The Planck series: Un viaggio informale all'interno della Materia
Salve a tutti,
è da un po' che non sono molto attivo sul forum (ma non vi preoccupate, ci sono anche se non mi vedete
).
Poiché nell'ultimo anno mi sono dedicato poco alla Fisica, per una moltitudine di motivi, ho pensato che il mio ritorno dovesse includere qualche progetto del tipo che vi sto a illustrare. Ho intenzione di redarre un po' di appunti di Fisica della Materia in maniera pubblica, in modo che sia utile per me nel ricordare vari concetti e nozioni, ma, soprattutto, spero che possa essere utile ad avventori del forum che andassero alla ricerca di queste informazioni.
L'ispirazione mi è venuta dai thread come quello di Sergio sull'Algebra Lineare, quello di Camillo e gugo82 sulla funzione integrale ecc.
Chiunque se la senta di dare correzioni, suggerimenti, o anche voglia fare delle revisioni prima che io pubblichi gli argomenti, non solo è il benvenuto, ma è incoraggiato a farlo
.
Detto ciò, ho scritto un indice generale sugli argomenti che tratterò da qui alla fine (se ci arriviamo), le sottosezioni le aggiornerò man mano che il progetto va avanti, ma le sezioni principali sono quelle. Indicativamente, cercherò di pubblicare almeno una sottosezione a settimana.
Prima di cominciare però, mi sembra doveroso un:
Disclaimer
I testi a cui farò riferimento sono i seguenti:
Bibliografia
Impazienti di cominciare?
No?
E io comincio lo stesso
è da un po' che non sono molto attivo sul forum (ma non vi preoccupate, ci sono anche se non mi vedete
).Poiché nell'ultimo anno mi sono dedicato poco alla Fisica, per una moltitudine di motivi, ho pensato che il mio ritorno dovesse includere qualche progetto del tipo che vi sto a illustrare. Ho intenzione di redarre un po' di appunti di Fisica della Materia in maniera pubblica, in modo che sia utile per me nel ricordare vari concetti e nozioni, ma, soprattutto, spero che possa essere utile ad avventori del forum che andassero alla ricerca di queste informazioni.
L'ispirazione mi è venuta dai thread come quello di Sergio sull'Algebra Lineare, quello di Camillo e gugo82 sulla funzione integrale ecc.
Chiunque se la senta di dare correzioni, suggerimenti, o anche voglia fare delle revisioni prima che io pubblichi gli argomenti, non solo è il benvenuto, ma è incoraggiato a farlo
.Detto ciò, ho scritto un indice generale sugli argomenti che tratterò da qui alla fine (se ci arriviamo), le sottosezioni le aggiornerò man mano che il progetto va avanti, ma le sezioni principali sono quelle. Indicativamente, cercherò di pubblicare almeno una sottosezione a settimana.
Prima di cominciare però, mi sembra doveroso un:
Disclaimer
I testi a cui farò riferimento sono i seguenti:
Bibliografia
Impazienti di cominciare?
No?
E io comincio lo stesso
Indice:
- • Introduzione veloce alla spettroscopia atomica e ai modelli atomici
- • Spettroscopia e modello di Rutheford[/list:u:2on53gg8]
- • Spettroscopia e modello di Bohr[/list:u:2on53gg8]
- • Cenni sul modello di Wilson-Sommerfeld[/list:u:2on53gg8]
[/list:u:2on53gg8]
- • Atomi ad 1 (uno) elettrone;[/list:u:2on53gg8]
- • Pausa di riflessione sulla teoria di Schroedinger[/list:u:2on53gg8]
- • Soluzione dell'ESIT per l'atomo di idrogeno[/list:u:2on53gg8]
- • Autofunzioni complete, operatori e commutatori[/list:u:2on53gg8]
- • Atomi a 2 (due) elettroni;[/list:u:2on53gg8]
- • Atomi a molti (n>2) elettroni;[/list:u:2on53gg8]
- • Molecole.[/list:u:2on53gg8]
Risposte
Per finire questa sezione sugli atomi ad un elettrone, oltre alla piccola parentesi sul momento angolare (e spin!) che sarà la prossima parte, direi che ci mancherà solo un altro capitolo sulle correzioni relativistiche (viste un po' meglio stavolta, anche per la gioia di Shackle
Alla faccia del bicarbonato di sodio ! direbbe Totò !
