Teorema di Gauss e prima equazione di Maxwell
Ciao, sono alle prese con fisica 2 e sto studiando la legge di Gauss e la prima equazione di Maxwell, in particolare, la legge di Gauss è il teorema che dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie $S$ è uguale alla carica totale presente in quella superficie (che deve essere chiusa per applicare il teorema) diviso la costante dielettrica del vuoto, in formule:
$intintE*ndS=Q/e$ dove $e$ è la costante dielettrica, dopodichè per arrivare alla prima equazione di Maxwell si applica il teorema della divergenza e otteniamo che div($E$)$=p(x,y,z)/e$ dove p(x,y,z) è la densità di carica presente all'interno della superficie. Il problema nasce dal fatto che il libro dice che se usiamo la forma integrale possiamo sfruttarlo in casi in cui $E$ non è integrabile e dunque non presenta discontinuità, e qua son daccordo, ovvero non possiamo applicare la prima eq di Maxwell in punti angolosi dove c'è uno "sbalzo" di densità di carica per esempio, però non capisco perchè il libro affermi che l'utilità della prima eq. di Maxwell sia perchè è UNA EQUAZIONE LOCALE che collega fra di loro grandezze fisiche diverse calcolate nella stessa posizione...non capisco cosa voglia dire questa affermazione in questo contesto...a me sembrano due equazioni pressoche simili tra eq Maxwell e teorema di Gauss...non mi è lampante la differenza pratica tra queste due formule...
$intintE*ndS=Q/e$ dove $e$ è la costante dielettrica, dopodichè per arrivare alla prima equazione di Maxwell si applica il teorema della divergenza e otteniamo che div($E$)$=p(x,y,z)/e$ dove p(x,y,z) è la densità di carica presente all'interno della superficie. Il problema nasce dal fatto che il libro dice che se usiamo la forma integrale possiamo sfruttarlo in casi in cui $E$ non è integrabile e dunque non presenta discontinuità, e qua son daccordo, ovvero non possiamo applicare la prima eq di Maxwell in punti angolosi dove c'è uno "sbalzo" di densità di carica per esempio, però non capisco perchè il libro affermi che l'utilità della prima eq. di Maxwell sia perchè è UNA EQUAZIONE LOCALE che collega fra di loro grandezze fisiche diverse calcolate nella stessa posizione...non capisco cosa voglia dire questa affermazione in questo contesto...a me sembrano due equazioni pressoche simili tra eq Maxwell e teorema di Gauss...non mi è lampante la differenza pratica tra queste due formule...
Risposte
Detta in modo intuitivo, la differenza è che la forma locale (ovvero differenziale) ti permette di lavorare punto per punto, mentre quella integrale solo su insiemi di punti (che possono essere curve, superfici, etc etc).
grazie mille, adesso è molto più chiaro il concetto, comunque, non potrei lavorare localmente anche con l'integrale integrando su insiemi relativamente piccoli?
Per quanto un insieme sia piccolo, non sarà mai più piccolo di un singolo punto. Del resto, proprio considerando insiemi piccoli a volontà passi dalla formulazione integrale (Gauss) a quella differenziale (Maxwell). La differenza non è tanto a livello pratico quanto a livello teorico, visto che in pratica uno non può mai effettuare una misura in un punto singolo dello spazio ma ha sempre una certa incertezza.
grazie dissonance, chiarissimo 
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