[Teoria] Gravitazione universale

[smaug1]

La forza gravitazionale è centrale, pertanto è conservativa, isotropa e sempre attrattiva.

$F = - G (M_g\ \m_g) / r^2$ dove le masse sono da specificare gravitazionali e non inerziali.

1.La prima cosa che vorrei chiedere sarebbe: essendo la forza il gradiente dell'energia potenziale, per ricavarmi quest'ultima devo ovviamente integrare la forza gravitazionale, però facendo questo, in modulo mi viene correttamente, ma non capisco perchè rimane ancora quel meno $U = - G (M_g\ \m_g) / r + c$

2. Parlando di ciò abbiamo ipotizzato che le due masse siano entrambe puntiformi. Supponendo che la massa $M_g$ sia distribuita uniformemente su una superficie sferica di centro C e raggio r, mentre la massa piccola è a distanza D dal centro. Allora vale:

$dU = - G (dM_g\ \m_g) / (r') = - G (\sigma \dS\ \m_g) / (r')$

Essendo $(dM_g) = \sigma\ \dS$ dove $\sigma = (dM_g) / (4\pi r^2)$ tuttavia durante la dimostrazione purtroppo mi sono bloccato, credo banale, sul calcolo della superficie infinitesima $dS$ del disegno, a me non viene $dS = 2\pir^2\sin\theta\d\theta$ mi aiutate?

Grazie

[Vanzan]

Per quanto riguarda la prima domanda, il segno deriva dal fatto che la forza è sempre attrattiva! Se ipotizzi m1 fermo e m2 che si avvicina, allora m2 guadagnerà E cinetica ma la E meccanica si conserva quindi l'energia potenziale deve diminuire.
Tuttavia l'energia potenziale all'ìnfinito viene posta uguale a zero, quindi diminuinendo diventa negativa
Per la seconda domanda, lascio a qualcuno più esperto di me;)

[smaug1]

"Vanzan":Per quanto riguarda la prima domanda, il segno deriva dal fatto che la forza è sempre attrattiva! Se ipotizzi m1 fermo e m2 che si avvicina, allora m2 guadagnerà E cinetica ma la E meccanica si conserva quindi l'energia potenziale deve diminuire.
Tuttavia l'energia potenziale all'ìnfinito viene posta uguale a zero, quindi diminuinendo diventa negativa

Eccellente! Grazie mille

[NewNewDeal]

In realtà la risposta alla prima domanda è molto più semplice. La forza non è il gradiente dell'energia potenziale, ma il gradiente della funzione potenziale che è definita come -U cioè l'energia potenziale.
Per quanto riguarda la seconda vorrei capire cosa stai cercando di dimostrare.

[smaug1]

"NewNewDeal": Per quanto riguarda la seconda vorrei capire cosa stai cercando di dimostrare.

Hai ragione

vorrei dimostrare che la massa distrubuita sulla sfera agisce sulla massa piccola esterna, comportandosi come se fosse tutta concentrata nel centro. Mentre se la massa piccola è dentro la sfera (la sfera all'interno non ha massa...), l'energia potenziale di interazione è costante e quindi la forza attrattiva tra le due è nulla.

[Sk_Anonymous]

Basta sfruttare la simmetria sferica e applicare il teorema di Gauss. Sempre che tu non voglia per forza svolgere l'integrale.

[NewNewDeal]

Esattamente come dice speculor, l'integrale da svolgere è quello dell'angolo solido se proprio vuoi fare tutti i conti.

[smaug1]

Grazie mille per le risposteagazzi. Sinceramente del teorema di gauss il prof non ce ne ha parlato, magari vorrei prima saper fare la dimostrazione con l'integrale, poi perchè no, ci proverei anche come dite voi. Solo che il mio problema non è proprio di carattere fisico, io non riesco per bene a trovare $dS$ cioè l'area di quell'anello diciamo...