The Planck series: Un viaggio informale all'interno della Materia
Salve a tutti,
è da un po' che non sono molto attivo sul forum (ma non vi preoccupate, ci sono anche se non mi vedete
).
Poiché nell'ultimo anno mi sono dedicato poco alla Fisica, per una moltitudine di motivi, ho pensato che il mio ritorno dovesse includere qualche progetto del tipo che vi sto a illustrare. Ho intenzione di redarre un po' di appunti di Fisica della Materia in maniera pubblica, in modo che sia utile per me nel ricordare vari concetti e nozioni, ma, soprattutto, spero che possa essere utile ad avventori del forum che andassero alla ricerca di queste informazioni.
L'ispirazione mi è venuta dai thread come quello di Sergio sull'Algebra Lineare, quello di Camillo e gugo82 sulla funzione integrale ecc.
Chiunque se la senta di dare correzioni, suggerimenti, o anche voglia fare delle revisioni prima che io pubblichi gli argomenti, non solo è il benvenuto, ma è incoraggiato a farlo
.
Detto ciò, ho scritto un indice generale sugli argomenti che tratterò da qui alla fine (se ci arriviamo), le sottosezioni le aggiornerò man mano che il progetto va avanti, ma le sezioni principali sono quelle. Indicativamente, cercherò di pubblicare almeno una sottosezione a settimana.
Prima di cominciare però, mi sembra doveroso un:
Disclaimer
I testi a cui farò riferimento sono i seguenti:
Bibliografia
Impazienti di cominciare?
No?
E io comincio lo stesso
è da un po' che non sono molto attivo sul forum (ma non vi preoccupate, ci sono anche se non mi vedete
).Poiché nell'ultimo anno mi sono dedicato poco alla Fisica, per una moltitudine di motivi, ho pensato che il mio ritorno dovesse includere qualche progetto del tipo che vi sto a illustrare. Ho intenzione di redarre un po' di appunti di Fisica della Materia in maniera pubblica, in modo che sia utile per me nel ricordare vari concetti e nozioni, ma, soprattutto, spero che possa essere utile ad avventori del forum che andassero alla ricerca di queste informazioni.
L'ispirazione mi è venuta dai thread come quello di Sergio sull'Algebra Lineare, quello di Camillo e gugo82 sulla funzione integrale ecc.
Chiunque se la senta di dare correzioni, suggerimenti, o anche voglia fare delle revisioni prima che io pubblichi gli argomenti, non solo è il benvenuto, ma è incoraggiato a farlo
.Detto ciò, ho scritto un indice generale sugli argomenti che tratterò da qui alla fine (se ci arriviamo), le sottosezioni le aggiornerò man mano che il progetto va avanti, ma le sezioni principali sono quelle. Indicativamente, cercherò di pubblicare almeno una sottosezione a settimana.
Prima di cominciare però, mi sembra doveroso un:
Disclaimer
I testi a cui farò riferimento sono i seguenti:
Bibliografia
Impazienti di cominciare?
No?
E io comincio lo stesso
Indice:
- • Introduzione veloce alla spettroscopia atomica e ai modelli atomici
- • Spettroscopia e modello di Rutheford[/list:u:2on53gg8]
- • Spettroscopia e modello di Bohr[/list:u:2on53gg8]
- • Cenni sul modello di Wilson-Sommerfeld[/list:u:2on53gg8]
[/list:u:2on53gg8]
- • Atomi ad 1 (uno) elettrone;[/list:u:2on53gg8]
- • Pausa di riflessione sulla teoria di Schroedinger[/list:u:2on53gg8]
- • Soluzione dell'ESIT per l'atomo di idrogeno[/list:u:2on53gg8]
- • Autofunzioni complete, operatori e commutatori[/list:u:2on53gg8]
- • Atomi a 2 (due) elettroni;[/list:u:2on53gg8]
- • Atomi a molti (n>2) elettroni;[/list:u:2on53gg8]
- • Molecole.[/list:u:2on53gg8]
Risposte
Spettroscopia e modello di Rutheford
Il primo problema che mi viene da pensare esista in una disciplina chiamata fisica della Materia, o struttura della Materia, è quello di capire che cos'è questa benedetta Materia.
Senza stare a partire da 2400 anni fa con Democrito e compagnia bella (siamo tutti grandi ormai), saprai bene che la materia è fatta di atomi [nota]Troppo perentorio?[/nota]. Per il momento lasciamo questa entità chiamata "atomo" senza una definizione precisa (tanto lo so che stai pensando all'atomo di Rutherford) e prendiamone una manciata per vedere che succede.
L'evidenza sperimentale, nostro giudice ultimo, ci mostra che, se prendiamo una manciata di atomi e li riscaldiamo (magari con scariche elettriche, non serve che ci aliti sopra), ad un certo punto questi atomi emetteranno radiazione elettromagnetica.
Ora vorrei evitare di aprire una parentesi infinita sulla radiazione elettromagnetica (sono onde? Particelle? Quanti? Raggi di luce e di speranza? Minuscole frittelline di alghe?), quindi immaginati che questo gas incandescente stia sparando delle "particelle" di luce (AKA fotoni) ad un'energia $E$, alla quale però corrisponde anche una lunghezza d'onda $\nu$ secondo la relazione (ode a te, o Planck):
dove $h$ è la costante di Planck. Come dice il nome, è stata introdotta da Planck, ed è una costante, quindi, se proprio ti interessa un valore preciso so che Google fa miracoli in proposito.
Fin qui niente di strano (più o meno), poiché il modello atomico dell'epoca (dovuto al mitico Rutherford) vedeva l'atomo composto da un nucleo di cariche positive, attorno al quale giravano cariche negative (AKA elettroni).
Dunque, in un sistema di riferimento solidale con il nucleo di un atomo, ci aspettiamo che gli elettroni emettano radiazione elettromagnetica orbitando attorno al suddetto nucleo.
Il "più o meno" è dovuto ad un paio di questioni. Innanzitutto c'è il leggerissimo problema della violazione del principio di conservazione dell'energia. E quando dico leggerissimo intendo ENORME, poiché un elettrone che si comporti come detto sopra, emette sì radiazione elettromagnetica, ma l'energia di questa radiazione sarebbe emanata a spese dell'energia meccanica dell'atomo, e dunque dovremmo assistere allo scenario apocalittico di elettroni che spiraleggiano verso il nucleo facendo collassare l'atomo in tempi brevissimi, rendendo impossibile i legami tra atomi e dunque l'esistenza stessa della materia.
Chiaramente tutto questo non accade, e quindi c'è almeno questo problema nel modello Atomico di Rutherford.
Dico almeno perché c'è un altra questione in tutto questo ambaradan: la radiazione elettromagnetica emessa da gas di atomi incandescenti è emessa in lunghezze d'onda/energie discrete .
Con ciò intendo che:
• se viene emesso un fotone ad un energia $E_1$, il fotone immediatamente successivo nella scala energetica viene emesso ad un energia $E_2$ che è ben distanziata da $E_1$;
• fotoni con energia comprese tra $E_1$ ed $E_2$ non se ne vedono!
Questo è molto strano, un po' perché, in un aggeggio fatto come l'atomo di Rutherford, il fotone dovrebbe emettere radiazione elettromagnetica in maniera continua, un po' perché è proprio un fenomeno strano di suo.
Se riesco a lanciare una pallina da tennis con un'energia $E_1$ o con un'energia $E_2 > E_1$, perché non dovrei essere in grado di lanciarla anche ad un'energia $E^*$ tale che $E_1 < E^* < E_2$?
Una risposta ce la darà tra poco Niels Bohr e mi sentirei di sintetizzarla così: perché noi non siamo atomi e i fotoni non sono palline da tennis.
Il primo problema che mi viene da pensare esista in una disciplina chiamata fisica della Materia, o struttura della Materia, è quello di capire che cos'è questa benedetta Materia.
Senza stare a partire da 2400 anni fa con Democrito e compagnia bella (siamo tutti grandi ormai), saprai bene che la materia è fatta di atomi [nota]Troppo perentorio?[/nota]. Per il momento lasciamo questa entità chiamata "atomo" senza una definizione precisa (tanto lo so che stai pensando all'atomo di Rutherford) e prendiamone una manciata per vedere che succede.
L'evidenza sperimentale, nostro giudice ultimo, ci mostra che, se prendiamo una manciata di atomi e li riscaldiamo (magari con scariche elettriche, non serve che ci aliti sopra), ad un certo punto questi atomi emetteranno radiazione elettromagnetica.
Ora vorrei evitare di aprire una parentesi infinita sulla radiazione elettromagnetica (sono onde? Particelle? Quanti? Raggi di luce e di speranza? Minuscole frittelline di alghe?), quindi immaginati che questo gas incandescente stia sparando delle "particelle" di luce (AKA fotoni) ad un'energia $E$, alla quale però corrisponde anche una lunghezza d'onda $\nu$ secondo la relazione (ode a te, o Planck):
$E = h \nu$
dove $h$ è la costante di Planck. Come dice il nome, è stata introdotta da Planck, ed è una costante, quindi, se proprio ti interessa un valore preciso so che Google fa miracoli in proposito.
Fin qui niente di strano (più o meno), poiché il modello atomico dell'epoca (dovuto al mitico Rutherford) vedeva l'atomo composto da un nucleo di cariche positive, attorno al quale giravano cariche negative (AKA elettroni).
Dunque, in un sistema di riferimento solidale con il nucleo di un atomo, ci aspettiamo che gli elettroni emettano radiazione elettromagnetica orbitando attorno al suddetto nucleo.
Il "più o meno" è dovuto ad un paio di questioni. Innanzitutto c'è il leggerissimo problema della violazione del principio di conservazione dell'energia. E quando dico leggerissimo intendo ENORME, poiché un elettrone che si comporti come detto sopra, emette sì radiazione elettromagnetica, ma l'energia di questa radiazione sarebbe emanata a spese dell'energia meccanica dell'atomo, e dunque dovremmo assistere allo scenario apocalittico di elettroni che spiraleggiano verso il nucleo facendo collassare l'atomo in tempi brevissimi, rendendo impossibile i legami tra atomi e dunque l'esistenza stessa della materia.
Chiaramente tutto questo non accade, e quindi c'è almeno questo problema nel modello Atomico di Rutherford.
Dico almeno perché c'è un altra questione in tutto questo ambaradan: la radiazione elettromagnetica emessa da gas di atomi incandescenti è emessa in lunghezze d'onda/energie discrete .
Con ciò intendo che:
• se viene emesso un fotone ad un energia $E_1$, il fotone immediatamente successivo nella scala energetica viene emesso ad un energia $E_2$ che è ben distanziata da $E_1$;
• fotoni con energia comprese tra $E_1$ ed $E_2$ non se ne vedono!
Questo è molto strano, un po' perché, in un aggeggio fatto come l'atomo di Rutherford, il fotone dovrebbe emettere radiazione elettromagnetica in maniera continua, un po' perché è proprio un fenomeno strano di suo.
Se riesco a lanciare una pallina da tennis con un'energia $E_1$ o con un'energia $E_2 > E_1$, perché non dovrei essere in grado di lanciarla anche ad un'energia $E^*$ tale che $E_1 < E^* < E_2$?
Una risposta ce la darà tra poco Niels Bohr e mi sentirei di sintetizzarla così: perché noi non siamo atomi e i fotoni non sono palline da tennis.
Bella iniziativa, singularity! Congratulazioni!
Però, a meno che tu non ti sia accordato con i responsabili del forum ( non so più chi siano...) sul fatto che alla fine i tuoi post vengano messi in cima alla sezione e lí bloccati, come per l’algebra for dummies di Sergio e le trattazioni di Camillo e di gugo82 , questi post corrono il rischio di fare la fine di quelli che anni fa aveva publicato navigatore: “RR for dummies”, mai salvati, dimenticati, abbandonati...solo qualche cultore della materia come me ogni tanto li va a pescare, sotto le ceneri degli anni, a volte cagione di insulti al suo autore, fino a quando si è rotto le scatole e se n’è andato. Almeno i tuoi post avranno questo vantaggio , non ti procureranno insulti...si spera!
Però, a meno che tu non ti sia accordato con i responsabili del forum ( non so più chi siano...) sul fatto che alla fine i tuoi post vengano messi in cima alla sezione e lí bloccati, come per l’algebra for dummies di Sergio e le trattazioni di Camillo e di gugo82 , questi post corrono il rischio di fare la fine di quelli che anni fa aveva publicato navigatore: “RR for dummies”, mai salvati, dimenticati, abbandonati...solo qualche cultore della materia come me ogni tanto li va a pescare, sotto le ceneri degli anni, a volte cagione di insulti al suo autore, fino a quando si è rotto le scatole e se n’è andato. Almeno i tuoi post avranno questo vantaggio , non ti procureranno insulti...si spera!