Posso dirti una cosa? Il lavoro è senz’altro pregevole, ma io mi sono perso fin dal 15 ottobre. Troppe formule per me, amico mio, e non ho la cultura matematica e fisica adeguata per starci dietro! Non mi sembra tanto informale questo viaggio. Tu però hai il compito di continuare, visto che ti sei preso l’impegno, quindi non preoccuparti della mia crassa ignoranza.
Caro Shackle, se tu sei un crasso ignorante allora io cosa dovrei essere?
Purtroppo, un po' come quando ci si approccia per la prima volta alla Relatività Generale, è facile che la complessità dell'apparato matematico su cui è costruita la teoria oscuri l'effettivo contenuto fisico della teoria stessa. Sto cercando di equilibrare le due cose, ma, soprattutto all'inizio dovendo introdurre vari nuovi concetti, il compito è decisamente arduo. Mi sembra però strano che uno come te, che si destreggia abitualmente tra tensori vari, si lasci spaventare da qualche costante di normalizzazione un po' più brutta e un paio di operatori
Se ti va prova a dare una rilettura, per vedere se ad una seconda occhiata l'argomento risulti più scorrevole, e mi fai sapere.
In ogni caso grazie per la recensione, ne terrò conto! Stavo pensando che alla fine di tutto potrei fare una sezione finale in cui, per ognuna delle sezioni precedenti, vi è un capitolo in cui le cose spiegate in quella sezione vengono "usate", per analizzare effettivamente cosa si può fare con tutta questa roba.
Qualsiasi suggerimento o critica è ben accetto, così posso provare a rendere queste note un po' più gradevoli a seconda di quello che mi dite
p.s.
per le correzioni relativistiche (et al.) non ti aspettare chissà che (niente tensori!). Spiattellerò lì l'equazione di Dirac, faccio qualche commento e magari mostro esplicitamente il calcolo di qualche perturbazione, vedremo...
Purtroppo, un po' come quando ci si approccia per la prima volta alla Relatività Generale, è facile che la complessità dell'apparato matematico su cui è costruita la teoria oscuri l'effettivo contenuto fisico della teoria stessa. Sto cercando di equilibrare le due cose, ma, soprattutto all'inizio dovendo introdurre vari nuovi concetti, il compito è decisamente arduo. Mi sembra però strano che uno come te, che si destreggia abitualmente tra tensori vari, si lasci spaventare da qualche costante di normalizzazione un po' più brutta e un paio di operatori
Se ti va prova a dare una rilettura, per vedere se ad una seconda occhiata l'argomento risulti più scorrevole, e mi fai sapere.
In ogni caso grazie per la recensione, ne terrò conto! Stavo pensando che alla fine di tutto potrei fare una sezione finale in cui, per ognuna delle sezioni precedenti, vi è un capitolo in cui le cose spiegate in quella sezione vengono "usate", per analizzare effettivamente cosa si può fare con tutta questa roba.
Qualsiasi suggerimento o critica è ben accetto, così posso provare a rendere queste note un po' più gradevoli a seconda di quello che mi dite
p.s.
per le correzioni relativistiche (et al.) non ti aspettare chissà che (niente tensori!
). Spiattellerò lì l'equazione di Dirac, faccio qualche commento e magari mostro esplicitamente il calcolo di qualche perturbazione, vedremo...
Salve a tutti, come qualcuno avrà notato sono in mostruoso ritardo sulla pubblicazione degli ultimi capitoli. Purtroppo ho avuto due settimane decisamente piene, poiché ho iniziato a svolgere un'attività che mi consuma abbastanza tempo ed energie... Questo ovviamente non significa che la cosa finisce qui, semplicemente non fate più affidamento sul "pubblicare una sottosezione a settimana" perché non me la sento di promettervelo
Ma the show must go on, al più presto con il prossimo capitolo!
Ma the show must go on, al più presto con il prossimo capitolo!
Salve appassionati di fisica. Come saprete c'è stato qualche problema tecnico del forum che ha causato la cancellazione di tutti i messaggi del forum dal 9/11 al 18/12 corrente anno.
Per quanto sia abbastanza triste questo "spreco" di messaggi, non nascondo che ciò mi ha fatto sentire meno in colpa per aver fatto passare così tanto tempo prima di pubblicare un altro capitolo, considerando che sarebbe andato tutto perso
Lo stupido sorriso sulla mia faccia si è dissolto nel momento in cui ho scoperto che anche le bozze dei messaggi erano state purgate da questo accaduto, essendovi tra queste il successivo capitolo quasi completo (non è che me ne sono stato completamente con le mani in mano!) in cui aprivo l'ultima parentesi che parlasse "puramente" di Meccanica Quantistica.
