Teorema di Gauss
Mi piacerebbe capire un fatto del teorema di gauss di cui non sono molto certo.. ringrazio chi mi aiuterà 
Dal teorema di gauss so che il campo è dato dalle cariche interne $E(r)=(q_i)/(4pi\epsilon_0r^2)$ questo esce dal fatto che il flusso di E vale sia $q_i/\epsilon_0$ che $4pir^2E$ ed è facile dedurre la precedente uguagliando.
Ora però mi chiedo, ma se io considerassi un corpo avente una massa estesa sferica, prendo una origine nel centro di essa e scivo $\vecr$ il vettore che collega un punto P qualsiasi a O e scrivo $\vecr'$ il vettore posizione che prende un cubetto infinitesimo a distara r'.
La differenza $\vecr-\vecr'$ collega quindi il cubetto a P.
OK, fatto ciò se prendo una densità di carica: $\rho=(dq)/(dr)$, posso scrivere come campo risultante totale: $E=\int_V(dq)/(4pi\epsilon_0|\vecr-\vecr'|)=\int_V(\rhodr)/(4pi\epsilon_0|\vecr-\vecr'|)$ anche così dovrei arrivare allo stesso valore di quanto visto con gauss, giusto?
Dal teorema di gauss so che il campo è dato dalle cariche interne $E(r)=(q_i)/(4pi\epsilon_0r^2)$ questo esce dal fatto che il flusso di E vale sia $q_i/\epsilon_0$ che $4pir^2E$ ed è facile dedurre la precedente uguagliando.
Ora però mi chiedo, ma se io considerassi un corpo avente una massa estesa sferica, prendo una origine nel centro di essa e scivo $\vecr$ il vettore che collega un punto P qualsiasi a O e scrivo $\vecr'$ il vettore posizione che prende un cubetto infinitesimo a distara r'.
La differenza $\vecr-\vecr'$ collega quindi il cubetto a P.
OK, fatto ciò se prendo una densità di carica: $\rho=(dq)/(dr)$, posso scrivere come campo risultante totale: $E=\int_V(dq)/(4pi\epsilon_0|\vecr-\vecr'|)=\int_V(\rhodr)/(4pi\epsilon_0|\vecr-\vecr'|)$ anche così dovrei arrivare allo stesso valore di quanto visto con gauss, giusto?
Risposte
Non ho capito qual è il tuo dubbio, potresti spiegarti meglio? Oltre al fatto che mi pare tu abbia idee strane sull'enunciato del teorema di Gauss... che, ti faccio notare per inciso, non si applica solo a superfici sferiche
Sìper le superfici sferiche in realtà era solo un esempio in realtà, volevo cioè ragionare su un esempio
Posso chiederti cosa non va? Perché vorrei capire
grazie mille
"mgrau":
Oltre al fatto che mi pare tu abbia idee strane sull'enunciato del teorema di Gauss
Posso chiederti cosa non va? Perché vorrei capire
grazie mille
Magari comincia a dire qual è il tuo dubbio...
Cosa non va? Mah, quella frase "so che il campo è dato dalle cariche interne " mi pare sospetta...
Cosa non va? Mah, quella frase "so che il campo è dato dalle cariche interne " mi pare sospetta...
Allora partiamo da gauss che mi sa che sbaglio già qualcosa lì.
Mi pareva di aver capito che prendendo una superficie racchiudente tot cariche $Q_t$, il teorema dice cheil flusso del vettore campo è sempre: $4pir^2E$ per gauss https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... trazione_2
Però sempre per gauss vale anche $Q_t/\epsilon_0$, tale flusso.
QUindi mettendo assieme 1 e 2 ho: $4pir^2E=Q_t/\epsilon_0 => E=Q_t/(4pir^2\epsilon_0)$
QUesto è giusto? O sbaglio già?
Mi pareva di aver capito che prendendo una superficie racchiudente tot cariche $Q_t$, il teorema dice cheil flusso del vettore campo è sempre: $4pir^2E$ per gauss https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... trazione_2
Però sempre per gauss vale anche $Q_t/\epsilon_0$, tale flusso.
QUindi mettendo assieme 1 e 2 ho: $4pir^2E=Q_t/\epsilon_0 => E=Q_t/(4pir^2\epsilon_0)$
QUesto è giusto? O sbaglio già?
Il TdG dice che il flusso su una superficie chiusa è $Phi = Q_t/epsi_0$. Niente di più nè di meno.
Invece $Phi = 4pir^2E$ vale per una superficie sferica con campo centrale
Invece $Phi = 4pir^2E$ vale per una superficie sferica con campo centrale
Ho fatto bene a chiedere perché allora c'è qualcosa che non mi torna. In effetti il mio libro perquanto riguarda $4pir^2$ dà la stessa definizione di https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... _integrale . Però sono confuso se noti non parla di superficie sferica ma il risultato è per superficie qualsiasi e calcola il flusso, non capisco cosa mi sfugga..