@singularity
Bella iniziativa!
Hai anche il mio appoggio (per quello che conta)!
[ot]Sarebbe da creare una piccola commissione (anche solo tra moderatori) che per queste iniziative, o anche per post singoli che meritino, dia il via libera per la messa in evidenza, magari con la collocazione in un una sezione apposita che raccolga per argomenti i post con le giuste caratteristiche.
Non so però se il forum abbia le risorse, l'interesse e la volontà a procedere in tal senso, e a chi spetterebbe la decisione..[/ot]
Bella iniziativa!
Hai anche il mio appoggio (per quello che conta)!
[ot]Sarebbe da creare una piccola commissione (anche solo tra moderatori) che per queste iniziative, o anche per post singoli che meritino, dia il via libera per la messa in evidenza, magari con la collocazione in un una sezione apposita che raccolga per argomenti i post con le giuste caratteristiche.
Non so però se il forum abbia le risorse, l'interesse e la volontà a procedere in tal senso, e a chi spetterebbe la decisione..[/ot]
Grazie Shackle e Faussone per l'incoraggiamento! Io ne avevo giusto parlato con Palliit per avere una sua opinione sia come moderatore che come forumista.
Per richiedere la messa in evidenza del thread magari aspetterei che il progetto vada un po' più avanti e, più che altro, mi piacerebbe essere sicuro di non scrivere castronerie. Per tal proposito mi chiedevo se qualcuno di voi fosse disponibile a fare delle revisioni (tanto, come vedete, è tutto molto informale e disimpegnato) tanto stiamo parlando di una paginetta a settimana più o meno. La parte sul modello di Bohr l'ho già scritta, quindi se avete disponibilità (e voglia) la posso mandare a qualcuno di voi.
Oppure è meglio pubblicarla direttamente, aspettare correzioni e osservazioni di tutti e poi modificare il messaggio? Che ne pensate?
Per richiedere la messa in evidenza del thread magari aspetterei che il progetto vada un po' più avanti e, più che altro, mi piacerebbe essere sicuro di non scrivere castronerie. Per tal proposito mi chiedevo se qualcuno di voi fosse disponibile a fare delle revisioni (tanto, come vedete, è tutto molto informale e disimpegnato) tanto stiamo parlando di una paginetta a settimana più o meno. La parte sul modello di Bohr l'ho già scritta, quindi se avete disponibilità (e voglia
) la posso mandare a qualcuno di voi. Oppure è meglio pubblicarla direttamente, aspettare correzioni e osservazioni di tutti e poi modificare il messaggio? Che ne pensate?
Pubblica la parte sull’atomo di Bohr, cosí qualcuno più esperto potrà leggerlo e se del caso darti qualche idea di miglioramento, o anche apportare qualche correzione. Diamine, siamo in un forum, parliamo di ciò che ci piace in pubblico, non con messaggi privati!
Io per esempio ora sto scrivendo post ed esercizi sulla relatività, li pubblico, ricevo varie visite...ma nessuno risponde o chiede qualche spiegazione su parti poco chiare. Vabbe’ , mi diverto ugualmente.
Io per esempio ora sto scrivendo post ed esercizi sulla relatività, li pubblico, ricevo varie visite...ma nessuno risponde o chiede qualche spiegazione su parti poco chiare. Vabbe’ , mi diverto ugualmente.
Mi piace il tuo modo di pensare, Shackle... A breve arriva la parte sul modello di Bohr
Prima però inizio a scrivere qualcosa della parte successiva
Prima però inizio a scrivere qualcosa della parte successiva
Spettroscopia e modello di Bohr
Prima di parlare del modello atomico di Bohr, è bene che ci soffermiamo un po' sullo stato dell'arte della spettroscopia nel 1913, così da chiarirti un po' meglio tutta questa storia degli atomi che emettono luce.
Alcuni fisici dell'epoca si dedicavano allo studio di questo fenomeno: prendere della materia, scaldarla così tanto da farle emettere luce, collimare la luce in una fessura, dividere la luce nelle varie lunghezze d'onda tramite una serie di fessure o un reticolo di diffrazione, e studiare il risultato su uno schermo.
Dopo aver fatto tutto questo lavoro, sullo schermo appare una cosa del genere:
Quella che vedi è la porzione visibile dello spettro elettromagnetico, e le linee rappresentano (tutte e sole) le lunghezze d'onda/energie (è l'ultima volta che le scrivo entrambe, sono intercambiabili![nota]Scommetto che alcuni teorici direbbero che sono la stessa cosa.[/nota]) dei fotoni emessi dagli atomi; in particolare questo è lo spettro di emissione dell'atomo di Idrogeno
Quindi, come ti avevo anticipato, i fotoni emessi dall'atomo di H che abbiano lunghezze d'onda comprese tra i 400 nm e i 700 nm possono avere solo ed esclusivamente quelle cinque lunghezze d'onda dell'immagine.
Come puoi immaginare, tutto ciò diede molto da pensare ai fisici dell'epoca. Piano piano si arrivò ad un paio di formule, squisitamente empiriche, che descrivevano abbastanza bene le serie di linee che presentava lo spettro dell' atomo di idrogeno, tutte racchiuse nell'espressione:
dove $k_n$ è il numero d'onda della riga n-esima ($k_n = \frac{1}{\lambda_n}$), $a = 1,2,3,4,5$ è un parametro che cambia a seconda della serie (ognuna porta il nome del proprio scopritore, vattele a cercare) e $n$ è tale che $n>a$.
$R_H$ è una costante detta costante di Rydberg per l'idrogeno ed ha un valore $R_H = 10967757 m^-1$ (questa volta te la do io, ma non ti ci abituare!).
Non te l'ho ancora detto, ma probabilmente inizi a sospettarlo: ogni atomo conosciuto ha il proprio spettro di emissione e di assorbimento [nota]Il processo di assorbimento è esattamente l'opposto di quello di emissione: si investono degli atomi con della radiazione elettromagnetica e solo fotoni a specifiche lunghezze d'onda vengono assorbiti.[/nota] e ci sono formule analoghe alla $(1)$ per le varie sere di linee, in cui la costante di Rydberg aumenta sistematicamente col numero atomico, ma comunque per non più dello 0.05% anche per gli elementi più pesanti[2].
DUNQUE! Come si risolve tutto questo casino? Atomi che emettono luce, ma solo a determinate lunghezze d'onda, atomi che dovrebbero collassare, ma non collassano... Mi immagino i fisici dell'epoca schizzare da una parte all'altra del dipartimento cercando di elaborare tutte queste informazioni in un'ottica (pun intendend) ben precisa.
Uno che sicuramente le cose le aveva iniziate a mettere nell'ottica giusta era Niels Bohr. Si arrese all'evidenza sperimentale e pensò che tanto valeva fare un modello che includesse tutte le particolarità osservate e che magari aiutasse anche a capire cosa succede.
La sua intuizione geniale fu quella di assegnare l'emissione di fotoni da parte dell'atomo ad un processo di perdita di energia da parte di un'elettrone che passase da un'orbita di energia maggiore ad una di energia minore. Il fatto che solo determinate energie dei fotoni emessi fossero osservate lo spiegò ipotizzando che gli elettroni fossero costretti su determinate orbite, la cui differenza energetica corrispondeva esattamente all'energia del fotone emesso[nota]Ovviamente anche qui c'è un analogo processo di assorbimento.[/nota].
Ma facciamo i fisici per bene, e scriviamo i Postulati del modello atomico di Bohr belli precisi:
Prima di parlare del modello atomico di Bohr, è bene che ci soffermiamo un po' sullo stato dell'arte della spettroscopia nel 1913, così da chiarirti un po' meglio tutta questa storia degli atomi che emettono luce.
Alcuni fisici dell'epoca si dedicavano allo studio di questo fenomeno: prendere della materia, scaldarla così tanto da farle emettere luce, collimare la luce in una fessura, dividere la luce nelle varie lunghezze d'onda tramite una serie di fessure o un reticolo di diffrazione, e studiare il risultato su uno schermo.
Dopo aver fatto tutto questo lavoro, sullo schermo appare una cosa del genere:
Quella che vedi è la porzione visibile dello spettro elettromagnetico, e le linee rappresentano (tutte e sole) le lunghezze d'onda/energie (è l'ultima volta che le scrivo entrambe, sono intercambiabili![nota]Scommetto che alcuni teorici direbbero che sono la stessa cosa.[/nota]) dei fotoni emessi dagli atomi; in particolare questo è lo spettro di emissione dell'atomo di Idrogeno
Quindi, come ti avevo anticipato, i fotoni emessi dall'atomo di H che abbiano lunghezze d'onda comprese tra i 400 nm e i 700 nm possono avere solo ed esclusivamente quelle cinque lunghezze d'onda dell'immagine.
Come puoi immaginare, tutto ciò diede molto da pensare ai fisici dell'epoca. Piano piano si arrivò ad un paio di formule, squisitamente empiriche, che descrivevano abbastanza bene le serie di linee che presentava lo spettro dell' atomo di idrogeno, tutte racchiuse nell'espressione:
$k_n = R_H (1/(a^2) - \frac{1}{n^2}) \qquad (1)$
dove $k_n$ è il numero d'onda della riga n-esima ($k_n = \frac{1}{\lambda_n}$), $a = 1,2,3,4,5$ è un parametro che cambia a seconda della serie (ognuna porta il nome del proprio scopritore, vattele a cercare) e $n$ è tale che $n>a$.
$R_H$ è una costante detta costante di Rydberg per l'idrogeno ed ha un valore $R_H = 10967757 m^-1$ (questa volta te la do io, ma non ti ci abituare!).
Non te l'ho ancora detto, ma probabilmente inizi a sospettarlo: ogni atomo conosciuto ha il proprio spettro di emissione e di assorbimento [nota]Il processo di assorbimento è esattamente l'opposto di quello di emissione: si investono degli atomi con della radiazione elettromagnetica e solo fotoni a specifiche lunghezze d'onda vengono assorbiti.[/nota] e ci sono formule analoghe alla $(1)$ per le varie sere di linee, in cui la costante di Rydberg aumenta sistematicamente col numero atomico, ma comunque per non più dello 0.05% anche per gli elementi più pesanti[2].
DUNQUE! Come si risolve tutto questo casino? Atomi che emettono luce, ma solo a determinate lunghezze d'onda, atomi che dovrebbero collassare, ma non collassano... Mi immagino i fisici dell'epoca schizzare da una parte all'altra del dipartimento cercando di elaborare tutte queste informazioni in un'ottica (pun intendend) ben precisa.
Uno che sicuramente le cose le aveva iniziate a mettere nell'ottica giusta era Niels Bohr. Si arrese all'evidenza sperimentale e pensò che tanto valeva fare un modello che includesse tutte le particolarità osservate e che magari aiutasse anche a capire cosa succede.
La sua intuizione geniale fu quella di assegnare l'emissione di fotoni da parte dell'atomo ad un processo di perdita di energia da parte di un'elettrone che passase da un'orbita di energia maggiore ad una di energia minore. Il fatto che solo determinate energie dei fotoni emessi fossero osservate lo spiegò ipotizzando che gli elettroni fossero costretti su determinate orbite, la cui differenza energetica corrispondeva esattamente all'energia del fotone emesso[nota]Ovviamente anche qui c'è un analogo processo di assorbimento.[/nota].
Ma facciamo i fisici per bene, e scriviamo i Postulati del modello atomico di Bohr belli precisi:
1 Un elettrone orbita attorno al nucleo in orbite circolari, sotto l'effetto della forza di Coulomb e secondo le leggi della meccanica classica.[/list:u:15nwfd21]
- 2 L'elettrone ha accesso solo alle orbite per il quale ha momento angolare orbitale multiplo intero di $\hbar$, $L=n \hbar$, $n=1,2,3...$[/list:u:15nwfd21]
- 3 Un elettrone che si muova entro tali orbite NON irradia energia elettromagnetica, dunque la sua energia rimane costante.[/list:u:15nwfd21]
- 4 Radiazione elettromagnetica viene emessa quando un fotone passa da un'orbita di energia $E_i$ ad un'orbita di energia $E_f$. La frequenza $\nu$ del fotone emesso è data dalla legge di Planck: $\nu = (E_f - E_i)/h$ dove $h$ è la costante di Planck.[/list:u:15nwfd21]
Da questi quattro postulati, apparentemente innocui, si possono dedurre, e anche calcolare, proprietà importantissime dell'atomo! La quantizzazione del momento angolare imposta dal secondo postulato, insieme a semplici considerazioni fisiche, permette di trovare delle condizioni di quantizzazione su tutte le grandezze in gioco, quali: raggio atomico, velocità dell'elettrone nell'orbita e, soprattutto energia dell'elettrone.
Se tutto ciò non ti bastasse, utilizzando il postulato 4, si può anche ritrovare la formula $(1)$ per le serie di linee negli spettri di emissione!
Da me ti basti sapere questo, poi se vuoi vedere tutte queste meraviglie con i tuoi occhi ti rimando a [2] per ricavare le condizioni di quantizzazione e per ritrovare la formula $(1)$ utilizzando i postulati 2 e 4.
Qui mi limito a riportarti i risultati che si ottengono per i valori ammessi del raggio atomico $r_n$ e dell'energia $E_n$:
$r_n= \frac{4 \pi \varepsilon_0 h^2}{mZe^2} n^2 , \quad E_n= - \frac{mZ^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 2 h^2} \frac{1}{n^2},\quad n=1,2,3...$
Dove $h$ è in realta h tagliato: ($\hbar \quad = h/(2 \pi)$), purtroppo non riesco a scriverlo in maniera decente, cercherò di specificare quando serve.
Tutti i calcoli suddetti vengono fatti con l'ipotesi di un nucleo di massa infinita. Malgrado questa sia in generale una buona ipotesi, i dati spettroscopici sono così precisi che occorre aggiungere delle correzioni per la massa finita del nucleo, vedi sempre [2]. In pratica si ottengono gli stessi risultati, in cui la massa dell'elettrone $m$ va (ovviamente) sostituita con la massa ridotta del sistema nucleo-elettrone $\mu$.
Inutile dirti che questo modello atomico si rivelò un successo nello spiegare le (prime) stranezze della Meccanica Quantistica. Infatti, ritrovando teoricamente il valore di $R_H$ tramite la $(1)$, e comparandolo con i dati sperimentali, si ha una corrispondenza più che soddisfacente [2].
Tutto ciò è, ovviamente, molto bello. Restano un sacco di misteri però, sulla "arbitrarietà" dei postulati di Bohr, sul fenomeno di quantizzazione dell'energia di un atomo e bla bla...
Se tutto questo non bastasse, ho anche da farti una piccola confessione. Hai presente quando ti ho detto che quelle linee dello spettro di emissione dell'idrogeno rappresentavano singoli stati energetici dei fotoni? Bene, sappi che ho mentito sapendo di mentire
Ben presto ci si accorse che quelle singole linee erano in realtà più linee "sovrapposte" l'una all'altra. Uso le virgolette perché, chiaramente, queste linee non sono davvero sovrapposte, semplicemente il loro reciproco distanziamento è molto più piccolo rispetto al distanziamento delle linee "normali" dello spettro (e quando dico molto più piccolo, intendo $10^ -4$ volte più piccolo).
Questo vuol dire che in realtà gli stati energetici dei fotoni emessi sono di più di quelli che sembrano, e i fisici dell'epoca si ritrovarono a dover risolvere il mistero della cosidetta struttura fine dei livelli energetici dell'atomo di idrogeno.
Indice
Sono arrivato appena a metà. Nella formula (1) , non va il segno “-“ nella parentesi ?
"Shackle":
Nella formula (1) , non va il segno “-“ nella parentesi ?
Assolutamente si. Cominciamo bene...
È solo un errore di strazione ! Hai cominciato benissimo, invece. Devo finire di leggere.
Hai cominciato benissimo, invece. Devo finire di leggere.
Cenni sul modello di Wilson-Sommerfeld
L'ultima volta ci siamo lasciati con un cliffhanger degno di Bryan Singer: ogni riga dello spettro di emissione dell'atomo di idrogeno[nota]Chiariamo: dico "atomo di idrogeno" perché è l'atomo più semplice e abbiamo iniziato con lui. Sappi però che la maggior parte delle cose che ti sto dicendo valgono per tutti gli atomi (specialmente riguardo a spettri di emissione/assorbimento)[/nota] è in realtà composta da più righe, molto più vicine tra loro rispetto a quelle dello spettro originario. Ti prego di perdonarmi per la piccola menzogna che ti ho raccontato all'inizio (ti assicuro che era a fin di bene) e di continuare questo viaggio con me.
Se ti ricordi, c'era la questione di capire in maniera un po' più completa da cosa derivasse (oltre che dalla testa di Bohr) la quantizzazione del momento angolare di un atomo. Ebbene, il proseguio del nostro viaggio comprende proprio la risoluzione di questi quesiti. Ripartiamo!
Una cosa che avrei dovuto accenarti, ma che probabilmente già sai, è che il problema di trovare grandezze fisiche quantizzate nella risoluzione di problemi fisici fu già incontrato da Planck nel 1900 (l'anno esatto, non c'è l'apostrofo!).
Senza entrare nei dettagli del problema, Planck si accorse che in un Corpo Nero (se non sai cos'è vallo a cercare un attimo) in cui fossero presenti oscillatori armonici (se non sai cosa sono forse non dovresti leggere queste note), l'energia dei suddetti oscillatori armonici doveva essere quantizzata affinché le previsioni sulla natura della radiazione emessa dal corpo nero si accordassero con i dati sperimentali. In particolare ogni oscillatore armonico poteva avere solo energie date da:
dove $n$ è un intero, $\nu$ è la frequenza dell'oscillatore e $h$ sai benissimo che cos'è (non è tagliata).
Ti ricorda niente?
Questo che lui, come ci racconta la storia, definì semplicemente un artificio matematico, fu poi uno dei pilastri della fondazione della Meccanica Quantistica.
Ora immagino che ti starai chiedendo perché io ti abbia fatto tutto questo excursus, chissenefrega di corpi neri pieni di oscillatori armonici, quando mai ne incontrerò uno nella vita reale? (Su amazon ho cercato e, in effetti, non li vendono).
Beh, caro il mio polemico, sappi che ti ho spiegato questa cosa perché il prossimo argomento che andrò ad accennarti è il modello atomico di Sommerfeld, e, prima ancora di esso, ti parlerò della Regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld, che ha il pregio (rullo di tamburi please) di ritrovare sia la regola di quantizzazione di Bohr (momento angolare) che la regola di quantizzazione di Planck (energia) come casi particolari.
Non indugiamo oltre. Nel 1916 Wilson e Sommerfeld enunciarono la seguente regola di quantizzazione:
"In ogni sistema fisico in cui le coordinate siano funzioni periodiche del tempo, esiste una regola di quantizzazione per ciascuna delle coordinate, data nella forma:
dove $q$ è una delle coordinate in questione, $p_q$ ne è il relativo momento coniugato, $n$ è un intero (numero quantico) e l'integrazione va fatta su un periodo della coordinata $q$"[nota]$h$ non te lo sto neanche più a dire cos'è[/nota].
Ora fermiamoci un attimo. Se non sai cos'è un momento coniugato, o hai rabbrividito alla vista del $\oint$, non scappare che risolviamo tutto. Per quanto non sia mia intenzione farti un crush course in meccanica analitica, possiamo procedere insieme a ricavare le due regole di quantizzazione e ti spiegherò[nota]Intanto se vuoi un po' di formalità ti accontento: Dato un sistema descritto dalle coordinate e velocità generalizzate ${q_k, \dot{q}_k}$, il momento coniugato rispetto alla coordinata $q_k$, è definito come $p_k=(partial \mathcal{L})/(partial \dot(q_k))$, dove $\mathcal(L)$ è la lagrangiana del sistema[/nota] quello che ti serve
Se invece sai benissimo cos'è un momento coniugato e compagnia bella, ignora tutto ciò che ho scritto qui sopra
Per il resto, direi che la regola si commenta da sola, quindi iniziamo a vedere come ricavare la quantizzazione dell'energia di un oscillatore armonico.
Quantizzazione di Planck:
Come vedi il ragionamento fila che è un piacere, non è rocket science (non ancora almeno), e abbiamo ricavato il principo di quantizzazione dell'energia da un principio generale (la cosa dovrebbe renderti contento!).
Ricavare la condizione di quantizzazione del momento angolare in un atomo di Bohr è ancora più semplice (non te lo metto neanche in spoiler).
Prendiamo infatti un nucleo con un elettrone che vi ruoti intorno in un'orbita circolare: la coordinata angolare $\theta$ è certamente periodica. Essendo il momento angolare $L$ anche il momento coniugato della coordinata $\theta$ (chi l'avrebbe mai detto?), la regola di quantizzazione si scrive come:
Il primo membro si risolve volgarmente come: $\oint L d\theta = L \oint d\theta = L 2 \pi$, ottenendo così subito la regola di quantizzazione di $L$:
ah, mi ero dimenticato di dirti che ho imparato a scrivere [tex]\hbar[/tex]
Dopo aver sparso un po' di luce sulla questione delle regole di quantizzazione, ci rimane da risolvere il problema con cui abbiamo iniziato questo capitolo: la struttura fine dello spettro energetico di un atomo.
Nel caso ti fossi distratto, avevamo scoperto che le linee dello spettro (ad esempio) dell'idrogeno erano composte a loro volta da altre linee. Questo sta a significare che quello che si pensava essere un singolo livello energetico è in realtà composto da diversi livelli molto vicini fra loro.
Per far fronte a questo problema, o, detto in modo più figo, per risolvere la degenerazione, il caro Sommerfeld decise di applicare la sue regole di quantizzazione ad un ipotetico atomo in cui l'elettrone seguisse un'orbita ellittica. Combinando ciò con l'imposizione della stabilità meccanica dell'atomo, riusci a calcolare come dovessero essere fatte queste ellissi, ovvero i valori dei semiassi $a$ e $b$, e che energia dovesse avere un elettrone che percoresse tali orbite.
Tralasciando i vari calcoli e ragionamenti (guarda il titolo del capitolo: c'è scritto cenni!), ti riporto i valori che ottenne Sommerfeld per le energie delle orbite, con tanto di correzione relativistica[nota]Per approfondimenti vedi questo post[/nota]:
Commentiamo un po' questa mostruosità dell'estetica. Aldilà dei simboli dal significato ovvio troviamo $\alpha$, che è una costante detta costante di struttura fine, non basterebbero 1000 parole per spiegarti l'importanza che ha in fisica (e quante volte la ritroverai!) quindi, come al solito, se sei interessato puoi andartela a cercare.
L'altra cosa degna di nota è che adesso abbiamo due numeri quantici: $n$ e $n_\theta$ (l'avevi notato, vero?), dove $n = 1,2,3...$ e $n_\theta = 1,2,... \quad n$
Questo vuol dire che lo stato di un elettrone, in questo modello e a questo livello di conoscenza, non è più descritto dal solo numero quantico $n$, ma dalla coppia di numeri $n$ e $n_\theta$.
In particolare, dato un valore di $n$, ci sono $n$ valori di $n_\theta$ (ovvero $n$ orbite diverse), in cui il caso particolare di orbita circolare si ha per $n_\theta = n$.
Siccome mi sembri un po' confuso (probabilmente non mi sono spiegato bene), e siccome le immagini spesso spiegano meglio di qualunque cosa, eccoti una bella immaginina con tanto di didascalia, presa direttamente da [2], che dovrebbe aiutarti a comprendere un po' meglio la situazione:
Come suggerisce la didascalia, non tutte le transizioni possibili sono effetivamente osservate. In particolare si sono osservate solo transizioni che rispettino la seguente Regola di selezione (abituatici, perché ne incontreremo!):
dove i pedici (dei pedici) si riferiscono allo stato iniziale e finale della transizione.
Mi rendo conto che è stato un capitolo faticoso e forse un po' confusionario, ma spero che tu sia riuscito a capire come tutto questo ambaradan sia servito a spiegare la struttura fine dello spettro di emissione dell'idrogeno.
Noi ci vediamo alla prossimo capitolo (Atomi a 1 elettrone, suona così innocente, non vedo l'ora...)
Indice
L'ultima volta ci siamo lasciati con un cliffhanger degno di Bryan Singer: ogni riga dello spettro di emissione dell'atomo di idrogeno[nota]Chiariamo: dico "atomo di idrogeno" perché è l'atomo più semplice e abbiamo iniziato con lui. Sappi però che la maggior parte delle cose che ti sto dicendo valgono per tutti gli atomi (specialmente riguardo a spettri di emissione/assorbimento)[/nota] è in realtà composta da più righe, molto più vicine tra loro rispetto a quelle dello spettro originario. Ti prego di perdonarmi per la piccola menzogna che ti ho raccontato all'inizio (ti assicuro che era a fin di bene
) e di continuare questo viaggio con me.Se ti ricordi, c'era la questione di capire in maniera un po' più completa da cosa derivasse (oltre che dalla testa di Bohr) la quantizzazione del momento angolare di un atomo. Ebbene, il proseguio del nostro viaggio comprende proprio la risoluzione di questi quesiti. Ripartiamo!
Una cosa che avrei dovuto accenarti, ma che probabilmente già sai, è che il problema di trovare grandezze fisiche quantizzate nella risoluzione di problemi fisici fu già incontrato da Planck nel 1900 (l'anno esatto, non c'è l'apostrofo!).
