Teorema della divergenza e campo elettrico dove \(\rho\ne 0\)
Ciao, amici! Conosco il teorema della divergenza di Gauss per cui\[\iiint_D\text{div}\boldsymbol{F}\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iint_{\partial D}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma\]dove $D$ è una regione solida, la cui frontiera è $\partial D$ e il cui versore normale esterno è \(\boldsymbol{N}_e\), che soddisfa alcune condizioni che non elenco, ma che supponiamo che siano soddisfatte, e dove \(\boldsymbol{F}:A\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) è un campo vettoriale di classe $C^1$ con $A$ aperto tale che \(\bar{D}\subset A\).
Da tale teorema vedo derivata la legge fisica di Gauss in forma differenziale \(\text{div}\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon_0\) dove \(\boldsymbol{E}\) è il campo elettrico, \(\varepsilon_0\) la costante dielettrica e \(\rho\) la densità di carica elettrica, infatti per la legge di Gauss la carica contenuta nella regione $D$ è \[Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma\]e per il teorema della divergenza \[\iiint_D\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z=Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma=\varepsilon_0\iiint_D\text{div}\boldsymbol{E}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]da cui, scegliendo $D$ come un parallelepipedo, dividendo per la lunghezza dei lati di $D$ e facendo tendere a 0 la diagonale di $D$, si ha la tesi.
In questo ragionamento si assume ovviamente che \(\boldsymbol{E}\) soddisfi le condizioni poste su \(\boldsymbol{F}\) nella formulazione che ho dato all'inizio del teorema della divergenza.
Tuttavia, se \(\rho(\boldsymbol{x}_0)\ne 0\) e \(\boldsymbol{x}_0\in D\), nonostante possa esistere finito il campo \(\boldsymbol{E}\) definito da \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_D\frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^{3}}(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x})\text{d}x\text{d}y\text{d}z=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0)}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\boldsymbol{x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]perché \(\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\) esiste finito, come risulta chiaro utilizzando coordinate sferiche in una palla centrata in \(\boldsymbol{x}_0\), quali condizioni su $\rho$ dobbiamo richiedere perché \(\boldsymbol{E}\) sia di classe \(C^1(\bar{D})\)? Il fatto che il dominio di integrazione \(D-\boldsymbol{x}_0\) dipende da \(\boldsymbol{x}_0\) mi impedisce di utilizzare classici risultati che permettono di derivare sotto il segno di integrale...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Da tale teorema vedo derivata la legge fisica di Gauss in forma differenziale \(\text{div}\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon_0\) dove \(\boldsymbol{E}\) è il campo elettrico, \(\varepsilon_0\) la costante dielettrica e \(\rho\) la densità di carica elettrica, infatti per la legge di Gauss la carica contenuta nella regione $D$ è \[Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma\]e per il teorema della divergenza \[\iiint_D\rho \text{d}x\text{d}y\text{d}z=Q=\varepsilon_0\iint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e\text{d}\sigma=\varepsilon_0\iiint_D\text{div}\boldsymbol{E}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]da cui, scegliendo $D$ come un parallelepipedo, dividendo per la lunghezza dei lati di $D$ e facendo tendere a 0 la diagonale di $D$, si ha la tesi.
In questo ragionamento si assume ovviamente che \(\boldsymbol{E}\) soddisfi le condizioni poste su \(\boldsymbol{F}\) nella formulazione che ho dato all'inizio del teorema della divergenza.
Tuttavia, se \(\rho(\boldsymbol{x}_0)\ne 0\) e \(\boldsymbol{x}_0\in D\), nonostante possa esistere finito il campo \(\boldsymbol{E}\) definito da \[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_D\frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^{3}}(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x})\text{d}x\text{d}y\text{d}z=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0)}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\boldsymbol{x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]perché \(\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\) esiste finito, come risulta chiaro utilizzando coordinate sferiche in una palla centrata in \(\boldsymbol{x}_0\), quali condizioni su $\rho$ dobbiamo richiedere perché \(\boldsymbol{E}\) sia di classe \(C^1(\bar{D})\)? Il fatto che il dominio di integrazione \(D-\boldsymbol{x}_0\) dipende da \(\boldsymbol{x}_0\) mi impedisce di utilizzare classici risultati che permettono di derivare sotto il segno di integrale...
