Teorema sull energia cinetica

[l'abatefarina]

propongo un ripasso sul teorema dell'energia cinetica; ci sono utenti che ne hanno bisogno
Dato un corpo di massa $m$ e velocità iniziale $v_0$ ,siano $F_1,F_2,....F_n$ le forze che agiscono su di esso
Detta $v$ la velocità finale dell'oggetto si ha
$1/2mv^2-1/2mv_0^2=L_1+L_2+.....+L_n$ con $L_i$ generico lavoro della forza $F_i$

tornando al thread incriminato https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=209939 ,scrivere $Pt=1/2mv^2$ è una castroneria perchè al primo membro non c'è il lavoro totale ma solo quello fatto dal motore

io mi appello a qualche moderatore o a qualche utente affinchè venga detto se ho ragione o no ; l'utente che ha aperto il thread ha diritto ad una risposta

[Capitan Harlock1]

A mio parere $ Pt=L $ la si usa nel caso di forze costanti, come appunto quella di in motore, e non credo si trasformi tutta in cinetica
Inoltre è ben noto che la risultante del lavoro di tutte le forze è uguale alla variazione di energia cinetica

[Kanal]

"Capitan Harlock":A mio parere $ Pt=L $ la si usa nel caso di forze costanti, come appunto quella di in motore, e non credo si trasformi tutta in cinetica

L’ipotesi di base del problema è che il motore sviluppi una potenza costante. Ma se la velocità, nel caso in esame, varia da $0$ a $v$ , la forza non può rimanere costante. Comunque, nella mia risposta ho chiaramente premesso che si prescinde da tutte le resistenze al moto, perciò la parte di lavoro occorrente per vincere le resistenze passive si considera nulla.
Io intendo che la potenza P è quella “sviluppata” dall’automobile (perdite nulle), che le permette di salire accelerando e raggiungere la velocità $v$ al termine di una salita non definita ( si sa che il piano è inclinato di $alpha$ , ma non si sa di quanto sale la macchina, e infatti l’ OP dice che non riesce a risolvere il problema perché non conosce $h$ , che poi è uguale a $ L senalpha$ , con L = lunghezza del piano inclinato).
Il fatto che ci sia il lavoro resistente della componente della forza peso $mgsenalpha$ lungo il piano inclinato è fuor di dubbio; ma di questo lavoro negativo il sistema “tiene conto” nel valore finale $v$ della velocità , cioé nel valore finale dell’energia cinetica , che è passata da $0$ al valore $1/2mv^2$ Senza quel lavoro negativo la velocità sarebbe diventata maggiore, nello stesso tempo.E a parità di potenza , maggiore è l’inclinazione del piano e minore é la velocità finale raggiunta nel tempo $t$.
La variazione dell’energia cinetica , pari in questo caso a $1/2 mv^2$ , è uguale al lavoro di tutte le forze agenti , compreso il lavoro negativo prima detto, appunto per il teorema dell’energia cinetica. Il lavoro di tutte le forze agenti si può esprimere come il prodotto della potenza costante per il tempo: $ W = Pt $ .

Ecco come va risolto il problema, secondo me. D’altronde, non si riesce a determinare il lavoro negativo di $mgsenalpha$ per il motivo già detto, cioè che non si conosce la lunghezza del tragitto al termine del quale la velocità ha raggiunto il valore $v$.
Vogliamo dire che il testo è poco chiaro? Diciamolo pure. Ma per me non ci sono dubbi. Dai pure un’occhiata a questo link :

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8452455

[l'abatefarina]

e invece io ho dimostrato che il problema si risolve
abbi l'umiltà di andare a vedere la mia soluzione
ogni volta che si dice potenza sviluppata da una forza si intende il lavoro della forza fratto tempo (nel caso di potenza costante), adesso, per far contento Kanal ,per potenza sviluppata dal motore si intende lavoro totale fratto tempo

spero che prima o poi da qui passi una terza persona che ne capisca un po' di fisica

tra l'altro adesso mi sovviene che il problema si potrebbe interpretare anche in maniera più complessa se non si considerasse l'auto come un punto materiale ma come un corpo rigido e quindi considerando il raggio $R$ delle ruote (e penso che sia molto probabile)
io mi sono fermato all'ipotesi di punto materiale ma sicuramente si può risolvere anche nel caso di corpo rigido,magari applicando per bene il teorema dell'energia cinetica e magari ,derivando,arrivando ad'un'altra equazione differenziale

[Capitan Harlock1]

Io lo risolversi così : corpo M con 4 ruote rotolanti.
$ K=1/2Mv^2+4*1/2*Iω^2=1/2Mv^2+4*1/2*(3/2mr^2)v^2/r^2 $
$ =1/2(M+12m) v^2 $
Differenziando per applicare il teorema del lavoro
$ dK=(M+12m) v dv $
$ dK=Pdt-(M+4m) g sin(theta) v dt $
E da qui lo risolvi facile

[Kanal]

@Capitan Harlock

l’energia cinetica rotazionale di una ruota è $1/2Iomega^2$ , quindi per 4 ruote hai : $ 4*1/2Iomega^2$ .