Senza entrare nei dettagli del problema, Planck si accorse che in un Corpo Nero (se non sai cos'è vallo a cercare un attimo) in cui fossero presenti oscillatori armonici (se non sai cosa sono forse non dovresti leggere queste note), l'energia dei suddetti oscillatori armonici doveva essere quantizzata affinché le previsioni sulla natura della radiazione emessa dal corpo nero si accordassero con i dati sperimentali. In particolare ogni oscillatore armonico poteva avere solo energie date da:
$E=n h \nu$
dove $n$ è un intero, $\nu$ è la frequenza dell'oscillatore e $h$ sai benissimo che cos'è (non è tagliata).
Ti ricorda niente?
Questo che lui, come ci racconta la storia, definì semplicemente un artificio matematico, fu poi uno dei pilastri della fondazione della Meccanica Quantistica.
Ora immagino che ti starai chiedendo perché io ti abbia fatto tutto questo excursus, chissenefrega di corpi neri pieni di oscillatori armonici, quando mai ne incontrerò uno nella vita reale? (Su amazon ho cercato e, in effetti, non li vendono).
Beh, caro il mio polemico, sappi che ti ho spiegato questa cosa perché il prossimo argomento che andrò ad accennarti è il modello atomico di Sommerfeld, e, prima ancora di esso, ti parlerò della Regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld, che ha il pregio (rullo di tamburi please) di ritrovare sia la regola di quantizzazione di Bohr (momento angolare) che la regola di quantizzazione di Planck (energia) come casi particolari.
Non indugiamo oltre. Nel 1916 Wilson e Sommerfeld enunciarono la seguente regola di quantizzazione:
"In ogni sistema fisico in cui le coordinate siano funzioni periodiche del tempo, esiste una regola di quantizzazione per ciascuna delle coordinate, data nella forma:
$oint p_q dq=n h$
dove $q$ è una delle coordinate in questione, $p_q$ ne è il relativo momento coniugato, $n$ è un intero (numero quantico) e l'integrazione va fatta su un periodo della coordinata $q$"[nota]$h$ non te lo sto neanche più a dire cos'è[/nota].
Ora fermiamoci un attimo. Se non sai cos'è un momento coniugato, o hai rabbrividito alla vista del $\oint$, non scappare che risolviamo tutto. Per quanto non sia mia intenzione farti un crush course in meccanica analitica, possiamo procedere insieme a ricavare le due regole di quantizzazione e ti spiegherò[nota]Intanto se vuoi un po' di formalità ti accontento: Dato un sistema descritto dalle coordinate e velocità generalizzate ${q_k, \dot{q}_k}$, il momento coniugato rispetto alla coordinata $q_k$, è definito come $p_k=(partial \mathcal{L})/(partial \dot(q_k))$, dove $\mathcal(L)$ è la lagrangiana del sistema[/nota] quello che ti serve
Se invece sai benissimo cos'è un momento coniugato e compagnia bella, ignora tutto ciò che ho scritto qui sopra
Per il resto, direi che la regola si commenta da sola, quindi iniziamo a vedere come ricavare la quantizzazione dell'energia di un oscillatore armonico.
Quantizzazione di Planck:
Come vedi il ragionamento fila che è un piacere, non è rocket science (non ancora almeno), e abbiamo ricavato il principo di quantizzazione dell'energia da un principio generale (la cosa dovrebbe renderti contento!).
Ricavare la condizione di quantizzazione del momento angolare in un atomo di Bohr è ancora più semplice (non te lo metto neanche in spoiler).
Prendiamo infatti un nucleo con un elettrone che vi ruoti intorno in un'orbita circolare: la coordinata angolare $\theta$ è certamente periodica. Essendo il momento angolare $L$ anche il momento coniugato della coordinata $\theta$ (chi l'avrebbe mai detto?), la regola di quantizzazione si scrive come:
$\oint L d\theta = n h$
Il primo membro si risolve volgarmente come: $\oint L d\theta = L \oint d\theta = L 2 \pi$, ottenendo così subito la regola di quantizzazione di $L$:
[tex]L = n\frac{h}{2\pi} = n \hbar[/tex]
ah, mi ero dimenticato di dirti che ho imparato a scrivere [tex]\hbar[/tex]
Dopo aver sparso un po' di luce sulla questione delle regole di quantizzazione, ci rimane da risolvere il problema con cui abbiamo iniziato questo capitolo: la struttura fine dello spettro energetico di un atomo.
Nel caso ti fossi distratto, avevamo scoperto che le linee dello spettro (ad esempio) dell'idrogeno erano composte a loro volta da altre linee. Questo sta a significare che quello che si pensava essere un singolo livello energetico è in realtà composto da diversi livelli molto vicini fra loro.
Per far fronte a questo problema, o, detto in modo più figo, per risolvere la degenerazione, il caro Sommerfeld decise di applicare la sue regole di quantizzazione ad un ipotetico atomo in cui l'elettrone seguisse un'orbita ellittica. Combinando ciò con l'imposizione della stabilità meccanica dell'atomo, riusci a calcolare come dovessero essere fatte queste ellissi, ovvero i valori dei semiassi $a$ e $b$, e che energia dovesse avere un elettrone che percoresse tali orbite.
Tralasciando i vari calcoli e ragionamenti (guarda il titolo del capitolo: c'è scritto cenni!), ti riporto i valori che ottenne Sommerfeld per le energie delle orbite, con tanto di correzione relativistica[nota]Per approfondimenti vedi questo post[/nota]:
[tex]E = - \frac{\mu Z^2 e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 2 n^2 \hbar ^2 }[1 + \frac{\alpha^2 Z^2}{n}( \frac{1}{n_\theta} - \frac{3}{4n})][/tex]
Commentiamo un po' questa mostruosità dell'estetica. Aldilà dei simboli dal significato ovvio troviamo $\alpha$, che è una costante detta costante di struttura fine, non basterebbero 1000 parole per spiegarti l'importanza che ha in fisica (e quante volte la ritroverai!) quindi, come al solito, se sei interessato puoi andartela a cercare.
L'altra cosa degna di nota è che adesso abbiamo due numeri quantici: $n$ e $n_\theta$ (l'avevi notato, vero?), dove $n = 1,2,3...$ e $n_\theta = 1,2,... \quad n$
Questo vuol dire che lo stato di un elettrone, in questo modello e a questo livello di conoscenza, non è più descritto dal solo numero quantico $n$, ma dalla coppia di numeri $n$ e $n_\theta$.
In particolare, dato un valore di $n$, ci sono $n$ valori di $n_\theta$ (ovvero $n$ orbite diverse), in cui il caso particolare di orbita circolare si ha per $n_\theta = n$.
Siccome mi sembri un po' confuso (probabilmente non mi sono spiegato bene), e siccome le immagini spesso spiegano meglio di qualunque cosa, eccoti una bella immaginina con tanto di didascalia, presa direttamente da [2], che dovrebbe aiutarti a comprendere un po' meglio la situazione:
Come suggerisce la didascalia, non tutte le transizioni possibili sono effetivamente osservate. In particolare si sono osservate solo transizioni che rispettino la seguente Regola di selezione (abituatici, perché ne incontreremo!):
$n_(\theta_i) - n_(\theta_f) = \pm 1 $
dove i pedici (dei pedici) si riferiscono allo stato iniziale e finale della transizione.
Mi rendo conto che è stato un capitolo faticoso e forse un po' confusionario, ma spero che tu sia riuscito a capire come tutto questo ambaradan sia servito a spiegare la struttura fine dello spettro di emissione dell'idrogeno.
Noi ci vediamo alla prossimo capitolo (Atomi a 1 elettrone, suona così innocente, non vedo l'ora...
)Indice
Ciao. Ho letto tutto, e quello che è più strano è che ho pure capito !
È scritto anche con humor, il che non dispiace. Una sola cosa non ho capito, la correzione relativistica nella formula di E . La nota 2 non aiuta molto...e meno male che non ci sono esperimenti mentali qui!
!È scritto anche con humor, il che non dispiace. Una sola cosa non ho capito, la correzione relativistica nella formula di E . La nota 2 non aiuta molto...e meno male che non ci sono esperimenti mentali qui!
Ciao Shackle, fa piacere sapere che qualcuno legge!
Purtroppo i testi a cui faccio riferimento non approfondiscono il metodo usato da Sommerfeld per calcolare le sue soluzioni relativistche, per questo mi sono limitato ad accennarlo. Non ti preoccupare però, mi sono messo a cercare un paio di articoli:
Intanto è degno di nota il fatto che il metodo usato da Sommerfeld (che non tiene conto dello spin e quindi dell'interazione spin-orbita), restituisca gli stessi valori di energia che restituirà un metodo un po' più avanzato e che vedremo fra un po', ovvero il trattare pertubativamente l'hamiltoniana classica aggiungendole vari (tre) termini correttivi che tengono appunto conto dello spin e di effetti relativistici.
Nella mia rapida ricerca mi è sembrato di capire che questo sia dovuto ad un'ipotesi errata nel metodo di Sommerfeld, che però poi ha portato a un risultato corretto (quante volte!).
Detto ciò:
Qui c'è l'articolo originale di Sommerfeld, però è un mattone di 94 pagine in tedesco;
Qui c'è un libro scritto da lui (in inglese), l'argomento viene trattato in pag 467 e seguenti;
Qui anche viene trattato l'argomento e si fa riferimento alla curiosità che dicevo prima.
Purtroppo i testi a cui faccio riferimento non approfondiscono il metodo usato da Sommerfeld per calcolare le sue soluzioni relativistche, per questo mi sono limitato ad accennarlo. Non ti preoccupare però, mi sono messo a cercare un paio di articoli
:Intanto è degno di nota il fatto che il metodo usato da Sommerfeld (che non tiene conto dello spin e quindi dell'interazione spin-orbita), restituisca gli stessi valori di energia che restituirà un metodo un po' più avanzato e che vedremo fra un po', ovvero il trattare pertubativamente l'hamiltoniana classica aggiungendole vari (tre) termini correttivi che tengono appunto conto dello spin e di effetti relativistici.
Nella mia rapida ricerca mi è sembrato di capire che questo sia dovuto ad un'ipotesi errata nel metodo di Sommerfeld, che però poi ha portato a un risultato corretto (quante volte!).
Detto ciò:
Qui c'è l'articolo originale di Sommerfeld, però è un mattone di 94 pagine in tedesco;
Qui c'è un libro scritto da lui (in inglese), l'argomento viene trattato in pag 467 e seguenti;
Qui anche viene trattato l'argomento e si fa riferimento alla curiosità che dicevo prima.
Grazie per i link, ci guarderò. In quanto ai lettori, penso che più di uno legga, o almeno clicca, ma è materia in cui è difficile fare dei commenti. A me viene da dire che stai facendo un lavoro egregio, e il forum dovrebbe esserti grato.
Pausa di riflessione sulla teoria di Schroedinger
Fino ad ora abbiamo incontrato tre modelli atomici: quello di Rutherford, quello di Bohr e quello di Sommerfeld. Il primo fece apprezzare come l'atomo fosse principalmente vuoto e formato dal nucleo, carico positivamente, e da elettroni che vi "orbitano" intorno.
Il secondo ebbe il pregio di dare un volto all'emissione di luce, in quantità discrete, da parte di atomi che si diseccitavano e diede le prime giustificazioni sulla natura quantistica delle grandezze in gioco.
Il modello di Sommerfeld infine diede ragione della struttura fine dell'atomo di Idrogeno, fallendo però appena si aumentasse il numero di elettroni. Inoltre non era in grado di prevedere il numero di linee né di spiegarne l'intensità e, come se non bastasse, falliva nel descrivere fenomeni già noti all'epoca e di cui non abbiamo parlato (effetto Stark ed effetto Zeeman).
Tutti questi modelli hanno in comune, oltre al fatto di descrivere in maniera incompleta i fenomeni osservati, il fatto di utilizzare ipotesi costruite ad hoc per spiegarli.
Nel 1925 Erwin Schroedinger venne in soccorso dei suoi colleghi formulando la sua (a dir poco) famosa equazione.
Ora, prima di continuare, dobbiamo parlare di una cosa. In questi appunti, come ho detto voglio parlare un po' di Fisica della Materia, che però al suo interno utilizza la Meccanica Quantistica. Nonostante ti abbia parlato di alcune cose di base, i più esperti avranno notato che non ho parlato di un sacco di cose, primo fra tutti il Principio di Indeterminazione di Heisenberg, non mi sono soffermato neanche un po' sulla natura corpuscolare-ondulatoria dei quanti, né ti ho (ancora) parlato di importantissimi esperimenti che vennero fatti all'epoca, e così mille altre cose. Questo è dovuto appunto al fatto che questi sono appunti di Fisica della Materia, non puramente di Meccanica Quantistica quindi, per quanto non mi piaccia dare per scontata la conoscenza di certi argomenti da parte tua, non posso[nota]Né sono la persona più adatta a farlo[/nota] farti un corso accelerato di MQ. Ovviamente, nel caso la tua sete di conoscenza fosse così potente da impedirti di continuare senza aver studiato per bene questi concetti, nei riferimenti bibliografici (e innumerevoli altri testi, appunti, video eccetera) è spiegato tutto per filo e per segno (più su [2] che su [1]).
In ogni caso, ora che parleremo dell' Equazione di Schroedinger e funzioni d'onda, e come per il resto di queste note, cercherò sempre di spiegare un minimo i concetti che utilizzo.
Senza indugiare oltre, ripartiamo!
Non credo che ci sia modo migliore per iniziare che mostrarti subito l'Equazione di Schroedinger:
Ora, tenendo in mente che questa equazione sta ad un fisico come l'Ave Maria sta ad un prete, andiamola a commentare un po'.
I più scaltri avranno già notato come questa sia un'equazione alle derivate parziali e, se sono davvero così scaltri, probabilmente stanno già per chiudere tutto e andare su YouTube.
NON FATELO! Per quanto i video di gatti che suonano il piano siano interessanti, ti prometto che la suddetta equazione differenziale verrà semplificata notevolmente, prima "eliminando" la parte temporale e poi riducendo le dimensioni spaziali da tre ad una sola.
Questa equazione descrive l'evoluzione dell'oggetto $\Psi$, detto FUNZIONE D'ONDA e funzione delle coordinate $\vec{x} = (x,y,z)$ e del tempo $t$.
Ogni stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda, che, di per sé, non ha un vero e proprio significato fisico.
Ci si mise un po' a capire che la quantità interessante è il modulo quadro della funzione d'onda, $\abs{\Psi}^2$, che rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni e nel tempo.
Detto in modo più semplice, se abbiamo uno stato di un atomo di idrogenoide, magari anche indipendente dal tempo, descritto dalla Funzione d'onda $\Psi(\vec(x))$, la probabilità di trovare il singolo elettrone in un volume $d\tau = dx dy dz$ è data da:
Se ancora non ti risulta chiarissimo non temere: nei prossimi capitoli ci addentreremo abbastanza in questi concetti, partendo con il risolvere la $\text{(ES)}$ per l'atomo di idrogeno.
Continuando a commentare la $\text{(ES)}$, avrai notato la presenza di $V$, che è un potenziale e che, generalmente, può essere funzione sia delle coordinate che del tempo. Se hai già esperienza di Meccanica Quantistica, sarai familiare con la risoluzione dell' $\text{(ES)}$ per i potenziali più disparati, buche, colline, barriere infinite ecc.
Io ovviamente non mi addentrerò in nulla di tutto ciò, poiché in questi appunti ci interessa la risoluzione dell'equazione per un ben preciso potenziale[nota]Riesci a immaginare quale?[/nota].
Ora, prima di concludere questa pausa di riflessione, è bene portarci un po' avanti con l'$\text{(ES)}$ e farla diventare la $\text{(ESIT)}$, ovvero l'Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo.
Per procedere dobbiamo premurarci di prendere potenziali che non dipendano dal tempo, in modo da poter scrivere l'equazione come:
Fatto ciò, cerchiamo soluzioni nella forma: $\Psi(\vec{x},t)= \psi(\vec{x}) \phi(t)$, verificando a posteriori se ciò si rivelerà corretto, perché siamo fisici.
Inserendo questa espressione nell'equazione otteniamo:
Riarrangiando i termini, senza alcun pudore matematico, otteniamo:
Come avrai sicuramente notato, siamo riusciti a separare le variabili, poiché il primo membro dell'equazione dipende solo da $\vec{x}$ e il secondo solo da $t$. Questo significa che affinché i due membri, indipendenti fra loro, siano sempre uguali, entrambi devono essere uguali ad una costante, che chiameremo $E$[nota]spoiler: è l'energia dello stato.[/nota].
Questo fa sì che l'equazione in funzione di $t$ sia risolta banalmente:
A questo punto, essendo la funzione d'onda completa $\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x}) \phi(t)$, noi ci interesseremo alla soluzione dell'equazione:
Che è esattamente l' Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo. In particolare, nel prossimo capitolo, ci interesseremo alla soluzione della $\text{(ESIT)}$ quando il potenziale $V(\vec{x})$ è il potenziale di Coulomb.
Prima di salutarci, voglio ribadirti per un'ultima volta come questo capitolo sia stata solo un'infarinatura-solo per avere un'idea-incompleta-eccetera-eccetera della meccanica quantistica. Malgrado il titolo, non ti ho fatto l'introduzione di un bel niente, se non un rapido accenno a concetti che useremo in questi appunti. Non ti ho detto da dove è venuta fuori la $\text{(ES)}$, quindi le restrizioni sulle possibili funzioni d'onda e tante altre cose.
Comunque, per procedere più o meno agevolmente in questi appunti, ti basta quello che ti ho detto finora: sapere cos'è l'equazione di Schroedinger e avere un'idea di cosa sia una funzione d'onda.
Ci vediamo al prossimo capitolo:
Indice
Fino ad ora abbiamo incontrato tre modelli atomici: quello di Rutherford, quello di Bohr e quello di Sommerfeld. Il primo fece apprezzare come l'atomo fosse principalmente vuoto e formato dal nucleo, carico positivamente, e da elettroni che vi "orbitano" intorno.
Il secondo ebbe il pregio di dare un volto all'emissione di luce, in quantità discrete, da parte di atomi che si diseccitavano e diede le prime giustificazioni sulla natura quantistica delle grandezze in gioco.
Il modello di Sommerfeld infine diede ragione della struttura fine dell'atomo di Idrogeno, fallendo però appena si aumentasse il numero di elettroni. Inoltre non era in grado di prevedere il numero di linee né di spiegarne l'intensità e, come se non bastasse, falliva nel descrivere fenomeni già noti all'epoca e di cui non abbiamo parlato (effetto Stark ed effetto Zeeman).
Tutti questi modelli hanno in comune, oltre al fatto di descrivere in maniera incompleta i fenomeni osservati, il fatto di utilizzare ipotesi costruite ad hoc per spiegarli.
Nel 1925 Erwin Schroedinger venne in soccorso dei suoi colleghi formulando la sua (a dir poco) famosa equazione.
Ora, prima di continuare, dobbiamo parlare di una cosa. In questi appunti, come ho detto voglio parlare un po' di Fisica della Materia, che però al suo interno utilizza la Meccanica Quantistica. Nonostante ti abbia parlato di alcune cose di base, i più esperti avranno notato che non ho parlato di un sacco di cose, primo fra tutti il Principio di Indeterminazione di Heisenberg, non mi sono soffermato neanche un po' sulla natura corpuscolare-ondulatoria dei quanti, né ti ho (ancora) parlato di importantissimi esperimenti che vennero fatti all'epoca, e così mille altre cose. Questo è dovuto appunto al fatto che questi sono appunti di Fisica della Materia, non puramente di Meccanica Quantistica quindi, per quanto non mi piaccia dare per scontata la conoscenza di certi argomenti da parte tua, non posso[nota]Né sono la persona più adatta a farlo[/nota] farti un corso accelerato di MQ. Ovviamente, nel caso la tua sete di conoscenza fosse così potente da impedirti di continuare senza aver studiato per bene questi concetti, nei riferimenti bibliografici (e innumerevoli altri testi, appunti, video eccetera) è spiegato tutto per filo e per segno (più su [2] che su [1]).
In ogni caso, ora che parleremo dell' Equazione di Schroedinger e funzioni d'onda, e come per il resto di queste note, cercherò sempre di spiegare un minimo i concetti che utilizzo.
Senza indugiare oltre, ripartiamo!
Non credo che ci sia modo migliore per iniziare che mostrarti subito l'Equazione di Schroedinger:
[tex]-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\Psi(\vec{x},t) + V \Psi(\vec{x},t) = i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x},t)}{\partial t} \qquad \text{(ES)}[/tex]
Ora, tenendo in mente che questa equazione sta ad un fisico come l'Ave Maria sta ad un prete, andiamola a commentare un po'.
I più scaltri avranno già notato come questa sia un'equazione alle derivate parziali e, se sono davvero così scaltri, probabilmente stanno già per chiudere tutto e andare su YouTube.
NON FATELO! Per quanto i video di gatti che suonano il piano siano interessanti, ti prometto che la suddetta equazione differenziale verrà semplificata notevolmente, prima "eliminando" la parte temporale e poi riducendo le dimensioni spaziali da tre ad una sola.
Questa equazione descrive l'evoluzione dell'oggetto $\Psi$, detto FUNZIONE D'ONDA e funzione delle coordinate $\vec{x} = (x,y,z)$ e del tempo $t$.
Ogni stato di un sistema quantistico è descritto da una funzione d'onda, che, di per sé, non ha un vero e proprio significato fisico.
Ci si mise un po' a capire che la quantità interessante è il modulo quadro della funzione d'onda, $\abs{\Psi}^2$, che rappresenta la densità di probabilità dello stato sulle posizioni e nel tempo.
Detto in modo più semplice, se abbiamo uno stato di un atomo di idrogenoide, magari anche indipendente dal tempo, descritto dalla Funzione d'onda $\Psi(\vec(x))$, la probabilità di trovare il singolo elettrone in un volume $d\tau = dx dy dz$ è data da:
$P(\text{elettrone all'interno di }d\tau)=\abs{\Psi}^2 d\tau$
Se ancora non ti risulta chiarissimo non temere: nei prossimi capitoli ci addentreremo abbastanza in questi concetti, partendo con il risolvere la $\text{(ES)}$ per l'atomo di idrogeno.
Continuando a commentare la $\text{(ES)}$, avrai notato la presenza di $V$, che è un potenziale e che, generalmente, può essere funzione sia delle coordinate che del tempo. Se hai già esperienza di Meccanica Quantistica, sarai familiare con la risoluzione dell' $\text{(ES)}$ per i potenziali più disparati, buche, colline, barriere infinite ecc.
Io ovviamente non mi addentrerò in nulla di tutto ciò, poiché in questi appunti ci interessa la risoluzione dell'equazione per un ben preciso potenziale[nota]Riesci a immaginare quale?[/nota].
Ora, prima di concludere questa pausa di riflessione, è bene portarci un po' avanti con l'$\text{(ES)}$ e farla diventare la $\text{(ESIT)}$, ovvero l'Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo.
Per procedere dobbiamo premurarci di prendere potenziali che non dipendano dal tempo, in modo da poter scrivere l'equazione come:
[tex]-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\Psi(\vec{x},t) + V(\vec{x}) \Psi(\vec{x},t) = i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x},t)}{\partial t}[/tex]
Fatto ciò, cerchiamo soluzioni nella forma: $\Psi(\vec{x},t)= \psi(\vec{x}) \phi(t)$, verificando a posteriori se ciò si rivelerà corretto, perché siamo fisici.
Inserendo questa espressione nell'equazione otteniamo:
[tex][-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x})]\phi(t)= i \hbar \frac{d\phi(t))}{d t}\psi(\vec{x})[/tex]
Riarrangiando i termini, senza alcun pudore matematico, otteniamo:
[tex]\frac{1}{\psi(\vec{x})}[-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x})]= i \hbar \frac{1}{\phi(t)}\frac{d\phi(t)}{d t}[/tex]
Come avrai sicuramente notato, siamo riusciti a separare le variabili, poiché il primo membro dell'equazione dipende solo da $\vec{x}$ e il secondo solo da $t$. Questo significa che affinché i due membri, indipendenti fra loro, siano sempre uguali, entrambi devono essere uguali ad una costante, che chiameremo $E$[nota]spoiler: è l'energia dello stato.[/nota].
Questo fa sì che l'equazione in funzione di $t$ sia risolta banalmente:
[tex]i \hbar \frac{d\phi(t)}{d t} = E \phi(t) \quad -> \phi(t) = \exp(-\frac{iEt}{\hbar})[/tex]
A questo punto, essendo la funzione d'onda completa $\Psi(\vec{x}, t) = \psi(\vec{x}) \phi(t)$, noi ci interesseremo alla soluzione dell'equazione:
[tex]-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x}) = E \psi(\vec{x})\quad \text{(ESIT)}[/tex]
Che è esattamente l' Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo. In particolare, nel prossimo capitolo, ci interesseremo alla soluzione della $\text{(ESIT)}$ quando il potenziale $V(\vec{x})$ è il potenziale di Coulomb.
