Teorema di Earnshaw con esercizio
Sto fronteggiando questo esercizio proposto dal docente (sul sito) di esercitazione della mia università.
Purtroppo non ho soluzioni quindi vorrei avere un vostro parere, soprattutto perché ho intuito come farlo (spero), ma non capisco come scrivere la funzione scalare potenziale.
Vediamo nel dettaglio:
L'enunciato del teorema di Earnshaw è il seguente:
Un potenziale elettrostatico V (x; y; z), che soddisfa l'equazione di Laplace ($\nabla^2V = 0$),
non ha ne minimi ne massimi locali, ma tutti i punti stazionari sono punti di sella.
Fisicamente, signifca che è impossibile mantenere in equilibrio stabile una particella carica
sotto l'azione di sole forze elettrostatiche.
(i) Verifcate il teorema nella configurazione di 4 particelle di uguale carica +q disposte
ai 4 vertici di un quadrato sul piano (x; y), mettendo una quinta carica positiva al
centro del quadrato.
Ho pensato appunto di scrivere il potenziale scalare, da cui imponendo l'annullamento del gradiente studiarne l'Hessiana.
Il problema è che
1 Non ho la più pallida idea di come scrivere tale funzione, non riesco a venirne a capo dignitosamente (ho perso il conto di quante inutili drivate parziale mi sono sparato lol).
2 Non capisco come usare l'equazione di Laplace.
Cerco disperatamente una soluzione, ci ho perso tanto tempo.
Un sentito grazie a chi mi aiuterà
Purtroppo non ho soluzioni quindi vorrei avere un vostro parere, soprattutto perché ho intuito come farlo (spero), ma non capisco come scrivere la funzione scalare potenziale.
Vediamo nel dettaglio:
L'enunciato del teorema di Earnshaw è il seguente:
Un potenziale elettrostatico V (x; y; z), che soddisfa l'equazione di Laplace ($\nabla^2V = 0$),
non ha ne minimi ne massimi locali, ma tutti i punti stazionari sono punti di sella.
Fisicamente, signifca che è impossibile mantenere in equilibrio stabile una particella carica
sotto l'azione di sole forze elettrostatiche.
(i) Verifcate il teorema nella configurazione di 4 particelle di uguale carica +q disposte
ai 4 vertici di un quadrato sul piano (x; y), mettendo una quinta carica positiva al
centro del quadrato.
Ho pensato appunto di scrivere il potenziale scalare, da cui imponendo l'annullamento del gradiente studiarne l'Hessiana.
Il problema è che
1 Non ho la più pallida idea di come scrivere tale funzione, non riesco a venirne a capo dignitosamente (ho perso il conto di quante inutili drivate parziale mi sono sparato lol).
2 Non capisco come usare l'equazione di Laplace.
Cerco disperatamente una soluzione, ci ho perso tanto tempo.
Un sentito grazie a chi mi aiuterà
Risposte
Visto che, da quello che sembra sottinteso, dobbiamo trovare una strada alternativa alla classica dimostrazione del teorema di Earnshaw, direi che potremo semplicemente andare a studiare il potenziale $\phi(x,y,z)$ lungo una qualsiasi linea non complanare che passi per il centro del sistema [nota]Che ovviamente assumeremo come origine.[/nota], e la linea più "conveniente" è di certo la retta assiale [nota]In questo caso avremo un $\phi(0,0,z)$.[/nota].
Se riusciamo a dimostrare (e non sarà certo difficile) che questo potenziale presenta un massimo in corrispondenza dell'origine, quel punto sarà di equilibrio instabile per la quinta carica, ... almeno così credo.
Se riusciamo a dimostrare (e non sarà certo difficile) che questo potenziale presenta un massimo in corrispondenza dell'origine, quel punto sarà di equilibrio instabile per la quinta carica, ... almeno così credo.
"RenzoDF":
e riusciamo a dimostrare (e non sarà certo difficile) che questo potenziale presenta un massimo in corrispondenza dell'origine, quel punto sarà di equilibrio instabile per la quinta carica, ... almeno così credo.
Non credo... se fosse così, una carica di segno opposto sarebbe in equilibrio STABILE... dovrebbe essere un punto di sella
Esatto condivido quanto dice mgrau, anche io ho pensato al punto di sella ergo matrice Hessiana indefinita.
Tuttavia il vero problema è che non capisco come scrivere tale potenziale
Tuttavia il vero problema è che non capisco come scrivere tale potenziale
"mgrau":
...Non credo... se fosse così, una carica di segno opposto sarebbe in equilibrio STABILE... dovrebbe essere un punto di sella
Non ho detto che il potenziale $\phi(x,y,z)$ presenti un massimo, ho detto che lo presenta $\phi(0,0,z)$, e questo direi sia sufficiente, nella situazione in oggetto, con quinta carica positiva, per affermare l'instabilità.
"sgrisolo":
... Tuttavia il vero problema è che non capisco come scrivere tale potenziale
Mentre per il $\phi(x,y,z)$ la relazione è chiaramente un po' più complessa, nella restrizione sull'asse è semplicemente del tipo
$\phi(0,0,z)=a/\sqrt(b^2+z^2) $, con a e b costanti note.
PS Chiaramente volendo dimostrarlo in generale, ovvero per cariche di qualsiasi segno, avremmo potuto scegliere una diversa linea, studiando per esempio il potenziale lungo $x$, e quindi $\phi(x,0,0)$, che avrebbe portato ad un minimo nell'origine.
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