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Scusa, non capisco quel $-$ davanti all'integrale, né quel $\rho(x+x_0)$.
Inoltre, non capisco qual è il tuo problema e perché ti preoccupi tanto di un punto isolato. L'integrazione ignora i punti isolati, giusto
Inoltre, non capisco qual è il tuo problema e perché ti preoccupi tanto di un punto isolato. L'integrazione ignora i punti isolati, giusto
Grazie per l'intervento, zpe!!!
Tuttavia, mi è chiaro che \(\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{y}\|^{3}}\text{d}x'\text{d}y'\text{d}z'\) esiste finito, come si può vedere utilizzando coordinate sferiche intorno all'origine, infatti, scegliendo una sfera \(B(0,\varepsilon)\) di raggio \(\varepsilon\), e utilizzando le coordinate sferiche, per cui \(\boldsymbol{y}=(r\cos\theta\sin \varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\varphi)\) e \(\text{d}x'\text{d}y'\text{d}z'= r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}\theta\), vediamo che\[\int_{B(0,\varepsilon)}\frac{\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{y}\|^{3}}\text{d}x'\text{d}y'\text{d}z'=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\varepsilon} \frac{1}{r^3} \begin{pmatrix}r\cos\theta\sin \varphi\\ r\sin\theta\sin\varphi\\ r\cos\varphi \end{pmatrix} r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}\theta\]dove l'$r^3$ al denominatore è "assorbito" dagli $r$ a numeratore.
Tuttavia, per garantire che \(\boldsymbol{E}\) sia di classe almeno $C^1$, come normalmente si suppone in fisica per derivare vari risultati come ad esempio la legge di Gauss in forma differenziale, bisogna fare delle ipotesi restrittive su $\rho$.
Mi chiedo quali ipotesi si debbano e fare e come si dimostra che, sotto tali ipotesi, \(\boldsymbol{E}\) sia di classe almeno $C^1$.
"anonymous_56b3e2":Traslando il dominio di \(-\boldsymbol{x}_0\) (cioè \(D\mapsto D-\boldsymbol{x}_0\)) e quindi sostituendo \(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\) con \(\boldsymbol{y}\) direi proprio che si abbia, per \((x',y',z')=\boldsymbol{y}\) e \((x,y,z)=\boldsymbol{x}\), che\[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_D\frac{\rho(\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^{3}}(\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x})\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\rho(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}_0)}{\|\boldsymbol{y}\|^{3}}(-\boldsymbol{y})\text{d}x'\text{d}y'\text{d}z'\]\[=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0)}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}}\boldsymbol{x}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\]
Scusa, non capisco quel $-$ davanti all'integrale, né quel $\rho(x+x_0)$.
"anonymous_56b3e2":Perdonami, ma non capisco che cosa intendi, nel senso che non è per esempio affatto possibile dire che esiste finito \(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\text{d}x\) perché solo il punto isolato $0$ è problematico.
Inoltre, non capisco qual è il tuo problema e perché ti preoccupi tanto di un punto isolato. L'integrazione ignora i punti isolati, giusto
Tuttavia, mi è chiaro che \(\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{y}\|^{3}}\text{d}x'\text{d}y'\text{d}z'\) esiste finito, come si può vedere utilizzando coordinate sferiche intorno all'origine, infatti, scegliendo una sfera \(B(0,\varepsilon)\) di raggio \(\varepsilon\), e utilizzando le coordinate sferiche, per cui \(\boldsymbol{y}=(r\cos\theta\sin \varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\varphi)\) e \(\text{d}x'\text{d}y'\text{d}z'= r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}\theta\), vediamo che\[\int_{B(0,\varepsilon)}\frac{\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{y}\|^{3}}\text{d}x'\text{d}y'\text{d}z'=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\varepsilon} \frac{1}{r^3} \begin{pmatrix}r\cos\theta\sin \varphi\\ r\sin\theta\sin\varphi\\ r\cos\varphi \end{pmatrix} r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}\theta\]dove l'$r^3$ al denominatore è "assorbito" dagli $r$ a numeratore.
