Teorema della divergenza e campo elettrico dove \(\rho\ne 0\)
Ciao, amici! Conosco il teorema della divergenza di Gauss per cui\[\iiint_D\text{div}\boldsymbol{F}\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iint_{\partial D}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma\]dove $D$ è una regione solida, la cui frontiera è $\partial D$ e il cui versore normale esterno è \(\boldsymbol{N}_e\), che soddisfa alcune condizioni che non elenco, ma che supponiamo che siano soddisfatte, e dove \(\boldsymbol{F}:A\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) è un campo vettoriale di classe $C^1$ con $A$ aperto tale che \(\bar{D}\subset A\).
Da tale teorema vedo derivata la legge fisica di Gauss in forma differenziale \(\text{div}\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon_0\) dove \(\boldsymbol{E}\) è il campo elettrico, \(\varepsilon_0\) la costante dielettrica e \(\rho\) la densità di carica elettrica, infatti per la legge di Gauss la carica contenuta nella regione $D$ è \[Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma\]e per il teorema della divergenza \[\iiint_D\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z=Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma=\varepsilon_0\iiint_D\text{div}\boldsymbol{E}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]da cui, scegliendo $D$ come un parallelepipedo, dividendo per la lunghezza dei lati di $D$ e facendo tendere a 0 la diagonale di $D$, si ha la tesi.
In questo ragionamento si assume ovviamente che \(\boldsymbol{E}\) soddisfi le condizioni poste su \(\boldsymbol{F}\) nella formulazione che ho dato all'inizio del teorema della divergenza.
Tuttavia, se \(\rho(\boldsymbol{x}_0)\ne 0\) e \(\boldsymbol{x}_0\in D\), nonostante possa esistere finito il campo \(\boldsymbol{E}\) definito da \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_D\frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^{3}}(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x})\text{d}x\text{d}y\text{d}z=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0)}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\boldsymbol{x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]perché \(\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\) esiste finito, come risulta chiaro utilizzando coordinate sferiche in una palla centrata in \(\boldsymbol{x}_0\), quali condizioni su $\rho$ dobbiamo richiedere perché \(\boldsymbol{E}\) sia di classe \(C^1(\bar{D})\)? Il fatto che il dominio di integrazione \(D-\boldsymbol{x}_0\) dipende da \(\boldsymbol{x}_0\) mi impedisce di utilizzare classici risultati che permettono di derivare sotto il segno di integrale...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Da tale teorema vedo derivata la legge fisica di Gauss in forma differenziale \(\text{div}\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon_0\) dove \(\boldsymbol{E}\) è il campo elettrico, \(\varepsilon_0\) la costante dielettrica e \(\rho\) la densità di carica elettrica, infatti per la legge di Gauss la carica contenuta nella regione $D$ è \[Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma\]e per il teorema della divergenza \[\iiint_D\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z=Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma=\varepsilon_0\iiint_D\text{div}\boldsymbol{E}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]da cui, scegliendo $D$ come un parallelepipedo, dividendo per la lunghezza dei lati di $D$ e facendo tendere a 0 la diagonale di $D$, si ha la tesi.
In questo ragionamento si assume ovviamente che \(\boldsymbol{E}\) soddisfi le condizioni poste su \(\boldsymbol{F}\) nella formulazione che ho dato all'inizio del teorema della divergenza.
Tuttavia, se \(\rho(\boldsymbol{x}_0)\ne 0\) e \(\boldsymbol{x}_0\in D\), nonostante possa esistere finito il campo \(\boldsymbol{E}\) definito da \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_D\frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^{3}}(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x})\text{d}x\text{d}y\text{d}z=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0)}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\boldsymbol{x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]perché \(\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\) esiste finito, come risulta chiaro utilizzando coordinate sferiche in una palla centrata in \(\boldsymbol{x}_0\), quali condizioni su $\rho$ dobbiamo richiedere perché \(\boldsymbol{E}\) sia di classe \(C^1(\bar{D})\)? Il fatto che il dominio di integrazione \(D-\boldsymbol{x}_0\) dipende da \(\boldsymbol{x}_0\) mi impedisce di utilizzare classici risultati che permettono di derivare sotto il segno di integrale...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Certo, se usi una $\rho$ a scalino, sul bordo, il campo, calcolato con quell'integrale (alla Coulomb), diverge.
Concluderei che la $\rho$ debba essere sufficientemente liscia nell'andare a zero. Se no, usa Gauss un po' prima ed un po' dopo il bordo.
Secondo me, con le funzioni a rapida decrescenza funziona tutto...
Concluderei che la $\rho$ debba essere sufficientemente liscia nell'andare a zero. Se no, usa Gauss un po' prima ed un po' dopo il bordo.
Secondo me, con le funzioni a rapida decrescenza funziona tutto...
Dopo questo divertente brain storming, sarei arrivato a queste conclusioni.
1 - se $\rho$ è di classe $C^1$, allora, poiché $\mathbf{\nabla} \cdot mathbf{E}=\frac{1}{\epsilon_0} \rho$, anche $\mathbf{E}$ è di classe $C^1$
2 - nelle suddette condizioni, è applicabile il teorema della divergenza
3 - se si usano $\rho$ nulle al di fuori di un certo dominio, maneggiare con cura! In particolare, se la $\rho$ è discontinua, usando la formula di Coulomb, si ottengono valori infiniti nei bordi. Per ovviare a questi inconvenienti, le cose potrebbero funzionare (qui occorrerebbe una dimostrazione rigorosa che non ho) se si introducono condizioni di rapida decrescenza su $\rho$ che non fanno divergere le funzioni integrande.
Può andare come sintesi?
1 - se $\rho$ è di classe $C^1$, allora, poiché $\mathbf{\nabla} \cdot mathbf{E}=\frac{1}{\epsilon_0} \rho$, anche $\mathbf{E}$ è di classe $C^1$
2 - nelle suddette condizioni, è applicabile il teorema della divergenza
3 - se si usano $\rho$ nulle al di fuori di un certo dominio, maneggiare con cura! In particolare, se la $\rho$ è discontinua, usando la formula di Coulomb, si ottengono valori infiniti nei bordi. Per ovviare a questi inconvenienti, le cose potrebbero funzionare (qui occorrerebbe una dimostrazione rigorosa che non ho) se si introducono condizioni di rapida decrescenza su $\rho$ che non fanno divergere le funzioni integrande.
Può andare come sintesi?
Per precisare.
Una funzione rapidamente decrescente (in teoria delle distribuzioni sono comuni) è una funzione che, nel punto dove si annulla e rapidamente decresce, ha tutte le derivate nulle. In questo modo, dividendo una tale funzione per qualunque polinomio che si annulla in quel punto, il risultato è sempre nullo. In questo modo si eliminerebbero gli infiniti quando si usa la formula di Coulomb.
Una funzione rapidamente decrescente (in teoria delle distribuzioni sono comuni) è una funzione che, nel punto dove si annulla e rapidamente decresce, ha tutte le derivate nulle. In questo modo, dividendo una tale funzione per qualunque polinomio che si annulla in quel punto, il risultato è sempre nullo. In questo modo si eliminerebbero gli infiniti quando si usa la formula di Coulomb.
In effetti, la dimostrazione che avevo cercato di produrre della presunta implicazione \(\rho\in C^k(\mathbb{R}^3),\rho(\mathbb{R}^3\setminus\bar{D})=\{0\}\) \(\Rightarrow\boldsymbol{E}\in C^k(\mathbb{R}^3)\) è sbagliata perché il discorso che avevo fatto sull'uso delle coordinate polari intorno a \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0\) è evidentemente sbagliato, altrimenti la componente $z$ del campo generato da una sfera carica uniformemente in \(\boldsymbol{x}_0=(0,0,R)\) non divergerebbe perché esso è lo stesso di \(k\rho\int_D\frac{z_0-z}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\) dove $D$ è appunto la sfera e invece ho supposto per tale dimostrazione che \(\int_D\frac{\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz=-\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\) converga.
"anonymous_56b3e2":No, veramente questo, come dico nel post originale, è ciò che si dimostra, in tutte le dimostrazioni che io abbia trovato, proprio ammettendo come ipotesi che $\mathbf{E}$ sia di classe $C^1$.
Dopo questo divertente brain storming, sarei arrivato a queste conclusioni.
1 - se $\rho$ è di classe $C^1$, allora, poiché $\mathbf{\nabla} \cdot mathbf{E}=\frac{1}{\epsilon_0} \rho$, anche $\mathbf{E}$ è di classe $C^1$
"anonymous_56b3e2":Già. Tuttavia, per tentare di dimostrare che se $\rho$ è particolarmente regolare allora il campo è continuamente derivabile, ho dato per scontato che \(\int_D\frac{\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\) sia integrabile, ma se lo fosse lo sarebbe anche \(k\rho\int_D\frac{\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\), cosa che invece il mio calcolo diretto del campo sulla superficie di una sfera carica uniformemente, il cui integrale diverge, dimostra che non è. Mi sto quindi convincendo che questo sia uno di quei casi in cui si rinuncia al rigore della matematica per esempio quando si dice che si integra il campo prodotto da tale sfera sulla propria superficie \(\oint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e d\sigma\) per trovare che è uguale a \(\varepsilon_0^{-1}Q\). Invece si otterrebbe tale risultato calcolando il flusso fuori dalla sfera e passando al limite.
3 - se si usano $\rho$ nulle al di fuori di un certo dominio, maneggiare con cura! In particolare, se la $\rho$ è discontinua, usando la formula di Coulomb, si ottengono valori infiniti nei bordi.
Perché hai scritto "no" al mio punto 1? L'affermazione non vale nei due sensi?
Per quanto riguarda il rigore, non sono d'accordo che qui lo dobbiamo perdere. Con le funzioni a rapida decrescenza, secondo me, salvi tutto.
Inoltre, non dimenticare che in natura, le funzioni discontinue non esistono! Una sfera carica uniformemente che abbia valore fisico, non ha un bordo netto di discontinuità. La sfera che passa da $\rho$ non nullo a zero in un punto, è solo una approssimazione matematica della realtà.
In natura, i bordi netti non esistono
Per quanto riguarda il rigore, non sono d'accordo che qui lo dobbiamo perdere. Con le funzioni a rapida decrescenza, secondo me, salvi tutto.
Inoltre, non dimenticare che in natura, le funzioni discontinue non esistono! Una sfera carica uniformemente che abbia valore fisico, non ha un bordo netto di discontinuità. La sfera che passa da $\rho$ non nullo a zero in un punto, è solo una approssimazione matematica della realtà.
In natura, i bordi netti non esistono
"anonymous_56b3e2":Intendevo dire che, se valesse \(\rho\in C^1\Rightarrow \mathbf{E}\in C^1\), allora be', sì, varrebbe \(\nabla\cdot \mathbf{E}=\varepsilon_0^{-1}\rho\) come conseguenza di \(\rho\in C^1\Rightarrow \mathbf{E}\in C^1\). D'altra parte non sono neanche riuscito a dimostrare che (con $\rho$ a supporto compatto) \(\rho\in C^1\Rightarrow \mathbf{E}\in C^1\).
Perché hai scritto "no" al mio punto 1? L'affermazione non vale nei due sensi?
"anonymous_56b3e2":Intendo il rigore in tutti quei casi, che non credo comuni solo al mio libro la cui più comunemente usata $\rho$ è costante in uno spazio e nulla fuori di esso, in cui non si fanno particolari ipotesi restrittive su $\rho$.
Per quanto riguarda il rigore, non sono d'accordo che qui lo dobbiamo perdere.
Preciso comunque che sto parlando di rigore matematico nel dedurre un risultato da certe premesse e non dell'aderenza di tale modello matematico, nonostante l'eventuale scarsità di rigore, alla realtà fisica, in cui in realtà la carica è discreta e calcolare il campo sulla superficie di un corpo solido carico, cioè su \(\partial D\), o peggio al suo interno, credo - correggimi se sbaglio - che equivarrebbe a calcolarlo dentro ai protoni e agli elettroni che formano lo strato più esterno del corpo carico, dove credo che il campo non sia affatto definito (e ciò dà un senso fisico, direi, alla mia preoccupazione sulla divergenza di \(k\int_D\rho(\boldsymbol{x})\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^{-3}(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x})\)).
"anonymous_56b3e2":Lo credo anch'io, nonostante non sappia come impostare una dimostrazione della convergenza di \(\int_D\rho(\boldsymbol{x})\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^{-3}(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x})\). Quindi, se ne avessi voglia... Ho rilanciato anche qui dove magari potresti avere voglia di sbizzarrirti in una dimostrazione.
Con le funzioni a rapida decrescenza, secondo me, salvi tutto.
Sì, i campi elettrici vengono generati dalle particelle cariche che, come tali, sono oggetti puntiformi (almeno secondo il modello standard). Le distribuzioni di carica continue sono una pura astrazione matematica che conviene nei problemi di tipo macroscopico.
Ritornando al problema della sfera carica in oggetto, usando le funzioni a rapida decrescenza, avrei dimostrato la convergenza dell'integrale alla Coulomb limitandomi al caso unidimensionale. La dimostrazione, ovviamente, l'ho fatta alla maniera dei fisici, però, secondo me, valida. Il caso a tre dimensioni mi pare analogo.
Appena ho tempo, ti posto la traccia
Ritornando al problema della sfera carica in oggetto, usando le funzioni a rapida decrescenza, avrei dimostrato la convergenza dell'integrale alla Coulomb limitandomi al caso unidimensionale. La dimostrazione, ovviamente, l'ho fatta alla maniera dei fisici, però, secondo me, valida. Il caso a tre dimensioni mi pare analogo.
Appena ho tempo, ti posto la traccia
Forse ci sono.
1) se $\rho$ va a zero come uno scalino nel bordo di una sfera (il caso con un dominio qualunque mi sembra una ovvia estensione), sul bordo il campo diventa infinito. E' inevitabile. D'altra parte è come se due cariche puntiformi fossero infinitamente vicine.
2) se $\rho$ decresce rapidamente sul bordo, allora l'infinito sparisce. Sia $p$ un punto del bordo e $\rho(p)=0$ con decrescenza rapida. Allora $\frac{\rho(r)}{||r-p||^\alpha}=0$ per $r=p$. La funzione integranda non diverge più e l'integrale è finito.
Può andare?
ps. ho cancellato il mio post precedente perché conteneva un errore: la mia pretesa di estendere ad $R^1$ le conseguenze del teorema di Gauss per le cariche a simmetria centrale, che vale in $R^3$.
1) se $\rho$ va a zero come uno scalino nel bordo di una sfera (il caso con un dominio qualunque mi sembra una ovvia estensione), sul bordo il campo diventa infinito. E' inevitabile. D'altra parte è come se due cariche puntiformi fossero infinitamente vicine.
2) se $\rho$ decresce rapidamente sul bordo, allora l'infinito sparisce. Sia $p$ un punto del bordo e $\rho(p)=0$ con decrescenza rapida. Allora $\frac{\rho(r)}{||r-p||^\alpha}=0$ per $r=p$. La funzione integranda non diverge più e l'integrale è finito.
Può andare?
ps. ho cancellato il mio post precedente perché conteneva un errore: la mia pretesa di estendere ad $R^1$ le conseguenze del teorema di Gauss per le cariche a simmetria centrale, che vale in $R^3$.
Ho fatto un test numerico con la distribuzione di carica [tex]\rho=e^{-\frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}}[/tex] definita dentro la sfera $D$ unitaria centrata nell'origine e nulla fuori dalla sfera.
Ho calcolato il potenziale Coulombiano (invece del campo, per semplificare le cose) sul punto $p=(0,0,1)$ del bordo approssimando l'integrale [tex]V(p)=\int_{D} \frac{k \rho dx dy dz}{||r-p||}[/tex], dove $r=(x,y,z)$.
Ho poi calcolato $V(p)$ alla Gauss, cioè pensando che tutta la carica è concentrata nell'origine.
Funziona tutto che è una meraviglia
Ho calcolato il potenziale Coulombiano (invece del campo, per semplificare le cose) sul punto $p=(0,0,1)$ del bordo approssimando l'integrale [tex]V(p)=\int_{D} \frac{k \rho dx dy dz}{||r-p||}[/tex], dove $r=(x,y,z)$.
Ho poi calcolato $V(p)$ alla Gauss, cioè pensando che tutta la carica è concentrata nell'origine.
Funziona tutto che è una meraviglia
Ho un importante aggiornamento sulla questione, che ha praticamente ormai bloccato a questo punto da un mese i miei studi perché mi piacerebbe capire che senso ha calcolare il campo usando la legge di Gauss se, a priori, non siamo neanche sicuri che il campo esista finito e sia integrabile sulla superficie gaussiana data prima di andare avanti alla cieca avendo rinunciato al rigore matematico. Qui mi si dice che, se la densità di carica $\rho$ è continua a pezzi e limitata, allora il campo generato da tale carica in un certo punto \(\boldsymbol{x}\) si può definire come \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}):=\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{D\setminus B(\boldsymbol{x},\varepsilon_)}\frac{k\rho(\boldsymbol{y})}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|^{3}}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})\text{d}y_1\text{d}y_2\text{d}y_3\]Come si può leggere nel link \(\boldsymbol{E}\) è continua e quindi integrabile su una superificie gaussiana.
Al link riportato mi si fornisce un abbozzo di dimostrazione di tale continuità, ma devo ammettere che non ci capisco granché, tant'è che non giurerei neppure che in tale dimostrazione non ci sia alcun errore, francamente, anche perché chi mi ha fornito quella risposta non risponde più alle mie richieste di chiarimenti. Ho comunque cercato di produrmi da solo una dimostrazione di tale continuità qui (per ogni conferma o smentita della quale sarei oltretutto immensamente grato a chiunque volesse contribuire).
Al link riportato mi si fornisce un abbozzo di dimostrazione di tale continuità, ma devo ammettere che non ci capisco granché, tant'è che non giurerei neppure che in tale dimostrazione non ci sia alcun errore, francamente, anche perché chi mi ha fornito quella risposta non risponde più alle mie richieste di chiarimenti. Ho comunque cercato di produrmi da solo una dimostrazione di tale continuità qui (per ogni conferma o smentita della quale sarei oltretutto immensamente grato a chiunque volesse contribuire).
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