Anche la dimostrazione mi sembra sensata: per il teorema della divergenza il flusso è zero (per qualunque dominio di R^3 su cui integro, infatti per il teorema della divergenza se prendendo un campo solenoidale essendo la divergenza zero -> sarà zero l'integrale triplo, ma per il suddetto teorema questa divergenza è pari al flusso attraferso la superficie data internamente da una palla aperta ed esternamente da una sup. qualsiasi. La situazione è quindi: $0=Phi_(\nabla*F)=Phi_2-Phi_1 => Phi_2=Phi_$, va da sé che spezzando l'integrale come uno sulla sup. interna che è una sfera è dà come detto $Phi_1=-4pir^2$ (che è il flusso sulla sfera interna con normale verso l'interno), mentre $Phi_1$=l'integrale su una superficie qualunque, quindi in definitiva: $Phi_2=4pir^2$ per ogni superficie e flusso di campo solenoidale (non mi sembra solo per una sfera!).
Mi sembra questo il sendo della dimostazione 2: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_flusso #Dimostrazione_2
non mi torna qualcosa
Scusa se ti chiedo un'ovvietà ma vorrei davvero capire dato che da solo non ci sono riuscito
Anche la dimostrazione mi sembra sensata: per il teorema della divergenza il flusso è zero (per qualunque dominio di R^3 su cui integro, infatti per il teorema della divergenza se prendendo un campo solenoidale essendo la divergenza zero -> sarà zero l'integrale triplo, ma per il suddetto teorema questa divergenza è pari al flusso attraferso la superficie data internamente da una palla aperta ed esternamente da una sup. qualsiasi. La situazione è quindi: $0=Phi_(\nabla*F)=Phi_2-Phi_1 => Phi_2=Phi_$, va da sé che spezzando l'integrale come uno sulla sup. interna che è una sfera è dà come detto $Phi_1=-4pir^2$ (che è il flusso sulla sfera interna con normale verso l'interno), mentre $Phi_1$=l'integrale su una superficie qualunque, quindi in definitiva: $Phi_2=4pir^2$ per ogni superficie e flusso di campo solenoidale (non mi sembra solo per una sfera!).
Mi sembra questo il sendo della dimostazione 2: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_flusso #Dimostrazione_2
non mi torna qualcosa
Scusa se ti chiedo un'ovvietà ma vorrei davvero capire dato che da solo non ci sono riuscito
Ancora non ho capito qual è il dubbio...
Comunque qualche incertezza mi pare di vederla:
dici che un campo solenoidale ha un flusso nullo su ogni superficie chiusa: vero, ma il campo elettrico NON è solenoidale, infatti il flusso NON è nullo, ma dipende dalla carica interna.
pare che pensi che il TdG derivi dal teorema della divergenza, ma non mi pare, deriva dalla legge di Coulomb, e vale per tutti i campi che dipendono da $R^-2$. Il teorema della divergenza dice invece che il flusso attraverso una superficie chiusa è uguale all'integrale di volume della divergenza del campo. E' una faccenda matematica, non fisica.
Poi continui a parlare del flusso come $4pir^2$ anche per una superficie qualunque, ma cosa sarebbe $r$ per una superficie qualunque?
Comunque qualche incertezza mi pare di vederla:
dici che un campo solenoidale ha un flusso nullo su ogni superficie chiusa: vero, ma il campo elettrico NON è solenoidale, infatti il flusso NON è nullo, ma dipende dalla carica interna.
pare che pensi che il TdG derivi dal teorema della divergenza, ma non mi pare, deriva dalla legge di Coulomb, e vale per tutti i campi che dipendono da $R^-2$. Il teorema della divergenza dice invece che il flusso attraverso una superficie chiusa è uguale all'integrale di volume della divergenza del campo. E' una faccenda matematica, non fisica.
Poi continui a parlare del flusso come $4pir^2$ anche per una superficie qualunque, ma cosa sarebbe $r$ per una superficie qualunque?
"mgrau":
dici che un campo solenoidale ha un flusso nullo su ogni superficie chiusa: vero, ma il campo elettrico NON è solenoidale, infatti il flusso NON è nullo, ma dipende dalla carica interna.
pare che pensi che il TdG derivi dal teorema della divergenza, ma non mi pare, deriva da
Giustissimo, in realtà non l'ho evidenziato ma il senso era applicare il teorema della divergenza su tutto R^3 sottratto della palla centrale (di cui parlavo) la quale contiene la singolarità "origine". Il campo elettrico è solenoidale perché ho tolto il punto incriminato in cui ho la carica => div=0 =>flusso=0 a sx dell'uguale, a dx lo spezzo come sopra..
Per quanto riguarda r, non intendo il raggio, ma esso sarebbe la distanza tra carica e superficie, mi rifaccio sempre alla pagina linkata prima perché praticamente è identica al libro.
Grazie ancora.
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