Tuttavia, per garantire che \(\boldsymbol{E}\) sia di classe almeno $C^1$, come normalmente si suppone in fisica per derivare vari risultati come ad esempio la legge di Gauss in forma differenziale, bisogna fare delle ipotesi restrittive su $\rho$.
Mi chiedo quali ipotesi si debbano e fare e come si dimostra che, sotto tali ipotesi, \(\boldsymbol{E}\) sia di classe almeno $C^1$.
Scusa, avevo confuso la scrittura $D-x_0$ con $D-{x_0}$.
Come non detto
Come non detto
Hai pensato di definire la $\rho$ con la delta di dirac?
Grazie anche a te, Samuele!
"MillesoliSamuele":Della $\delta$ di Dirac e di teoria delle distribuzioni "so" solo quanto dice il Kolmogorov-Fomin, tra virgolette perché la scarsità di dimostrazioni di quel testo ha compromesso seriamente la mia reale comprensione dell'argomento, ma, in ogni caso, si tratta solo della $\delta$ che definisce il funzionale, diciamo $T$, che ha per dominio lo spazio delle funzioni infinitamente derivabili su $\mathbb{R}$ (quindi non so niente sul caso tridimensionale) a supporto compatto e tale che \(T(f)\)\(:=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)f(x)dx\)\(=f(a)\) (dove l'integrale è una scrittura puramente formale). Se non vi fosse altro modo di dimostrare che \(\boldsymbol{E}\) sia continuamente derivabile con opportune ipotesi su $\rho$, non sono certo che sarei in grado di comprenderne una dimostrazione...
Hai pensato di definire la $\rho$ con la delta di dirac?
I libri Russi son così , ho tutti i Landau e i Smirnov e la parola dimostrazione nel loro vocabolario non esiste lol
Allora puoi scrivere $\rho(x)=\sum_i^n q_i \delta (x-x_i)$ sulle $q_i$ non devi fare alcun ipotesi ti resta la delta di Dirac .
l'integrale della delta di dirac dà come risultato la Funzione di Heaviside ( funzione gradino ) , ora non so se questo può , in qualche modo , esserti utile..
Allora puoi scrivere $\rho(x)=\sum_i^n q_i \delta (x-x_i)$ sulle $q_i$ non devi fare alcun ipotesi ti resta la delta di Dirac .
l'integrale della delta di dirac dà come risultato la Funzione di Heaviside ( funzione gradino ) , ora non so se questo può , in qualche modo , esserti utile..
Ho consultato i sacri testi e la questione che poni è molto ardua. I potenziali newtoniani, così si chiamano quegli integrali in analisi, sono molti tosti. Il massimo che ho trovato è la frase "la funzione integranda è tale per cui esiste l'integrale" Mi sa che ti devi rassegnare, o passare all'analisi superiore.
Se, poi, introduci le delte di Dirac, presupponi che la distribuzione delle cariche sia puntiforme e non più continua. Questa è un'altra storia
Mi sa che ti devi rassegnare, o passare all'analisi superiore.Se, poi, introduci le delte di Dirac, presupponi che la distribuzione delle cariche sia puntiforme e non più continua. Questa è un'altra storia
Grazie a tutti, ragazzi!