In ogni caso mi sta bene sia per aver tardato così tanto, sia per non aver avuto la premura di salvarmene un backup! Quindi al più presto con il prossimo capitolo! Cercherò di sfruttare questo periodo di vacanze[nota]Che per me vacanze non sono, ma vabbé[/nota] per infoltire un po' questi appunti.
Per quanto sia abbastanza triste questo "spreco" di messaggi, non nascondo che ciò mi ha fatto sentire meno in colpa per aver fatto passare così tanto tempo prima di pubblicare un altro capitolo, considerando che sarebbe andato tutto perso
Lo stupido sorriso sulla mia faccia si è dissolto nel momento in cui ho scoperto che anche le bozze dei messaggi erano state purgate da questo accaduto, essendovi tra queste il successivo capitolo quasi completo (non è che me ne sono stato completamente con le mani in mano!) in cui aprivo l'ultima parentesi che parlasse "puramente" di Meccanica Quantistica.
In ogni caso mi sta bene sia per aver tardato così tanto, sia per non aver avuto la premura di salvarmene un backup! Quindi al più presto con il prossimo capitolo! Cercherò di sfruttare questo periodo di vacanze[nota]Che per me vacanze non sono, ma vabbé
[/nota] per infoltire un po' questi appunti.
Veloce (e ULTIMA) parentesi di MQ: Momento angolare e spin
Eccoci qua! Il tempo passa ma la passione per gli atomi non passa mai, vero?
È la seconda volta che scrivo questo capitolo, la prima versione è andata perduta, quindi probabilmente apparirò un po' sbrigativo, ma non ti preoccupare, nulla di importante sarà tralasciato.
Finora abbiamo appurato che un atomo ad 1 elettrone può essere descritto da una funzione d'onda $\psi_{nlm}$, dove ${n,l,m}$ sono tre numeri interi che possono assumere solo determinati valori. Abbiamo inoltre visto come il numero quantico principale $n$ sia legato all'energia dell'elettrone.
I rimanenti numeri quantici, $l$ e $m$, sono invece legati al modulo del momento angolare dell'elettrone e alla sua componente $z$ rispettivamente. In particolare:
Un piccolo riassunto su come arrivare al risultato qui sopra:
Quindi: Il modulo[nota]se $L^2$ è quantizzato allora anche $L$ lo è[/nota] del momento angolare e della sua componente $L_z$ sono quantizzati e sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria.
Altra cosa interessante: le componenti rimanenti, $L_x$ e $L_y$ in questo caso, oltre a non essere misurabili simultaneamente, non sono nemmeno quantizzate!
Se hai provato a riprodurre i passaggi descritti nello spoiler, durante il calcolo dei valori di aspettazione di $\hat{L^2}$ e $\hat{L_z}$ ti sarai imbattuto nelle due equazioni:
Che sono le celeberrime equazioni agli autovalori per il momento angolare, che ti avevo anticipato quando ci siamo imbattuti nelle armoniche sferiche. Se ci fai caso, infatti, né $\hat{L^2}$ né $\hat{L_z}$ agiscono sulla parte radiale di $\psi_{nlm}$ il che rende a tutti gli effetti le armonche sferiche $Y_{lm}(\theta, \phi)$ degne del titolo di autofunzioni del momento angolare.
Tutto questo è molto bello, ma anche molto classico. Che né è stato dello spin?
Per parlare dello spin penso sia conveniente, e istruttivo, che ti accenni all'esperimento di Stern e Gerlach[nota]Per il quale, come al solito, ti invito ad approfondire per conto tuo[/nota].
Nel 1922 Mr Gerlach decise di fare un esperimento sparando degli atomi di argento attraverso un magnete, per la goia di Mr Stern, che l'aveva teorizzato un anno prima.
Oltre al divertimento di vedere atomi di Ag schiantarsi su una piastra metallica, lo scopo dell'esperimento era ben chiaro: misurare il momento angolare di tali atomi. Come mai si potrà fare una cosa del genere dici? Beh esso veniva misurato indirettamente tramite il momento di dipolo magnetico $\vec{\mu}$ dell'atomo.
Un atomo di Bohr può infatti essere considerato alla stregua di una spira grande come un'orbita di Bohr, di raggio $r$ e percorsa da una corrente: $i = e/T = \frac{ev}{2 \pi r}$.
