Termodinamica (camera d'aria ruota e entropia)
Ho un problema con questi dati: R (raggio ruota bici) , d (diametro interno della camera d'aria), T(temperatura ambiente).
Viene chiesto quanto lavoro occorre compiere con una pompa a mano per gonfiare la ruota a P=2,5 atm rispetto all'esterno.
Poi, gonfiata la ruota si aspetta che si raggiunga l'equilibrio termico, ed è richiesto di quanto sarà aumentata l'entropia complessiva dell'universo.
Per calcolare il lavoro partirei con la formula L=PdV e pensavo di considerare P uguale alla pressione data, ma poi non avrei i dati sul volume interno e esterno alla ruota...
come posso ricavarli? il ragionamento iniziale è giusto? avrei bisogno di un input...anche perchè non penso di poter sviluppare la seconda parte senza aver fatto la prima...
Viene chiesto quanto lavoro occorre compiere con una pompa a mano per gonfiare la ruota a P=2,5 atm rispetto all'esterno.
Poi, gonfiata la ruota si aspetta che si raggiunga l'equilibrio termico, ed è richiesto di quanto sarà aumentata l'entropia complessiva dell'universo.
Per calcolare il lavoro partirei con la formula L=PdV e pensavo di considerare P uguale alla pressione data, ma poi non avrei i dati sul volume interno e esterno alla ruota...
come posso ricavarli? il ragionamento iniziale è giusto? avrei bisogno di un input...anche perchè non penso di poter sviluppare la seconda parte senza aver fatto la prima...
Risposte
"Vera92":
i dati sul volume interno e esterno alla ruota.
suppongo tu intenda il volume iniziale e finale dell'aria che alla fine si ritrova dentro la ruota...
"Vera92":
come posso ricavarli?
puoi pensare che l'aria che viene immessa nella ruota subisce una trasformazione adiabatica, poiché nel breve tempo del gonfiaggio essa non fa in tempo a scambiare calore con l'ambiente (ed infatti dopo ti dice che si deve aspettare che si raggiunga l'equilibrio termico...)
ok...ho capito il discorso sulla trasformazione adiabatica, ma penso comunque di non avere abbastanza dati per trovare il lavoro. ponendo $ delta $U = - L = n c $ {::}_(\ \ v)^ $ $ delta $T non ho alcuna informazione riguardo il numero di moli, del gas (monoatomico, biatomico....) e la T dovrebbe rimanere costante... non so come andare avanti!... 
il problema non è banalissimo, nel senso che bisogna fare un po' di conti. Si può fare in diversi modi, ma puoi partire dalla formula che avevi detto tu e cioè
\(\displaystyle dL=pdV \) e quindi \(\displaystyle L=\int pdV \)
I punti chiave per risolvere il problema sono questi:
- tu devi immettere una certa quantità di aria nella ruota. Questa aria tu la prendi dall'ambiente esterno e quindi si trova alla temperatura ambiente $T_a$, alla pressione iniziale $P_i=P_a$ pari a quella atmosferica $P_a$, ed occupa inizialmente un volume $V_i$ (sconosciuto). Questa aria, subendo una trasformazione adiabatica, viene inserita nella ruota e quindi si ritrova ad una pressione finale $P_f=P_a+2,5atm$ e ad un volume finale $V_f$ che puoi calcolarti facilmente dai dati del problema. Applicando l'equazione delle adiabatiche tra gli stati iniziale e finale
\(\displaystyle V_i^\gamma P_i = V_f^\gamma P_f\)
ricavi il volume iniziale dell'aria.
- durante la trasformazione, Il valore di $P$ in funzione di $V$ lo ricavi sempre dalla equazione delle adiabatiche data sopra, per cui
\(\displaystyle L=\int_{V_i}^{V_f} \frac{P_iV_i^\gamma}{V^\gamma}dV \)
Il calcolo di questo integrale è semplicissimo (è una potenza...).
- per quanto riguarda il valore di $\gamma$, pensa che l'aria è formata per oltre il 99% da $O_2$ ed $N_2$ che sono gas biatomici e quindi puoi prendere tranquillamente $\gamma =7/5$
Un modo alternativo per farlo è considerare che per le adiabatiche vale $L_{esterno}=-L_{gas}=\Delta U=nc_v\Delta T$
Il numero di moli lo ricavi considerando sempre l'equazione della adiabatiche data sopra tra gli stati iniziale e finale e, trovato il volume iniziale, tramite l'equazione di stato ti trovi n. Per calcolarti la temperatura finale, puoi usare l'equazione delle adiabatiche per la coppia di variabili $(T,V)$ tra gli stati iniziale e finale.
Se non ho fatto male i calcoli il risultato dovrebbe essere
\(\displaystyle L=\frac{5}{2}P_fV_f\left [1-\left (\frac{P_i}{P_f}\right )^\frac{2}{7}\right ] \)
\(\displaystyle dL=pdV \) e quindi \(\displaystyle L=\int pdV \)
I punti chiave per risolvere il problema sono questi:
- tu devi immettere una certa quantità di aria nella ruota. Questa aria tu la prendi dall'ambiente esterno e quindi si trova alla temperatura ambiente $T_a$, alla pressione iniziale $P_i=P_a$ pari a quella atmosferica $P_a$, ed occupa inizialmente un volume $V_i$ (sconosciuto). Questa aria, subendo una trasformazione adiabatica, viene inserita nella ruota e quindi si ritrova ad una pressione finale $P_f=P_a+2,5atm$ e ad un volume finale $V_f$ che puoi calcolarti facilmente dai dati del problema. Applicando l'equazione delle adiabatiche tra gli stati iniziale e finale
\(\displaystyle V_i^\gamma P_i = V_f^\gamma P_f\)
ricavi il volume iniziale dell'aria.
- durante la trasformazione, Il valore di $P$ in funzione di $V$ lo ricavi sempre dalla equazione delle adiabatiche data sopra, per cui
\(\displaystyle L=\int_{V_i}^{V_f} \frac{P_iV_i^\gamma}{V^\gamma}dV \)
Il calcolo di questo integrale è semplicissimo (è una potenza...).
- per quanto riguarda il valore di $\gamma$, pensa che l'aria è formata per oltre il 99% da $O_2$ ed $N_2$ che sono gas biatomici e quindi puoi prendere tranquillamente $\gamma =7/5$
Un modo alternativo per farlo è considerare che per le adiabatiche vale $L_{esterno}=-L_{gas}=\Delta U=nc_v\Delta T$
Il numero di moli lo ricavi considerando sempre l'equazione della adiabatiche data sopra tra gli stati iniziale e finale e, trovato il volume iniziale, tramite l'equazione di stato ti trovi n. Per calcolarti la temperatura finale, puoi usare l'equazione delle adiabatiche per la coppia di variabili $(T,V)$ tra gli stati iniziale e finale.
Se non ho fatto male i calcoli il risultato dovrebbe essere
\(\displaystyle L=\frac{5}{2}P_fV_f\left [1-\left (\frac{P_i}{P_f}\right )^\frac{2}{7}\right ] \)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo