Teorema della quantità di moto
La quantità di moto dell'intero sistema di masse è $vec p = \sum_{k=1}^n vec \p_k = \sum_{k=1}^n m_k \vec \v_k$
Non capisco però una cosa. $vec p = \sum_{k=1}^n m_k \vec \v_k = d/dt(\sum_{k=1}^n m_k \vec \r_k) = d/dt(vec r_C \sum_{k=1}^n m_k) = m vec \dot v_C = vec p_C$ non capisco perchè nel terzo membro il raggio vettore viene portato fuori dalla sommatoria e perchè diventa il raggio che dall'origine si unisce al centro di massa?
Si è quindi dimostrato che la somma delle quantità di moto di ogni singola massa di un sistema è uguale alla quantità di moto del centro di massa?
Grazie
Non capisco però una cosa. $vec p = \sum_{k=1}^n m_k \vec \v_k = d/dt(\sum_{k=1}^n m_k \vec \r_k) = d/dt(vec r_C \sum_{k=1}^n m_k) = m vec \dot v_C = vec p_C$ non capisco perchè nel terzo membro il raggio vettore viene portato fuori dalla sommatoria e perchè diventa il raggio che dall'origine si unisce al centro di massa?
Si è quindi dimostrato che la somma delle quantità di moto di ogni singola massa di un sistema è uguale alla quantità di moto del centro di massa?
Grazie
Risposte
Il vettore posizione di ciascun punto può essere pensato come la somma del vettore posizione del c.m. più il vettore posizione del punto stesso nel sistema di riferimento relativo centrato sul c.m. Dunque:
[tex]\frac{d}{{dt}}\sum\limits_k {{m_k}} {\vec r_k} = \frac{d}{{dt}}\sum\limits_k {{m_k}} \left( {{{\vec r}_{cm}} + {{\vec r'}_k}} \right) = \frac{d}{{dt}}\left[ {{{\vec r}_{cm}}\sum\limits_k {{m_k}} + \sum\limits_k {{m_k}} {{\vec r'}_k}} \right] = \frac{d}{{dt}}\left[ {{{\vec r}_{cm}}\sum\limits_k {{m_k}} + 0} \right] = m{\vec v_{cm}}[/tex]
[tex]\frac{d}{{dt}}\sum\limits_k {{m_k}} {\vec r_k} = \frac{d}{{dt}}\sum\limits_k {{m_k}} \left( {{{\vec r}_{cm}} + {{\vec r'}_k}} \right) = \frac{d}{{dt}}\left[ {{{\vec r}_{cm}}\sum\limits_k {{m_k}} + \sum\limits_k {{m_k}} {{\vec r'}_k}} \right] = \frac{d}{{dt}}\left[ {{{\vec r}_{cm}}\sum\limits_k {{m_k}} + 0} \right] = m{\vec v_{cm}}[/tex]
"Falco5x":
Il vettore posizione di ciascun punto può essere pensato come la somma del vettore posizione del c.m. più il vettore posizione del punto stesso nel sistema di riferimento relativo centrato sul c.m.
perchè?
Grazie
smaug:
dalla figura si osserva chiaramente che $r_{i}=r'_{i}+r_{CM}$
dalla figura si osserva chiaramente che $r_{i}=r'_{i}+r_{CM}$
"robe92":
dalla figura si osserva chiaramente che $r_{i}=r'_{i}+r_{CM}$
Grazie questo ora l'ho capito, però in questo caso perchè $r_i$ viene portato fuori dalla sommatoria e sostituito con $r_C$ invece di essere costituito con $r'_{i}+r_{CM}$
Sai che, per definizione, $r_{CM}=(\sum_{i}m_{i}r_{i})/(\sum_{i}m_{i})$
Per calcolare la velocità del centro di massa si ha $v_{CM}=(dr_{CM})/dt=(\sum_{i}m_{i}(dr_{i})/dt)/(\sum_{i}m_{i})=(\sum_{i}m_{i}v_{i})/(\sum_{i}m_{i})= P/m$. Quindi la quantità di moto totale del sistema equivale alla quantità di moto del centro di massa considerato come un punto materiale in cui si concentra tutta la massa del sistema ($mv_{CM}=P$)
Per calcolare la velocità del centro di massa si ha $v_{CM}=(dr_{CM})/dt=(\sum_{i}m_{i}(dr_{i})/dt)/(\sum_{i}m_{i})=(\sum_{i}m_{i}v_{i})/(\sum_{i}m_{i})= P/m$. Quindi la quantità di moto totale del sistema equivale alla quantità di moto del centro di massa considerato come un punto materiale in cui si concentra tutta la massa del sistema ($mv_{CM}=P$)
"robe92":
Sai che, per definizione, $r_{CM}=(\sum_{i}m_{i}r_{i})/(\sum_{i}m_{i})$
Per calcolare la velocità del centro di massa si ha $v_{CM}=(dr_{CM})/dt=(\sum_{i}m_{i}(dr_{i})/dt)/(\sum_{i}m_{i})=(\sum_{i}m_{i}v_{i})/(\sum_{i}m_{i})= P/m$. Quindi la quantità di moto totale del sistema equivale alla quantità di moto del centro di massa considerato come un punto materiale in cui si concentra tutta la massa del sistema ($mv_{CM}=P$)
Grazie davvero
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