[Capitan Harlock1]

Si giusto, sono sul telefono è facile dimenticarsi pezzi, corretto

[Kanal]

Ma ritengo che non sia questo lo scopo dell’esercizio. Per me, la potenza P di cui parla il testo è quella che potrei definire “trasferita “ alla salita, che permette alla macchina di avanzare accelerando fino a raggiungere la velocità finale v . Il fatto che ci sia il lavoro negativo della forza peso è insito nella variazione di energia cinetica , maggiore è la pendenza e piu piccola e la velocità finale raggiunta, a parità di altre condizioni.
Ogni motore, applicato su auto o moto o nave o aereo, ha una curva di potenza, ( coppia/numero di giri) , il reale punto di funzionamento è dato dall’ incontro tra la curva di potenza e la “curva del carico “ che si riferisce infatti al carico determinato dalle condizioni ambientali, resistenze al moto, pendenze ecc.
Questa è la mia idea.
Mi ritiro dalla discussione, onde evitare altri “educati epiteti “ e altri interventi di chiusura del moderatore . Mi spiace per Marco Vanni.

[l'abatefarina]

@capitan harlock
è esattamente così
quindi, sviluppando i calcoli si ha
$dt= ((M+12m)vdv)/[P-(M+4m)gsenalphav] $
tenendo conto della condizione iniziale $v(0)=0$ si ottiene che il tempo $T$ impiegato per raggiungere la velocità $V$ è dato dalla formula
$T= int_(0)^(V) ((M+12m)v)/[P-(M+4m)gsenalphav]dv $

[Capitan Harlock1]

Hai messo un dv di troppo.
E si, le equazioni chiariscono più di mille parole

[l'abatefarina]

inconvenienti del copia e incolla
correggo

[Capitan Harlock1]

E si, corretto, ma uno solo , ne avevi messi due di troppo

[l'abatefarina]

ok

[BayMax1]

Ciao a tutti !

Solo una domanda su questo problema:

$ K=1/2Mv^2+4*1/2*Iω^2=1/2Mv^2+4*1/2*(3/2mr^2)v^2/r^2 $
$ =1/2(M+12m) v^2 $

qui non dovrebbe essere $1/2(M+6m) v^2$ ?

[Capitan Harlock1]

No, ho corretto mettendo 1/2, ma non penso che abbia fatto bene

[Kanal]

@Capitan Harlock

ho ripensato al problema. La mia idea di soluzione é sbagliata. Però neanche la vostra mi piace. Sto pensando a un’altra soluzione.

Le 4 ruote hanno anche energia cinetica di traslazione, non solo rotazionale. Quindi il primo termine di $K$ dovrebbe essere :

$1/2(M+4m)v^2$

inoltre, per qual motivo hai messo il fattore $3/2$ al momento di inerzia della ruota? Lo hai considerato rispetto al punto di contatto col piano inclinato? Chiedo solo per capire la tua idea, non voglio fare polemiche sterili.

[BayMax1]

Scusate se mi intrometto, ma sto diventando scemo su questo problema.
L'energia cinetica di una ruota (che possiamo assimilare ad un cilindro o disco) non è data da $K=K_(trasl)+K_(rot)=1/2mv^2+1/2Iomega^2$ dove $I$ è momento d'inerzia rispetto al centro di massa e dunque al centro della ruota, quindi $K=1/2mv^2+1/2(mr^2)/2omega^2=1/2mv^2+1/2(mr^2)/2v^2/r^2=1/2mv^2+1/4mv^2=1/2(3/2mv^2)$ e quindi, per 4 ruote + l'auto non si avrebbe $1/2Mv^2+4(1/2)(3/2mv^2)=1/2Mv^2+3mv^2=1/2v^2(M+6m)$ ?

Dov'è che sbaglio ?

O anche, come dice kanal, senza fare la somma dei due pezzi, per il moto di puro rotolamento non si può considerare direttamente $K=1/2Iomega^2$ con $I$ stavolta momento d'inerzia rispetto all'asse passante per il c.i.r. e, dunque, per il punto di contatto col terreno, per cui, in totale con l'auto, si avrebbe $K=1/2Mv^2+4*1/2*(3/2mv^2)=1/2v^2(M+6m)$ ? Che è lo stesso risultato trovato un momento fa.

[Capitan Harlock1]

Esatto, se metti 1/2 non è rispetto a G

[BayMax1]

Scusami @Capitan Harlock, sono un po' tardo e non ho capito. Dov'è l'errore nei miei calcoli ?

[Capitan Harlock1]

Non vedo errori

[Kanal]

@BayMax,

concordo col tuo calcolo, alla fine dovrebbe venire il valore di $K$ da te trovato. Perciò tutto il resto andrebbe rivisto.