Come sicuramente saprai una spira di superficie $S$ percorsa da una corrente $i$ possiede un momento di dipolo magnetico $\vec{\mu}$:
dove $\hat{n}$ è il versore normale alla spira (regola della vite, bla bla bla...). Quindi il nostro bell'atomo di Bohr ha un modulo del momento magnetico dato da:
dividendo primo e ultimo membro per la definizione del momento angolare $L=mvr$ otteniamo il rapporto:
che è solito scriversi anche come:
dove [tex]\mu_b = \frac{e\hbar}{2m}[/tex] è detto magnetone di Bohr[nota]ed ha una delle notazioni più infelici della storia della fisica, mi ci atterrò perché è quella più usata[/nota] e a volte viene usato come unità di misura per i momenti di dipoli atomici. In questo caso $g_l=1$ è un prototipo del fattore di Landé (ci arriveremo e non ti abituare alla semplicità di $g_l$, la questione si complicherà).
L'espressione $\text{(6)}$ è detta rapporto giromagnetico, ed è notevole come esso dipenda solo da costanti fisiche. Inoltre, se l'utilizzo di un atomo di Bohr e definizioni classiche ti avesse fatto storcere il naso, sappi che il rapporto $ \text{(5)}$ salta fuori anche facendo valutazioni esclusivamente quantistiche (e decisamente troppo sofisticate per questa sede) nel calcolo di $\mu_l$ e $L$.
Le conseguenze di ciò sono astronomiche[nota]o dovrei dire atomiche?[/nota], poiché la $ \text{(6)}$, insieme alla conoscenza del fatto che $\vec{L}$ e $\vec{\mu_l}$ sono antiparalleli (la carica dell'elettrone è negativa) ci permette immediatamente di scrivere:
Ma sappiamo già che $L$ e $L_z$ sono quantizzati e seguono le $ \text{(1)}$, quindi varrà la stessa cosa per $\mu_l$ e $\mu_{l_z}$, in particolare:
E questa, mio caro, è (più o meno) la risposta a come si misura $L$ attraverso $\mu_l$.
Quando il signor Gerlach iniziò a sparare gli atomi d'argento nel magnete, in un setup che assomiglia a qualcosa del genere:
non si trovò davanti la striscia continua che ci si sarebbe attesi classicamente, ma due punti ben distinti. Questo dava sì un boost di confidenza alle teorie quantistiche, ma ancora non si accordava quantitativamente con le predizioni fatte dalla teoria. In particolare, lo stesso esperimento ripetuto con atomi di Idrogeno mostrava anch'esso due punti ben distinti, quando in teoria sarebbe dovuto essere uno solo.
Questo era dovuto al fatto che si stava tralasciando "un pezzo" di momento di dipolo magnetico, dovuto a sua volta da "un pezzo" di momento angolare. Questo pezzo era in particolare lo spin dell'elettrone. Ora, non voglio iniziare una disquisizione sulle analogie più o meno sbagliate tra lo spin di un elettrone e quello di una palla che gira, quindi mi limito a dirti che:
L'elettrone possiede un momento angolare intrinseco $S$, detto Spin, che è completamente analogo al momento angolare orbitale visto prima: il modulo $S$ e la componente $S_z$ seguono le relazioni di quantizzazione:
Lo spin è quindi responsabile del "pezzo mancante" di momento magnetico, che è detto momento di dipolo magnetico di spin $\vec{\mu_s}$, analogamente a $\mu_l$ si ha:
Abbiamo così risolto il mistero dello spin perduto e incontrato altri due simpatici numeri quantici: $s$ e $m_s$. Come detto essi seguono regole analoghe a quelle di $l$ e $m$, inoltre si ha[nota]per ora prendi questi valori così come vengono, più avanti ci capiremo meglio[/nota] $g_s=2$.
Per ora direi che basta, spero di averti intrattenuto e/o innescato la tua curiosità
Il prossimo capitolo voleva essere sulle varie correzioni perturbative all'equazione di Schroedinger, ma visto l'andazzo potremmo anche passare direttamente agli atomi a due elettroni, in ogni caso, ci vediamo presto.
Ah, nel caso ti sentissi un po' smarrito sullo spin... Ti lascio qui un piccolo suggerimento (facciamo vedere che siamo ggiovaniiiiiii!!)