Prima di salutarci, voglio ribadirti per un'ultima volta come questo capitolo sia stata solo un'infarinatura-solo per avere un'idea-incompleta-eccetera-eccetera della meccanica quantistica. Malgrado il titolo, non ti ho fatto l'introduzione di un bel niente, se non un rapido accenno a concetti che useremo in questi appunti. Non ti ho detto da dove è venuta fuori la $\text{(ES)}$, quindi le restrizioni sulle possibili funzioni d'onda e tante altre cose.
Comunque, per procedere più o meno agevolmente in questi appunti, ti basta quello che ti ho detto finora: sapere cos'è l'equazione di Schroedinger e avere un'idea di cosa sia una funzione d'onda.
Ci vediamo al prossimo capitolo
:Indice
Al più tardi domani posto il prossimo capitolo (Soluzione dell'ESIT per l'atomo di idrogeno). Mi scuso con i lettori, che immagino saranno spossati da questa lunga attesa 
, ma ho avuto diverse cose da fare nel "mondo reale". Mi farò perdonare cercando di pubblicare un po' più celermente le parti successive!
, ma ho avuto diverse cose da fare nel "mondo reale". Mi farò perdonare cercando di pubblicare un po' più celermente le parti successive!
Soluzione dell'ESIT per l'atomo di idrogeno
"Per me si va ne la città dolente,
per me si va ne l’etterno dolore,
per me si va tra la perduta gente.
[...]
dinanzi a me non fuor cose create
se non etterne, e io etterno duro.
Lasciate ogne speranza, o voi ch’ intrate."
-Inferno, Canto III
Bentornato! Quale modo migliore di accoglierti, se non con l'incoraggiante incisione che Dante trova sulla porta dell'inferno? Ti sembrerà fuori luogo, secondo me invece è un paragone più che azzeccato: la discussione delle soluzioni dell' ESIT per l'atomo di idrogeno è esattamente la porta di ingresso per lo studio della vera e propria struttura della materia![nota]per l'etterno dolore è sufficiente pazientare fino agli atomi a due elettroni.[/nota] Orsù non stiamo a cincischiare oltre e ripartiamo!
L'ultima volta ci siamo lasciati con l'introduzione dell'equazione di Schroedinger indipendente dal tempo:
e ci siamo detti che, per capire attraverso di essa cosa accada dentro un atomo di idrogeno, dobbiamo studiare le soluzioni $\psi(\vec(x))$ e i relativi autovalori di energia $E$, dato come potenziale quello di Coulomb.
Per fare ciò, chiaramente, dobbiamo prima risolvere l'equazione. Il potenziale di Coulomb, in coordinate cartesiane, da:
dove $Z$ è il numero atomico. Ora tu mi dovresti dire: "Ma non siamo parlando dell'atomo di Idrogeno, quindi dovrebbe essere sempre $Z=1$?", e io ti dovrei rispondere: "Bravo! Si vede che stai attento!".
Facciamo finta che tutto ciò sia successo, vorrei solo sottolinearti che il metodo di risoluzione che ti andrò brevemente a esporre è valido per qualsiasi atomo ad 1 (uno!) elettrone, quindi potremmo anche star parlando, ad esempio, di uno ione di Litio in cui $Z=2$ o comunque, più in generale, di un atomo idrogenoide.
Ci piacerebbe molto, per risolvere l'[tex]\text{(ESIT)}[/tex], fare un lavoro di separazione delle variabili analogo a quello fatto per separare la parte spaziale e quella temporale nell' [tex]\text{(ES)}[/tex].
Come avrai notato, il potenziale di Coulomb in coordinate cartesiane fa abbastanza schifo come candidato per questa operazione, dobbiamo quindi passare in coordinate polari sferiche, eliminando la scomodità nel seguente modo:
e facendo attenzione a cambiare coordinate anche per l'operatore $\nabla^2$ (tranquillo, su Wikipedia c'è tutto).
Una volta fatto questo possiamo cercare delle soluzioni $\psi(r,\theta,\phi)$ nella seguente forma:
si, lo so, i fisici hanno un sacco di fantasia nel dare nomi alle cose, ma non distraiamoci!!
Fatti i dovuti cambi di variabile, se inserisci la [tex]\text{(2)}[/tex] nella [tex]\text{(ESIT)}[/tex], otterrai tre equazioni "indipendenti"[nota]Alla fine capirai il perché delle virgolette[/nota], in particolare il problema è stato ricondotto alla risoluzione di tre equazioni differenziali ordinare! Sei contento?
Nella parte che segue non vorrei concentrarmi sui passaggi, matematici e fisici, utilizzati per risolvere le equazioni, si trovano in [1], [2] e un miliardo di altri posti.
Per dimostrarti però che questa decisione non è (solo) frutto della mia pigrizia, ripercorriamo velocemente i suddetti passaggi.
Inserendo soluzioni della forma [tex]\text{(2)}[/tex] nella [tex]\text{(ESIT)}[/tex], le derivazioni parziali diventano derivazioni totali (abbiamo TRE funzioni ad UNA variabile), è possiamo fare la prima suddivisione:
Avrai notato come il primo membro dell'equazione dipenda solo da $\phi$, mentre il secondo solo da $r$ e $\theta$. Esattamente come quando abbiamo separato le variabili nell'[tex]\text{(ES)}[/tex], possiamo porre entrambi i membri uguali a una costante, che per comodità chiameremo $-m ^2$.
Fatto ciò possiamo separare le variabili del secondo membro eguagliato a $-m^2$, ottenendo un membro che dipende solo da $r$ e uno che dipende solo da $\theta$. Di nuovo, possiamo eguagliarli entrambi a una costante, che stavolta chiameremo $l(l+1)$.
Così facendo abbiamo ricondotto il problema alla soluzione del seguente sistema di equazioni differenziali:
Prima di far finta di averle risolte, spendiamo un secondo sulle costanti $m$ ed $l$. L'equazione di $\Phi(\phi)$ è banale ed ha come soluzione particolare:
Occhio che l'esponente non è la parte immaginaria di $\phi$ (non avrebbe senso), ma è $i * m * \phi$.
Ora, poiché $\phi=0$ e $\phi= 2 \pi$ sono lo stesso angolo, e poiché ci piacerebbe che $\Phi$ si comportasse da funzione per bene, è necessario imporre che essa abbia lo stesso valore in entrambi i casi: $\Phi(0) = \Phi(2 \pi)$. Questo ci dà delle condizioni sui valori di $m$, come mostrato qua sotto:
la condizione su $m$ è quindi:
Ragionamenti simili, ma un po' più intricati, portano alle condizioni sui valori di $l$:
e alla risoluzione dell'equazione in $\Theta$. Per ora ti basti sapere che le soluzioni $\Phi(\phi)$ e $\Theta(\theta)$ sono spesso scritte nella forma:
è sono dette Armoniche Sferiche.
Nel prossimo capitolo farò un breve sunto sulla particolarità del momento angolare in meccanica quantistica e sul perché la parte angolare si scriva nella forma $\text{(5)}$ (la versione corta è che le $\text{(5)}$ sono simultaneamente autofunzioni di $\hat{L^2} $ e $\hat{L_z}$, ma ci arriveremo).
Per quanto riguarda ultima delle $(4)$, l'equazione di Schroedinger radiale, la sua soluzione è quantomai laboriosa, per cui mi limito a riportartene le soluzioni, tenendo presente che, dati i valori di $l$ ed $m$ ottenuti dalle considerazioni precedenti, si hanno soluzioni fisicamente accettabili solo per determinati valori dell'energia totale $E_n$, in particolare solo per:
dove $n$ può assumere solo i valori: $n= l+1, l+2, l+3,....$
e le soluzioni $R_{nl}(r)$ possono essere scritte come:
Dove $G_{nl}((Zr)/a_0)$ sono funzioni polinomiali in $((Zr)/a_0)$, che cambiano forma a seconda dei valori di $n$ ed $l$, conosciuti come Polinomi di Laguerre generalizzati.
La costante $a_0$ è detta Raggio di Bohr ed è una delle grandezze di riferimento in meccanica quantistica, ha il valore del raggio dell'orbita più interna di un atomo di Idrogeno (di Bohr) e si può scrivere come:
Come hai potuto notare quindi, malgrado gli autovalori di energia $E_n$ dipendano solo dal numero quantico principale $n$, le autofunzioni $Y_{lm}(\theta, \phi)$ e $R_(nl)(r)$ dipendono anche dal numero quantico orbitale $l$ e dal numero quantico magnetico $m$.
Va da sé quindi che uno stato quantomeccanico descritto da un'autofunzione completa $\psi(r,\theta,\phi)= R_(nl)(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$ sia definito dai 3 (TRE!) numeri quantici ${n,l,m}$. Immagino che ciò non ti colga di sorpresa, essendo appunto TRE le variabili indipendenti nell' $\text{(ES)}$.
Direi che posso concludere questo capitolo facendoti osservare, se non l'hai già notato, come gli autovalori di energia $\text{(6)}$, trovati da Schroedinger con tanta fatica, corrispondano esattamente agli autovalori trovati dal buon Niels Bohr per il suo atomo di idrogeno. Non mi guardare così, non è stato tutto lavoro inutile! Sicuramente ci fa piacere che i due valori coincidano, ma con il metodo di Schroedinger potremmo affrontare situazioni ben più complicate di ciò che abbiamo visto finora!
Ci vediamo al prossimo capitolo, dove daremo un'occhiata alle autofunzioni complete dell'atomo di Idrogeno e completeremo il discorso sulle armoniche sferiche, facendo due chiacchiere sul momento angolare in meccanica quantistica.
"E quindi uscimmo a riveder le stelle."
Indice
"Per me si va ne la città dolente,
per me si va ne l’etterno dolore,
per me si va tra la perduta gente.
[...]
dinanzi a me non fuor cose create
se non etterne, e io etterno duro.
Lasciate ogne speranza, o voi ch’ intrate."
-Inferno, Canto III
Bentornato! Quale modo migliore di accoglierti, se non con l'incoraggiante incisione che Dante trova sulla porta dell'inferno? Ti sembrerà fuori luogo, secondo me invece è un paragone più che azzeccato: la discussione delle soluzioni dell' ESIT per l'atomo di idrogeno è esattamente la porta di ingresso per lo studio della vera e propria struttura della materia![nota]per l'etterno dolore è sufficiente pazientare fino agli atomi a due elettroni.[/nota] Orsù non stiamo a cincischiare oltre e ripartiamo!
L'ultima volta ci siamo lasciati con l'introduzione dell'equazione di Schroedinger indipendente dal tempo:
[tex]-\frac{\hbar ^2}{2 \mu} \nabla^2\psi(\vec{x}) + V(\vec{x}) \psi(\vec{x}) = E \psi(\vec{x})\quad \text{(ESIT)}[/tex]
e ci siamo detti che, per capire attraverso di essa cosa accada dentro un atomo di idrogeno, dobbiamo studiare le soluzioni $\psi(\vec(x))$ e i relativi autovalori di energia $E$, dato come potenziale quello di Coulomb.
Per fare ciò, chiaramente, dobbiamo prima risolvere l'equazione. Il potenziale di Coulomb, in coordinate cartesiane, da:
$V(x,y,z) = (-Z e^2)/(4 \pi \varepsilon_0) 1/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))\qquad \text{(1)}$
dove $Z$ è il numero atomico. Ora tu mi dovresti dire: "Ma non siamo parlando dell'atomo di Idrogeno, quindi dovrebbe essere sempre $Z=1$?", e io ti dovrei rispondere: "Bravo! Si vede che stai attento!".
Facciamo finta che tutto ciò sia successo, vorrei solo sottolinearti che il metodo di risoluzione che ti andrò brevemente a esporre è valido per qualsiasi atomo ad 1 (uno!) elettrone, quindi potremmo anche star parlando, ad esempio, di uno ione di Litio in cui $Z=2$ o comunque, più in generale, di un atomo idrogenoide.
Ci piacerebbe molto, per risolvere l'[tex]\text{(ESIT)}[/tex], fare un lavoro di separazione delle variabili analogo a quello fatto per separare la parte spaziale e quella temporale nell' [tex]\text{(ES)}[/tex].
Come avrai notato, il potenziale di Coulomb in coordinate cartesiane fa abbastanza schifo come candidato per questa operazione, dobbiamo quindi passare in coordinate polari sferiche, eliminando la scomodità nel seguente modo:
$1/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) \rarr 1/r$
e facendo attenzione a cambiare coordinate anche per l'operatore $\nabla^2$ (tranquillo, su Wikipedia c'è tutto).
Una volta fatto questo possiamo cercare delle soluzioni $\psi(r,\theta,\phi)$ nella seguente forma:
[tex]\psi(r,\theta,\phi)= R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\quad \text{(2)}[/tex]
si, lo so, i fisici hanno un sacco di fantasia nel dare nomi alle cose, ma non distraiamoci!!
