di boltzmann e T= temperatura del sistema
lim(t->inf)P=1
Secondo voi è lecito aspettarsi la seconda di queste proprietà o la probabilità può essere anche superiore a 1, dato che il sistema, anche dopo aver effettuato una transizione continuerà a tentare di farne altre?
Che forma dovrebbe avere la funzione P? Se la seconda proprietà è sensata, come normalizzo P in modo da rispettarla e ottenere una funzione adimensionale?
Risposte
Secondo me bispgnerebbe avere qualche altra informazione sulle proprietà di questo sistema....se pensiamo ad un sistema di molecole diverse, A e B, che reagendo danno C, ma è permessa anche la reazione inversa, allora al limite di t->+00 secondo me P potrà avere anche valori diversi da 1, se invece il sistema evolve verso una condizione banalmente irreversibile allora P tenderà ad 1, ma queste sono osservazioni banali e forse anche sbagliate.
No, non considero il processo inverso.
La descrizione del sistema completo la potrei anche fare ma finirebbe solo per confondere le idee (mi ci è voluto un bel po per passare dalla descrizione fisica a quella schematica del sistema).
Puoi immaginare che il sistema sia composto da infinite particelle in una condizione metastabile e tenda a compiere una transizione verso una condizione stabile con una barriera di attivazione DeltaE.
Dato che deltaE è molto più piccolo del salto energetico che una particella nella condizione di equilibrio dovrebbe compiere per tornare nella condizione metastabile, considero questo processo trascurabile.
Ovviamente, dato che il numero di particelle che tentano questa transizione è finito, alla fine si raggiungerà una condizione di equilibrio, ma dato che il numero delle particelle è molto grande, almeno all'inizio la probabilità di transizione non dovrebbe essere influenzata dalla probabilità del processo inverso.
In sostanza quello che sto facendo mi serve per dare una stima dell'ordine di grandezza del tempo di simulazione che mi serve per vedere un certo fenomeno; non pretendo di ottenere un'informazione precisa sul tempo, solo una stima dell'ordine di grandezza.
La descrizione del sistema completo la potrei anche fare ma finirebbe solo per confondere le idee (mi ci è voluto un bel po per passare dalla descrizione fisica a quella schematica del sistema).
Puoi immaginare che il sistema sia composto da infinite particelle in una condizione metastabile e tenda a compiere una transizione verso una condizione stabile con una barriera di attivazione DeltaE.
Dato che deltaE è molto più piccolo del salto energetico che una particella nella condizione di equilibrio dovrebbe compiere per tornare nella condizione metastabile, considero questo processo trascurabile.
Ovviamente, dato che il numero di particelle che tentano questa transizione è finito, alla fine si raggiungerà una condizione di equilibrio, ma dato che il numero delle particelle è molto grande, almeno all'inizio la probabilità di transizione non dovrebbe essere influenzata dalla probabilità del processo inverso.
In sostanza quello che sto facendo mi serve per dare una stima dell'ordine di grandezza del tempo di simulazione che mi serve per vedere un certo fenomeno; non pretendo di ottenere un'informazione precisa sul tempo, solo una stima dell'ordine di grandezza.
Penso che dovresti procurarti anche una stima del tempo di rilassamento proprio del sistema.
Credo di aver risolto il mio problema. Era più banale di quel che pensassi ma essendo piuttosto stanco non ci avevo pensato.
v è la frequenza con cui ogni particella nello stato metastabile prova a compiere la transizione. N è il numero di particelle che sono nello stato metastabile. exp(-DeltaE/(kT)) è la probabilità che una particella in un dato tentativo superi la barriera.
Pertanto il numero di particelle che effettueranno il salto in un tempo tau è (se consideriamo di avere un numero di particelle N sostanzialmente costante):
int[0;tau](Nv)exp(-DeltaE/(kT))dt
ponendo l'integrale uguale a 1 trovo il tempo che in media una particella impiegherà per compiere la transizione.
Ovviamente se volgio considerare il processo per intero dovrei tener conto del fatto che appena una particella fa il salto il numero di particelle che provano ad effettuare la transizione diventa N-1. Inoltre se il tempo totale diventa considerevole anche il processo inverso puo avere una certa importanza.
Il sistema che considero è composto da atomi e il processo che sto modellizzando non è influenzato da excitons, electron-hole pairs, plasmons e compagnia bella. L'unico fenomeno oscillatorio in questione sono i fononi che sono responsabii della frequenza con cui il sistema "tenta" di compiere la transizione. Tuttavia la vita di un fonone è molto lunga rispetto ai tempi qui in questione ed inoltre la temperatura del sistema è mantenuta costante, quindi vi è una continua produzione di fononi.
Grazie comunque per il tuo parere!
v è la frequenza con cui ogni particella nello stato metastabile prova a compiere la transizione. N è il numero di particelle che sono nello stato metastabile. exp(-DeltaE/(kT)) è la probabilità che una particella in un dato tentativo superi la barriera.
Pertanto il numero di particelle che effettueranno il salto in un tempo tau è (se consideriamo di avere un numero di particelle N sostanzialmente costante):
int[0;tau](Nv)exp(-DeltaE/(kT))dt
ponendo l'integrale uguale a 1 trovo il tempo che in media una particella impiegherà per compiere la transizione.
Ovviamente se volgio considerare il processo per intero dovrei tener conto del fatto che appena una particella fa il salto il numero di particelle che provano ad effettuare la transizione diventa N-1. Inoltre se il tempo totale diventa considerevole anche il processo inverso puo avere una certa importanza.
Il sistema che considero è composto da atomi e il processo che sto modellizzando non è influenzato da excitons, electron-hole pairs, plasmons e compagnia bella. L'unico fenomeno oscillatorio in questione sono i fononi che sono responsabii della frequenza con cui il sistema "tenta" di compiere la transizione. Tuttavia la vita di un fonone è molto lunga rispetto ai tempi qui in questione ed inoltre la temperatura del sistema è mantenuta costante, quindi vi è una continua produzione di fononi.
Grazie comunque per il tuo parere!
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