Teorema di Clausius

[stefano_89]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sulla dimostraione del teorema di clausius. perchè ci sono molte spiegazioni ma piuttosto incomprensibile..XD
Secondo la spiegazione del professione, come in genere sui vari siti, si parte considerando una trasformazione irreversibile (che quindi rende il cilo irreversibile) e si afferma che il suo rendimente è certamente minore di una equivalente trasformaizone attuata con una macchina di Carnot.
Quindi si arriva ad affermare sempre che per un ciclo irreversibile $\int_{A}^{B} dQ/T -< 0$ Ma non capisco, come è possibile che la variazione di entropia in un ciclo irreversibile sia minore di zero ??

e poi si conitnua: prendendo un ciclo che va da A a B in maniera irreversibile, e torna ad A con una trasf. reverisbile, si viene a creare la relazione:

$\int_{A}^{B} dQ/T =\int_{A}^{B} dQ/T(irrevev) + \int_{B}^{A} dQ/T(revers) -< 0$

Che porta ad avere: $\int_{A}^{B} dQ/T(irrevev) -< \int_{A}^{B} dQ/T(revers)$ ma quindi pare che la variazione di entropia per una trasf. irreversibile sia minore di quella di una trasf. reversibile. Come è possibile ? dato che l' entropia rappresenta il lavoro perso durante una trasformazione, dovrebbe essere maggiore per una irreversibile..

Infine conclude dicendo:

$dS = \int_{A}^{B} dQ/T(revers) >- \int_{A}^{B} dQ/T(irrevev)$ e prendendo un sistema isolato, tipo l' universo, si ha $dQ = 0$ quindi il termine a secondo membro dell' uguaglianza va a zero(cioè il termine irreversibile)
Ma perchè solo il termine irreversibile dovrebbe andare a zero ??

e si arriva alla definizione di entropia come $dS_uni = dS_sis + dS_amb >- 0$ per le irreverisibili.. e qui è ok..

Sapeste chiarismi quei passaggi strani??

Grazie in anticipo..

[strangolatoremancino]

Per la disuguaglianza di Clausius abbiamo

$int (delQ)/T <=0$ su di un ciclo qualunque (attento, questa non è l'entropia)

1)Consideriamo un ciclo reversibile; abbiamo quindi $int (delQ)/T =0$ (dopo sarà evidente: nel caso il ciclo sia reversibile, quell'integrale coincide con la variazione di entropia, la quale è funzione di stato. quindi...): in questo caso dividiamo il ciclo in due trasformazioni, da $a$ a $b$ e da $b$ ad $a$

$(I)int_a^b (delQ)/T + (II)int_b^a (delQ)/T =0$ e per la reversibilità del ciclo possiamo scrivere

$(I)int_a^b (delQ)/T - (II)int_a^b (delQ)/T =0$

$(I)int_a^b (delQ)/T = (II)int_a^b (delQ)/T$

Cioè quell'integrale dipende solo dagli estremi, definendo una nuova funzione di stato detta entropia

$int_a^b (delQ)/T = S(b) - S(a) = DeltaS$


2)Consideriamo un ciclo in parte irreversibile e in parte reversibile; abbiamo quindi $int (delQ)/T <=0$: in questo caso dividiamo il ciclo in due trasformazioni, da $a$ a $b$ chiamiamo la tr. irreversibile e da $b$ ad $a$ quella reversibile

$(Irr)int_a^b (delQ)/T + (Rev)int_b^a (delQ)/T <=0$ e per la reversibilità della tr. II possiamo scrivere

$(Irr)int_a^b (delQ)/T - (Rev)int_a^b (delQ)/T <=0$

$(Irr)int_a^b (delQ)/T <= (Rev)int_a^b (delQ)/T$

il termine a destra è la definizione di variazione entropica

$(Irr)int_a^b (delQ)/T <= DeltaS$

In caso durante la trasformazione irreversibile non si scambi calore con l'ambiente, abbiamo che
$0 <= DeltaS$ (Solo il "termine irreversibile" va a zero, in quanto stiamo supponendo che sia essa che avviene senza scambio di calore; la reversibile, o la successione di reversibili, possono essere di qualunque tipo, basta che abbiano gli estremi coincidenti)

Naturalmente possiamo usare una qualunque trasformazione reversibile che abbia come estremi gli stessi della irreversibile per calcolare $DeltaS$, perchè è funzione solo degli stati iniziale e finale.


Due esempi:
-Espansione libera: tr. irreversibile che non scambia calore con l'esterno. Ma i suoi estremi, stati di equilibrio, giacciono su di una isoterma ; usando l'isoterma reversibile corrispondente per il calcolo del delta entropico vediamo rispettata $0 < DeltaS$

-Trasformazione irreversibile i cui estremi giacciono su di una adiabatica: la variazione di entropia, calcolata lungo l'adiabatica reversibile corrispondente, è zero. Per essere verificata $(Irr)int_a^b (delQ)/T <= (Rev)int_a^b (delQ)/T= DeltaS$, cioè $(Irr)int_a^b (delQ)/T < 0$, vediamo che durante l'irreversibile è stato ceduto calore, per poter essere negativo l'integrale di sinistra.

[stefano_89]

Grazie ora è decisamente più chiaro.. quindi il fatto che l' integrale di una irreversibile sia minore di zero sta a indicare che è stato ceduto calore all' ambiente, e quindi l' entropia dell' universo aumenta com'è giusto che sia..