Fatti i dovuti cambi di variabile, se inserisci la [tex]\text{(2)}[/tex] nella [tex]\text{(ESIT)}[/tex], otterrai tre equazioni "indipendenti"[nota]Alla fine capirai il perché delle virgolette[/nota], in particolare il problema è stato ricondotto alla risoluzione di tre equazioni differenziali ordinare! Sei contento?
Nella parte che segue non vorrei concentrarmi sui passaggi, matematici e fisici, utilizzati per risolvere le equazioni, si trovano in [1], [2] e un miliardo di altri posti.
Per dimostrarti però che questa decisione non è (solo) frutto della mia pigrizia, ripercorriamo velocemente i suddetti passaggi.
Inserendo soluzioni della forma [tex]\text{(2)}[/tex] nella [tex]\text{(ESIT)}[/tex], le derivazioni parziali diventano derivazioni totali (abbiamo TRE funzioni ad UNA variabile), è possiamo fare la prima suddivisione:
[tex]\frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d \phi^2}= -\frac{\sin^2 \theta}{R}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{r})-\frac{\sin \theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}(\sin \theta \frac{d\Theta}{d\theta})- \frac{2 \mu}{ \hbar^2}r^2 \sin^2\theta [E-V(r)]\quad \text{(3)}[/tex]
Avrai notato come il primo membro dell'equazione dipenda solo da $\phi$, mentre il secondo solo da $r$ e $\theta$. Esattamente come quando abbiamo separato le variabili nell'[tex]\text{(ES)}[/tex], possiamo porre entrambi i membri uguali a una costante, che per comodità chiameremo $-m ^2$.
Fatto ciò possiamo separare le variabili del secondo membro eguagliato a $-m^2$, ottenendo un membro che dipende solo da $r$ e uno che dipende solo da $\theta$. Di nuovo, possiamo eguagliarli entrambi a una costante, che stavolta chiameremo $l(l+1)$.
Così facendo abbiamo ricondotto il problema alla soluzione del seguente sistema di equazioni differenziali:
[tex]\begin{cases}
\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}= -m^2 \Phi \\ -\frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta}(\sin\theta \frac{d\Theta}{d \theta}) + \frac{m^2 \Theta}{\sin^2 \theta} = l(l+1) \theta\\ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{dr}) + \frac{2 \mu}{\hbar ^2}[E-V(r)]R = l(l+1)\frac{R}{r^2}
\end{cases}\quad \text{(4)}[/tex]
\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2}= -m^2 \Phi \\ -\frac{1}{\sin \theta}\frac{d}{d\theta}(\sin\theta \frac{d\Theta}{d \theta}) + \frac{m^2 \Theta}{\sin^2 \theta} = l(l+1) \theta\\ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR}{dr}) + \frac{2 \mu}{\hbar ^2}[E-V(r)]R = l(l+1)\frac{R}{r^2}
\end{cases}\quad \text{(4)}[/tex]
Prima di far finta di averle risolte, spendiamo un secondo sulle costanti $m$ ed $l$. L'equazione di $\Phi(\phi)$ è banale ed ha come soluzione particolare:
[tex]\Phi(\phi)= e^{i m \phi}[/tex]
Occhio che l'esponente non è la parte immaginaria di $\phi$ (non avrebbe senso), ma è $i * m * \phi$.
Ora, poiché $\phi=0$ e $\phi= 2 \pi$ sono lo stesso angolo, e poiché ci piacerebbe che $\Phi$ si comportasse da funzione per bene, è necessario imporre che essa abbia lo stesso valore in entrambi i casi: $\Phi(0) = \Phi(2 \pi)$. Questo ci dà delle condizioni sui valori di $m$, come mostrato qua sotto:
[tex]\Phi(o)=\Phi(2\pi) -> e^{im 0} = e^{i m 2\pi} -> 1 = \cos(m 2\pi) + i \sin(2 \pi)[/tex]
la condizione su $m$ è quindi:
$\abs{m} = 0, 1, 2, 3,...$
Ragionamenti simili, ma un po' più intricati, portano alle condizioni sui valori di $l$:
$l= \abs{m}, \abs{m} +1, \abs{m}+2,...$
e alla risoluzione dell'equazione in $\Theta$. Per ora ti basti sapere che le soluzioni $\Phi(\phi)$ e $\Theta(\theta)$ sono spesso scritte nella forma:
$\Y_{lm} (\theta, \phi) = \Theta_{lm}(\theta) \Phi_m(\phi)\quad \text{(5)}$
è sono dette Armoniche Sferiche.
Nel prossimo capitolo farò un breve sunto sulla particolarità del momento angolare in meccanica quantistica e sul perché la parte angolare si scriva nella forma $\text{(5)}$ (la versione corta è che le $\text{(5)}$ sono simultaneamente autofunzioni di $\hat{L^2} $ e $\hat{L_z}$, ma ci arriveremo).
Per quanto riguarda ultima delle $(4)$, l'equazione di Schroedinger radiale, la sua soluzione è quantomai laboriosa, per cui mi limito a riportartene le soluzioni, tenendo presente che, dati i valori di $l$ ed $m$ ottenuti dalle considerazioni precedenti, si hanno soluzioni fisicamente accettabili solo per determinati valori dell'energia totale $E_n$, in particolare solo per:
[tex]E_n = -\frac{\mu Z^2e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 2 \hbar^2 n^2}\quad \text{(6)}[/tex]
dove $n$ può assumere solo i valori: $n= l+1, l+2, l+3,....$
e le soluzioni $R_{nl}(r)$ possono essere scritte come:
[tex]R_{nl}(r) = e^{(-Zr)/(n a_0)} (Zr/a_0)^l G_{nl}(Zr/a_0)\quad \text{(7)}[/tex]
.Dove $G_{nl}((Zr)/a_0)$ sono funzioni polinomiali in $((Zr)/a_0)$, che cambiano forma a seconda dei valori di $n$ ed $l$, conosciuti come Polinomi di Laguerre generalizzati.
La costante $a_0$ è detta Raggio di Bohr ed è una delle grandezze di riferimento in meccanica quantistica, ha il valore del raggio dell'orbita più interna di un atomo di Idrogeno (di Bohr) e si può scrivere come:
[tex]a_0= (4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2)/\mu e^2\quad \text{(8)}[/tex]
Come hai potuto notare quindi, malgrado gli autovalori di energia $E_n$ dipendano solo dal numero quantico principale $n$, le autofunzioni $Y_{lm}(\theta, \phi)$ e $R_(nl)(r)$ dipendono anche dal numero quantico orbitale $l$ e dal numero quantico magnetico $m$.
Va da sé quindi che uno stato quantomeccanico descritto da un'autofunzione completa $\psi(r,\theta,\phi)= R_(nl)(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$ sia definito dai 3 (TRE!) numeri quantici ${n,l,m}$. Immagino che ciò non ti colga di sorpresa, essendo appunto TRE le variabili indipendenti nell' $\text{(ES)}$.
Direi che posso concludere questo capitolo facendoti osservare, se non l'hai già notato, come gli autovalori di energia $\text{(6)}$, trovati da Schroedinger con tanta fatica, corrispondano esattamente agli autovalori trovati dal buon Niels Bohr per il suo atomo di idrogeno. Non mi guardare così, non è stato tutto lavoro inutile! Sicuramente ci fa piacere che i due valori coincidano, ma con il metodo di Schroedinger potremmo affrontare situazioni ben più complicate di ciò che abbiamo visto finora!
Ci vediamo al prossimo capitolo, dove daremo un'occhiata alle autofunzioni complete dell'atomo di Idrogeno e completeremo il discorso sulle armoniche sferiche, facendo due chiacchiere sul momento angolare in meccanica quantistica.
"E quindi uscimmo a riveder le stelle."
Indice
Grazie Singularity, è in piacere leggere le tue note
Grazie a te, ralf86! Mi scalda il cuore sapere che c'è chi si intrattiene leggendole.
A breve pubblico la prossima parte
A breve pubblico la prossima parte
Autofunzioni complete, operatori e commutatori
Nell'ultimo capitolo siamo finalmente riusciti a capirci qualcosa sulle soluzioni dell' $\text{ESIT}$ per l'atomo di idrogeno. È venuto fuori che esistono soluzioni accettabili nella forma $\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$, dove ${n,l,m}$ sono numeri interi che possono assumere solo determinati valori e che vanno a definire completamente[nota]per ora[/nota] lo stato dell'elettrone.
Le funzioni $R_{nl}(r)$ (autofunzioni radiali) e $\Y_{lm}(\theta, \phi)$ (armoniche sferiche) te le scrivo qui, una volta per tutte:
mentre per valori negativi di $m$ si ha $Y_{l -m}(\theta, \phi)= (-1)^m Y_{lm} ^{\text{*}}(\theta, \phi)$, dove il simbolo $\text{*}$ sta ad indicare il complesso coniugato. Per le espressioni di $L_{n+l} ^{2l +1} (\rho)$ e $P_l ^m (\cos\theta)$ con le notazioni usate qui, ti rimando a [1].
Come vedi non sono esattamente le funzioni più intuitive del mondo, e stiamo parlando ancora dell'atomo più semplice possibile, con UN solo elettrone. Ti lascio immaginare cosa arriverà tra un po'...
Comunque la moltitudine di costanti davanti alle autofunzioni non è casuale. Se ti ricordi, durante la Pausa di riflessione sulla teoria di Schroedinger avevamo parlato del fatto che il modulo quadro della funzione d'onda rappresentasse la densità di probabilità degli stati sulle posizioni, in particolare:
Va da sé dunque che una delle proprietà di cui un'autofunzione non può fare a meno è il fatto di essere normalizzata a 1, che in matematichese si può scrivere:
dove $\Omega$ è tutto lo spazio in cui sono definite le variabili di $\psi$. Questo significa semplicemente che la somma di tutte le probabilità deve fare uno. Nel nostro caso stiamo utilizzando le coordinate polari, quindi esplicitamente possiamo scrivere:
Per la parte angolare puoi verificare come :
dove $\delta_{ij}$ è il delta di Kroenecker, che è definito semplicemente come $\delta_{ij} = 0 $ se $i \ne j$, $\delta_{ij} = 1$ se $i=j$.
quindi la normalizzazione della autofunzione totale si riconduce in realtà alla normalizzazione della sola autofunzione radiale:
e alla fine salta fuori $\text{(1)}$. Da quanto ti ho appena detto avrai intuito che la funzione $R_{nl}(r)$ altro non è che la "densità elettronica" in funzione della distanza dal nucleo $r$.
In particolare $r^2 \abs{R_{nl}}^2$ rappresenta[nota]ovviamente il segno di valore assoluto è superfluo, lo metto lo stesso perché mi rende la notazione un po' meno arzigogolata rispetto a $R_{nl}^2$[/nota] la densità di probabilità radiale per l'elettrone, ovvero la probabilità per unità di lunghezza che l'elettrone si trovi nel guscio sferico di raggi $r$ e $r+dr$ centrato sul nucleo. Questa informazione è estremamente importante, poiché ci consente di ricavare informazioni sulle proprietà e il comportamento dell'elettrone nell'atomo di H per diversi valori di $n$ ed $l$.
A titolo di esempio, in spoiler ti ho messo il grafico di $r^2 \abs{R_{10}(r)}^2$:
Come vedi, in questo caso vi è un solo massimo, cosa che avviene ogni volta che $l= n-1$, e, guarda caso, nello stato fondemantale[nota]che è semplicemente un modo di chiamare lo stato di minima energia[/nota] il punto in cui è più probabile trovare l'elettrone risulta essere a distanza $r= a_0$, il raggio di Bohr.
Ogni volta che vi è un solo massimo, esso si trova a $r_n ^{max} = n^2 a_0/Z$, nei casi in cui $l \ne n-1$ vi sono altri massimi "secondari", e così via si possono ricavare tutta una serie di informazioni circa il comportamento dell'atomo.
È importante che tu non confonda il raggio per il quale la probabilità di trovare l'elettrone è massima $r_max$, ovvero quello che abbiamo appena visto, con il valore medio $\bar{r}_{nl}$.
Apriamo un attimo una parentesi. Se non lo sapevi già, dalla $\text{(3)}$ avrai intuito che in meccanica quantistica vi è la leggerissima particolarità di poter fare solo previsioni probabilistiche. Prendiamo ad esempio il nostro beneamato atomo di idrogeno, magari pure nello stato fondamentale, e uno strumento che ci dica esattamente a che distanza dal nucleo si trova l'elettrone. Noi non saremo mai in grado di prevedere a che distanza $r$ troveremo l'elettrone nella prossima misurazione. L'unica cosa che possiamo dire è che, fatto un numero abbastanza grande di misure, l'elettrone si sarà comportato come in figura, avendo sì un picco per $r=a_0$, ma avendo una distanza dal nucleo media $\bar{r}_{nl} \ne a_0$.