Indice
Eccoci qua! Il tempo passa ma la passione per gli atomi non passa mai, vero?
È la seconda volta che scrivo questo capitolo, la prima versione è andata perduta, quindi probabilmente apparirò un po' sbrigativo, ma non ti preoccupare, nulla di importante sarà tralasciato.
Finora abbiamo appurato che un atomo ad 1 elettrone può essere descritto da una funzione d'onda $\psi_{nlm}$, dove ${n,l,m}$ sono tre numeri interi che possono assumere solo determinati valori. Abbiamo inoltre visto come il numero quantico principale $n$ sia legato all'energia dell'elettrone.
I rimanenti numeri quantici, $l$ e $m$, sono invece legati al modulo del momento angolare dell'elettrone e alla sua componente $z$ rispettivamente. In particolare:
[tex]\begin{cases} L= \sqrt{l(l+1)}\hbar \\ L_z = m \hbar \end{cases} \qquad \text{(1)}[/tex]
Un piccolo riassunto su come arrivare al risultato qui sopra:
Quindi: Il modulo[nota]se $L^2$ è quantizzato allora anche $L$ lo è[/nota] del momento angolare e della sua componente $L_z$ sono quantizzati e sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria.
Altra cosa interessante: le componenti rimanenti, $L_x$ e $L_y$ in questo caso, oltre a non essere misurabili simultaneamente, non sono nemmeno quantizzate!
Se hai provato a riprodurre i passaggi descritti nello spoiler, durante il calcolo dei valori di aspettazione di $\hat{L^2}$ e $\hat{L_z}$ ti sarai imbattuto nelle due equazioni:
[tex]\begin{cases} \hat{L^2}\psi_{nlm}=l(l+1) \hbar^2 \psi_{nlm} \\ \hat{L_z} \psi_{nlm}=m \hbar \psi_{nlm} \end{cases} \qquad \text{(2)}[/tex]
Che sono le celeberrime equazioni agli autovalori per il momento angolare, che ti avevo anticipato quando ci siamo imbattuti nelle armoniche sferiche. Se ci fai caso, infatti, né $\hat{L^2}$ né $\hat{L_z}$ agiscono sulla parte radiale di $\psi_{nlm}$ il che rende a tutti gli effetti le armonche sferiche $Y_{lm}(\theta, \phi)$ degne del titolo di autofunzioni del momento angolare.
Tutto questo è molto bello, ma anche molto classico. Che né è stato dello spin?
Per parlare dello spin penso sia conveniente, e istruttivo, che ti accenni all'esperimento di Stern e Gerlach[nota]Per il quale, come al solito, ti invito ad approfondire per conto tuo[/nota].
Nel 1922 Mr Gerlach decise di fare un esperimento sparando degli atomi di argento attraverso un magnete, per la goia di Mr Stern, che l'aveva teorizzato un anno prima.
Oltre al divertimento di vedere atomi di Ag schiantarsi su una piastra metallica, lo scopo dell'esperimento era ben chiaro: misurare il momento angolare di tali atomi. Come mai si potrà fare una cosa del genere dici? Beh esso veniva misurato indirettamente tramite il momento di dipolo magnetico $\vec{\mu}$ dell'atomo.
Un atomo di Bohr può infatti essere considerato alla stregua di una spira grande come un'orbita di Bohr, di raggio $r$ e percorsa da una corrente: $i = e/T = \frac{ev}{2 \pi r}$.
Come sicuramente saprai una spira di superficie $S$ percorsa da una corrente $i$ possiede un momento di dipolo magnetico $\vec{\mu}$:
$\vec{\mu} = i S \hat{n} \qquad \text{(3)}$
dove $\hat{n}$ è il versore normale alla spira (regola della vite, bla bla bla...). Quindi il nostro bell'atomo di Bohr ha un modulo del momento magnetico dato da:
$\mu_l = iS = \frac{ev}{2 \pi r} \pi r^2= \frac{evr}{2} \qquad \text{(4)}$
dividendo primo e ultimo membro per la definizione del momento angolare $L=mvr$ otteniamo il rapporto:
$\mu_l /L=e/(2m) \qquad \text{(5)}$
che è solito scriversi anche come:
[tex]\frac{\mu_l}{L} = \frac{g_l \mu_b}{\hbar} \qquad \text{(6)}[/tex]
dove [tex]\mu_b = \frac{e\hbar}{2m}[/tex] è detto magnetone di Bohr[nota]ed ha una delle notazioni più infelici della storia della fisica, mi ci atterrò perché è quella più usata[/nota] e a volte viene usato come unità di misura per i momenti di dipoli atomici. In questo caso $g_l=1$ è un prototipo del fattore di Landé (ci arriveremo e non ti abituare alla semplicità di $g_l$, la questione si complicherà).
