Termodinamica
Un recipiente contiene n=5 mol di gas perfetto biatomico
alla temperatura T0= 190 K. Esso è chiuso superiormente da un pistone di
massa trascurabile che può scorrere in verticale senza attrito. Il pistone e le
pareti del contenitore sono impermeabili al calore, mentre la base inferiore è
diatermica, e la capacità termica complessiva del recipiente con il suo pistone
è pari a C0 =4.5 kJ/K. La base inferiore del recipiente viene messa in
contatto termico con un corpo di capacità termica C1 =3 kJ/K e temperatura
T1 =550 K: il gas si riscalda in maniera quasi-statica e il pistone si innalza
con velocità trascurabile fino al raggiungimento dell’equilibrio termico; la
quantità di calore scambiata dal corpo con l’ambiente esterno è trascurabile.
Si calcoli:
a) la temperatura finale Tfin del gas;
Per ottenere la Tfin del gas basta usare il 1 principio?
$DeltaU=Q-W$
dove
$DeltaU=nc_v(T_(eq)-T_i)$
Ti sarebbe la temperatura del gas 190K
$Q=C_0 DeltaT_1+C_1 DeltaT_2$
per deltaT1 ho prima Teq. e T iniziale del gas mentre per deltaT2 ho Teq. e T iniziale del corpo che viene avvicinato al pistone
e infine
$W=nR DeltaT_1$
Ottengo come Teq.=336 K però non è corretto perchè dovrebbe essere 331.3 K
Ho sbagliato i segni? Oppure non devo seguire questa strada? Grazie ragazzi.
alla temperatura T0= 190 K. Esso è chiuso superiormente da un pistone di
massa trascurabile che può scorrere in verticale senza attrito. Il pistone e le
pareti del contenitore sono impermeabili al calore, mentre la base inferiore è
diatermica, e la capacità termica complessiva del recipiente con il suo pistone
è pari a C0 =4.5 kJ/K. La base inferiore del recipiente viene messa in
contatto termico con un corpo di capacità termica C1 =3 kJ/K e temperatura
T1 =550 K: il gas si riscalda in maniera quasi-statica e il pistone si innalza
con velocità trascurabile fino al raggiungimento dell’equilibrio termico; la
quantità di calore scambiata dal corpo con l’ambiente esterno è trascurabile.
Si calcoli:
a) la temperatura finale Tfin del gas;
Per ottenere la Tfin del gas basta usare il 1 principio?
$DeltaU=Q-W$
dove
$DeltaU=nc_v(T_(eq)-T_i)$
Ti sarebbe la temperatura del gas 190K
$Q=C_0 DeltaT_1+C_1 DeltaT_2$
per deltaT1 ho prima Teq. e T iniziale del gas mentre per deltaT2 ho Teq. e T iniziale del corpo che viene avvicinato al pistone
e infine
$W=nR DeltaT_1$
Ottengo come Teq.=336 K però non è corretto perchè dovrebbe essere 331.3 K
Ho sbagliato i segni? Oppure non devo seguire questa strada? Grazie ragazzi.
Risposte
Il ragionamento non mi sembra sbagliato, avrai fatto qualche imprecisione nei calcoli. Comunque, io procederei così:
La trasformazione è isobara; infatti, essendo il pistone mobile e libero di scorrere, ogni volta che viene raggiunto uno stato di equilibrio intermedio la pressione esterna e quella interna devono essere uguali. Quindi, si può usare la formula che esprime il calore in una trasformazione isobara:
$$ Q_{gas} = nc_P (T_{eq} - T_0)$$
che deriva in realtà da ciò che hai fatto tu, ma è comunque comoda da usare. Essendo la trasformazione adiabatica nel sistema costuito da recipiente + gas + oggetto di capacità termica $C_1$, sappiamo che [tex]Q_{tot} = Q_{gas} + Q_{rec} + Q_{*} = 0[/tex], dove [tex]Q_*[/tex] è il calore assorbito dal sistema recipiente + gas e quindi ceduto dal corpo di capacità termica $C_1$. Quindi:
$$ (n c_P + C_0) (T_{eq} - T_0) + C_1 (T_{eq} - T_1) = 0 \implies T_{eq} = \frac{ (n c_P + C_0) T_0 + C_1 T_1}{ nc_P + C_0 + C_1} = 331.3 \ \text{K}$$
Per la precisione viene $331.2596568306 \ \text {K}$. Chiaramente, essendo il gas biatomico, $c_P = \frac{7}{2} R$.
La trasformazione è isobara; infatti, essendo il pistone mobile e libero di scorrere, ogni volta che viene raggiunto uno stato di equilibrio intermedio la pressione esterna e quella interna devono essere uguali. Quindi, si può usare la formula che esprime il calore in una trasformazione isobara:
$$ Q_{gas} = nc_P (T_{eq} - T_0)$$
che deriva in realtà da ciò che hai fatto tu, ma è comunque comoda da usare. Essendo la trasformazione adiabatica nel sistema costuito da recipiente + gas + oggetto di capacità termica $C_1$, sappiamo che [tex]Q_{tot} = Q_{gas} + Q_{rec} + Q_{*} = 0[/tex], dove [tex]Q_*[/tex] è il calore assorbito dal sistema recipiente + gas e quindi ceduto dal corpo di capacità termica $C_1$. Quindi:
$$ (n c_P + C_0) (T_{eq} - T_0) + C_1 (T_{eq} - T_1) = 0 \implies T_{eq} = \frac{ (n c_P + C_0) T_0 + C_1 T_1}{ nc_P + C_0 + C_1} = 331.3 \ \text{K}$$
Per la precisione viene $331.2596568306 \ \text {K}$. Chiaramente, essendo il gas biatomico, $c_P = \frac{7}{2} R$.
Grazie mille! Mi sono accorto dell'errore.
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