Più in generale in meccanica quantistica, dato un sistema descritto dalla funzione d'onda $\psi$, ad ogni grandezza (per dirla ancora meglio, un'osservabile) $G$ si associa un operatore $\hat{O}$. Questo operatore agisce su $\psi$ e deve essere definito in modo tale che:
dove $g$ è autovalore della grandezza $G$ (e autovalore di $\hat{O}$, nel senso matematico del termine).
Il valore medio o valore di aspettazione della grandezza $g$ è dato da:
dove $V$ è tutto lo spazio in cui sono definite le variabili di $\psi$. Questo vale anche per qualsiasi funzione dell'operatore $\hat{O}$
Giacché siamo arrivati fin qui, permettimi di introdurti anche il commutatore di due operatori $[,]
$, prima di riprendere il discorso.
Date due grandezze $A$ e $B$ con i rispettivi operatori $\hat{A}$ e $\hat{B}$, si definisce commutazione sui due operatori l'operazione:
Se $[\hat{A},\hat{B}]=0$ si dice che gli operatori commutano e allora le due grandezze sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria.
Se $[\hat{A},\hat{B}] \ne 0$ si dice che gli operatori non commutano e allora le due grandezze non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria ed esiste una relazione di incertezza tra le osservabili [nota]altro non è, udite udite, che una versione generale del Principio di Heisenberg[/nota] data da:
Ok, direi che come parentesi può bastare. Eravamo partiti con la ricerca del valore medio del raggio atomico in uno stato[nota]ricorda che le autofunzioni radiali sono indipendenti dal numero quantico magnetico $m$[/nota] ${n,l}$, ora grazie alla $\text{(9)}$ abbiamo gli strumenti per calcolarlo, basta inserirvi la $\psi (r, \theta, \phi)$ che conosciamo noi, sapendo che l'operatore associato alla coordinata $r$ è esattamente $r$ stesso. Tutti i calcoli e le amenità varie te le lascio volentieri, le puoi andare a vedere su [2], mi limito a riportarti qua il risultato:
per farti apprezzare come sia effetivamente diverso da $r^{\text{max}}$, avendo sì una forte dipendenza da $n$ come quest'ultimo, ma con un'influenza anche del numero quantico orbitale $l$, seppur mitigata da quel $n^2$ al denominatore.
Mi sembra di aver detto un bel po' di roba. Ti dico che sinceramente avevo progettato di inserire anche una piccola parte sul momento angolare in questo capitolo, ma a questo punto mi sa che è meglio farlo al prossimo capitolo.
Per finire questa sezione sugli atomi ad un elettrone, oltre alla piccola parentesi sul momento angolare (e spin!) che sarà la prossima parte, direi che ci mancherà solo un altro capitolo sulle correzioni relativistiche (viste un po' meglio stavolta, anche per la gioia di Shackle ).
Abbiamo dunque quasi finito questo capitolo, ma non ti preoccupare, come diceva Frank Sinatra the best is yet to come!
Ci vediamo al prossimo capitolo
Indice
Nell'ultimo capitolo siamo finalmente riusciti a capirci qualcosa sulle soluzioni dell' $\text{ESIT}$ per l'atomo di idrogeno. È venuto fuori che esistono soluzioni accettabili nella forma $\psi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$, dove ${n,l,m}$ sono numeri interi che possono assumere solo determinati valori e che vanno a definire completamente[nota]per ora[/nota] lo stato dell'elettrone.
Le funzioni $R_{nl}(r)$ (autofunzioni radiali) e $\Y_{lm}(\theta, \phi)$ (armoniche sferiche) te le scrivo qui, una volta per tutte:
$R_{nl} = -{(\frac{2Z}{n a_0})^2 \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}}^{1/2} e^{-\rho/2} \rho^l L_{n+l} ^{2l +1} (\rho),\quad \rho= \frac{2Z}{na_0}r \qquad \text{(1)}$
$Y_{lm}(\theta, \phi) = (-1)^m [\frac{(2l+1)(l-m)!}{4 \pi (l+m)!}]^{1/2}P_l ^m (\cos\theta)e^{im \phi}, \quad m >= 0 \qquad \text{(2)}$
mentre per valori negativi di $m$ si ha $Y_{l -m}(\theta, \phi)= (-1)^m Y_{lm} ^{\text{*}}(\theta, \phi)$, dove il simbolo $\text{*}$ sta ad indicare il complesso coniugato. Per le espressioni di $L_{n+l} ^{2l +1} (\rho)$ e $P_l ^m (\cos\theta)$ con le notazioni usate qui, ti rimando a [1].
Come vedi non sono esattamente le funzioni più intuitive del mondo, e stiamo parlando ancora dell'atomo più semplice possibile, con UN solo elettrone. Ti lascio immaginare cosa arriverà tra un po'...
Comunque la moltitudine di costanti davanti alle autofunzioni non è casuale. Se ti ricordi, durante la Pausa di riflessione sulla teoria di Schroedinger avevamo parlato del fatto che il modulo quadro della funzione d'onda rappresentasse la densità di probabilità degli stati sulle posizioni, in particolare:
$P(\text{elettrone all'interno di }d\tau)=\abs{\psi}^2 d\tau \qquad \text{(3)}$
Va da sé dunque che una delle proprietà di cui un'autofunzione non può fare a meno è il fatto di essere normalizzata a 1, che in matematichese si può scrivere:
$\int_{\Omega} \abs{\psi}^2 d \tau=1 \qquad \text{(4)}$
dove $\Omega$ è tutto lo spazio in cui sono definite le variabili di $\psi$. Questo significa semplicemente che la somma di tutte le probabilità deve fare uno. Nel nostro caso stiamo utilizzando le coordinate polari, quindi esplicitamente possiamo scrivere:
$\int_0 ^{\infty}r^2 dr \int_0 ^{\pi} \sin \theta d \theta \int_0 ^{2 \pi} \abs{\psi_{nlm}(r, \theta, \phi)}^2 d \phi= 1 \qquad \text{(5)}$
Per la parte angolare puoi verificare come :
$\int_0 ^{2\pi} d\phi \int_0 ^\pi d \theta \sin \theta Y_{l'm'} ^{\text{*}}(\theta, \phi) Y_{lm} (\theta, \phi) = \delta_{ll'} \delta_{m m'} \qquad \text{(6)}$
dove $\delta_{ij}$ è il delta di Kroenecker, che è definito semplicemente come $\delta_{ij} = 0 $ se $i \ne j$, $\delta_{ij} = 1$ se $i=j$.
quindi la normalizzazione della autofunzione totale si riconduce in realtà alla normalizzazione della sola autofunzione radiale:
$\int_0 ^{\infty} r^2 \abs{R_{nl}}^2 dr = 1 \qquad \text{(7)}$
e alla fine salta fuori $\text{(1)}$. Da quanto ti ho appena detto avrai intuito che la funzione $R_{nl}(r)$ altro non è che la "densità elettronica" in funzione della distanza dal nucleo $r$.
In particolare $r^2 \abs{R_{nl}}^2$ rappresenta[nota]ovviamente il segno di valore assoluto è superfluo, lo metto lo stesso perché mi rende la notazione un po' meno arzigogolata rispetto a $R_{nl}^2$[/nota] la densità di probabilità radiale per l'elettrone, ovvero la probabilità per unità di lunghezza che l'elettrone si trovi nel guscio sferico di raggi $r$ e $r+dr$ centrato sul nucleo. Questa informazione è estremamente importante, poiché ci consente di ricavare informazioni sulle proprietà e il comportamento dell'elettrone nell'atomo di H per diversi valori di $n$ ed $l$.
A titolo di esempio, in spoiler ti ho messo il grafico di $r^2 \abs{R_{10}(r)}^2$:
Come vedi, in questo caso vi è un solo massimo, cosa che avviene ogni volta che $l= n-1$, e, guarda caso, nello stato fondemantale[nota]che è semplicemente un modo di chiamare lo stato di minima energia[/nota] il punto in cui è più probabile trovare l'elettrone risulta essere a distanza $r= a_0$, il raggio di Bohr.
Ogni volta che vi è un solo massimo, esso si trova a $r_n ^{max} = n^2 a_0/Z$, nei casi in cui $l \ne n-1$ vi sono altri massimi "secondari", e così via si possono ricavare tutta una serie di informazioni circa il comportamento dell'atomo.
È importante che tu non confonda il raggio per il quale la probabilità di trovare l'elettrone è massima $r_max$, ovvero quello che abbiamo appena visto, con il valore medio $\bar{r}_{nl}$.
Apriamo un attimo una parentesi. Se non lo sapevi già, dalla $\text{(3)}$ avrai intuito che in meccanica quantistica vi è la leggerissima particolarità di poter fare solo previsioni probabilistiche. Prendiamo ad esempio il nostro beneamato atomo di idrogeno, magari pure nello stato fondamentale, e uno strumento che ci dica esattamente a che distanza dal nucleo si trova l'elettrone. Noi non saremo mai in grado di prevedere a che distanza $r$ troveremo l'elettrone nella prossima misurazione. L'unica cosa che possiamo dire è che, fatto un numero abbastanza grande di misure, l'elettrone si sarà comportato come in figura, avendo sì un picco per $r=a_0$, ma avendo una distanza dal nucleo media $\bar{r}_{nl} \ne a_0$.
Più in generale in meccanica quantistica, dato un sistema descritto dalla funzione d'onda $\psi$, ad ogni grandezza (per dirla ancora meglio, un'osservabile) $G$ si associa un operatore $\hat{O}$. Questo operatore agisce su $\psi$ e deve essere definito in modo tale che:
$\hat{O} \psi = g \psi \qquad \text{(8)}$
dove $g$ è autovalore della grandezza $G$ (e autovalore di $\hat{O}$, nel senso matematico del termine).
Il valore medio o valore di aspettazione della grandezza $g$ è dato da:
$\bar{g} = =\int_V dV \psi^\text{*} \hat{O} \psi \qquad \text{(9)}$
dove $V$ è tutto lo spazio in cui sono definite le variabili di $\psi$. Questo vale anche per qualsiasi funzione dell'operatore $\hat{O}$
Giacché siamo arrivati fin qui, permettimi di introdurti anche il commutatore di due operatori $[,]
$, prima di riprendere il discorso.
Date due grandezze $A$ e $B$ con i rispettivi operatori $\hat{A}$ e $\hat{B}$, si definisce commutazione sui due operatori l'operazione:
$[\hat{A}$,$\hat{B}]=\hat{A}\hat{B} -\hat{B}\hat{A} \qquad \text{(10)}$
Se $[\hat{A},\hat{B}]=0$ si dice che gli operatori commutano e allora le due grandezze sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria.
Se $[\hat{A},\hat{B}] \ne 0$ si dice che gli operatori non commutano e allora le due grandezze non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria ed esiste una relazione di incertezza tra le osservabili [nota]altro non è, udite udite, che una versione generale del Principio di Heisenberg[/nota] data da:
$\Delta A \Delta B >= \frac{<[\hat{A},\hat{B}] >}{2} \qquad \text{(11)}$
Ok, direi che come parentesi può bastare. Eravamo partiti con la ricerca del valore medio del raggio atomico in uno stato[nota]ricorda che le autofunzioni radiali sono indipendenti dal numero quantico magnetico $m$[/nota] ${n,l}$, ora grazie alla $\text{(9)}$ abbiamo gli strumenti per calcolarlo, basta inserirvi la $\psi (r, \theta, \phi)$ che conosciamo noi, sapendo che l'operatore associato alla coordinata $r$ è esattamente $r$ stesso. Tutti i calcoli e le amenità varie te le lascio volentieri, le puoi andare a vedere su [2], mi limito a riportarti qua il risultato:
$\bar{r_{nl}} = \frac{n^2 a_0}{Z}{1+ \frac{1}{2}[\- \frac{l(l+1)}{n^2}] } \qquad \text{(12)}$
per farti apprezzare come sia effetivamente diverso da $r^{\text{max}}$, avendo sì una forte dipendenza da $n$ come quest'ultimo, ma con un'influenza anche del numero quantico orbitale $l$, seppur mitigata da quel $n^2$ al denominatore.
Mi sembra di aver detto un bel po' di roba. Ti dico che sinceramente avevo progettato di inserire anche una piccola parte sul momento angolare in questo capitolo, ma a questo punto mi sa che è meglio farlo al prossimo capitolo.
Per finire questa sezione sugli atomi ad un elettrone, oltre alla piccola parentesi sul momento angolare (e spin!) che sarà la prossima parte, direi che ci mancherà solo un altro capitolo sulle correzioni relativistiche (viste un po' meglio stavolta, anche per la gioia di Shackle
).Abbiamo dunque quasi finito questo capitolo, ma non ti preoccupare, come diceva Frank Sinatra the best is yet to come!
Ci vediamo al prossimo capitolo
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