L'espressione $\text{(6)}$ è detta rapporto giromagnetico, ed è notevole come esso dipenda solo da costanti fisiche. Inoltre, se l'utilizzo di un atomo di Bohr e definizioni classiche ti avesse fatto storcere il naso, sappi che il rapporto $ \text{(5)}$ salta fuori anche facendo valutazioni esclusivamente quantistiche (e decisamente troppo sofisticate per questa sede) nel calcolo di $\mu_l$ e $L$.
Le conseguenze di ciò sono astronomiche[nota]o dovrei dire atomiche?[/nota], poiché la $ \text{(6)}$, insieme alla conoscenza del fatto che $\vec{L}$ e $\vec{\mu_l}$ sono antiparalleli (la carica dell'elettrone è negativa) ci permette immediatamente di scrivere:
[tex]\vec{\mu_l} = -\frac{g_l \mu_b}{\hbar} \vec{L} \qquad \text{(7)}[/tex]
Ma sappiamo già che $L$ e $L_z$ sono quantizzati e seguono le $ \text{(1)}$, quindi varrà la stessa cosa per $\mu_l$ e $\mu_{l_z}$, in particolare:
[tex]\begin{cases} \mu_l = g_l \mu_b \sqrt{l(l+1)} \\ \mu_{l_z} = -g_l \mu_b m_l \end{cases} \qquad \text{(8)}[/tex]
E questa, mio caro, è (più o meno) la risposta a come si misura $L$ attraverso $\mu_l$.
Quando il signor Gerlach iniziò a sparare gli atomi d'argento nel magnete, in un setup che assomiglia a qualcosa del genere:
non si trovò davanti la striscia continua che ci si sarebbe attesi classicamente, ma due punti ben distinti. Questo dava sì un boost di confidenza alle teorie quantistiche, ma ancora non si accordava quantitativamente con le predizioni fatte dalla teoria. In particolare, lo stesso esperimento ripetuto con atomi di Idrogeno mostrava anch'esso due punti ben distinti, quando in teoria sarebbe dovuto essere uno solo.
Questo era dovuto al fatto che si stava tralasciando "un pezzo" di momento di dipolo magnetico, dovuto a sua volta da "un pezzo" di momento angolare. Questo pezzo era in particolare lo spin dell'elettrone. Ora, non voglio iniziare una disquisizione sulle analogie più o meno sbagliate tra lo spin di un elettrone e quello di una palla che gira, quindi mi limito a dirti che:
L'elettrone possiede un momento angolare intrinseco $S$, detto Spin, che è completamente analogo al momento angolare orbitale visto prima: il modulo $S$ e la componente $S_z$ seguono le relazioni di quantizzazione:
[tex]\begin{cases} S = \sqrt{s(s+1)} \hbar \\ S_z = m_s \hbar \end{cases} \qquad \text{(9)}[/tex]
Lo spin è quindi responsabile del "pezzo mancante" di momento magnetico, che è detto momento di dipolo magnetico di spin $\vec{\mu_s}$, analogamente a $\mu_l$ si ha:
[tex]\begin{cases} \vec{\mu_s} = -\frac{g_s \mu_b}{\hbar} \vec{S} \\ \mu_{s_z} = - g_s \mu_b m_s \end{cases}[/tex]
Abbiamo così risolto il mistero dello spin perduto e incontrato altri due simpatici numeri quantici: $s$ e $m_s$. Come detto essi seguono regole analoghe a quelle di $l$ e $m$, inoltre si ha[nota]per ora prendi questi valori così come vengono, più avanti ci capiremo meglio[/nota] $g_s=2$.
Per ora direi che basta, spero di averti intrattenuto e/o innescato la tua curiosità
Il prossimo capitolo voleva essere sulle varie correzioni perturbative all'equazione di Schroedinger, ma visto l'andazzo potremmo anche passare direttamente agli atomi a due elettroni, in ogni caso, ci vediamo presto.
Ah, nel caso ti sentissi un po' smarrito sullo spin... Ti lascio qui un piccolo suggerimento (facciamo vedere che siamo ggiovaniiiiiii!!)
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