Teorema di Poisson

[RP-1]

Buonasera a tutti,

sto affrontando il teorema di Poisson ma non mi è chiaro come dimostrare che il vettore velocità angolare
$\omega=1/2\sum_{k=1}^3 (e_k^^(de_k)/dt)$
sia esprimibile nel seguente modo:
$\omega=((de_2)/dt*e_3)e_1+((de_3)/dt*e_1)e_2+((de_1)/dt*e_2)e_3$.

Ho provato ad espandere la somma ma non sono riuscito a provare l'uguaglianza...

Grazie in anticipo per l'aiuto!!

[apatriarca]

Hai prima di tutto che
\[ e_k \wedge \frac{de_k}{dt} = e_k \wedge \sum_{i=1}^3 \left(\frac{de_k}{dt} \cdot e_i\right) e_i = \sum_{i \neq k} \left(\frac{de_k}{dt} \cdot e_i\right) e_k \wedge e_i \]
A questo punto usiamo il fatto che le basi sono e rimangono ortonormali per tutto il moto:
\[ 0 = \frac{d}{dt} (e_i \cdot e_j) = \frac{de_i}{dt} \cdot e_j + e_i \cdot \frac{de_j}{dt} \]
da cui si ottiene (i due cambi di segno si eliminano a vicenda)
\[ \left( \frac{de_i}{dt} \cdot e_j \right) e_i \wedge e_j = \left( \frac{de_j}{dt} \cdot e_i \right) e_j \wedge e_i \]
A questo punto non dovrebbe essere difficile arrivare alla soluzione finale scrivendo la sommatoria completa per la velocità angolare.