"anonymous_56b3e2":Hai presente che conoscenze siano necessarie per affrontare la questione? Di analisi, gli argomenti più avanzati che ho affrontato sono un po' di analisi funzionale e di teoria della misura, avendo letto e cercato di capire il Kolmogorov-Fomin (che ho trovato tostissimo nel senso che enuncia molto - oltretutto neanche esplicitando sempre tutte le condizioni sotto le quali vale il teorema illustrato, per esempio senza che si dica com'è fatto il dominio di un operatore - e dimostra poco e, per me, dire "ho studiato e capito quel testo" significa "sono riuscito a capire le dimostrazioni che riporta e a dimostrare a me stesso ciò che non dimostra"). $\infty$ grazie ancora a tutti!
Mi sa che ti devi rassegnare, o passare all'analisi superiore.
Serve tutto, analisi funzionale, integrali, trasformazioni, distribuzioni ecc. ecc
A livello matematico, i "potenziali newtoniani" sono argomenti che si affrontano a livello superiore.
A livello fisico, ci si accontenta, come si fa spesso e volentieri, che le cose "funzionino". In fisica, secondo me, non serve un totale dettaglio matematico, in fondo la natura funziona bene già di suo (questa è una mia opinione personale molto discutibile, me ne rendo conto).
Ci vorrebbero testi di analisi molto profondi. Online, prova a cercare "newtonian potentials".
Buon lavoro
A livello matematico, i "potenziali newtoniani" sono argomenti che si affrontano a livello superiore.
A livello fisico, ci si accontenta, come si fa spesso e volentieri, che le cose "funzionino". In fisica, secondo me, non serve un totale dettaglio matematico, in fondo la natura funziona bene già di suo (questa è una mia opinione personale molto discutibile, me ne rendo conto).
Ci vorrebbero testi di analisi molto profondi. Online, prova a cercare "newtonian potentials".
Buon lavoro
Idea, perché non chiedi nella sezione di analisi?
Grazie di cuore, zpe!!! Beh, nella sezione di analisi avevo postato proprio in origine la domanda, ma l'ho poi cancellata per ripostarla qui perché pensavo che fosse un luogo più appropriato...
Ho avuto un'ideina, ma le condizioni richieste su $\rho$ sono in questo caso piuttosto strette.
Sia \(\rho\in C^{k}(A)\), per un $k\ge 0$ fissato, dove $A$ è un aperto tale che \(\bar{D}\subset A\) e \(\forall\boldsymbol{x}\notin \bar{D}\quad\rho(\boldsymbol{x})=0\) e \(\bar{D}\) è chiuso e limitato.
Senza perdere di generalità possiamo supporre $A=\mathbb{R}^3$ perché $\rho$ cè comunque prolungabile ad una tale funzione. Allora la funzione \(\varphi:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\) definita da \(\varphi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_0)=-k\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0)|\|\boldsymbol{x}\|^{-3}x\) (e tutto ciò che sto per dire vale anche con $y$ e $z$ al posto di $x$), è assolutamente sommabile su $\mathbb{R}^3$ e gli integrali di Riemann e di Lebesgue coincidono:\[(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_0))_x=\int_D\frac{k\rho(\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}(x_0-x)dxdydz=\int_{D-\boldsymbol{x_0}}\varphi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_0)dxdydz=\int_{\mathbb{R}^3}\varphi d\mu_\boldsymbol{x}.\]
Le condizioni su $\rho$ garantiscono, se \(k\ge 1\), che le derivate $\frac{\partial\varphi}{\partial x_0}$, $\frac{\partial\varphi}{\partial y_0}$ e $\frac{\partial\varphi}{\partial z_0}$ esistono e, per quasi ogni \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3\), sono continue in \(\boldsymbol{x}_0\) su tutto $\mathbb{R}^3$ e integrabili secondo Lebesgue su tale dominio, quindi, usando un corollario noto al teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata, abbiamo, per la derivata rispetto a $y_0$, ma lo stesso vale per $x_0$ e $z_0$, che \[\bigg(\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial y_0}\bigg)_x=\frac{\partial }{\partial y_0}\int_{\mathbb{R}^3}\varphi d\mu_\boldsymbol{x}=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial \varphi}{\partial y_0} d\mu_\boldsymbol{x}\]Inoltre, il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata garantisce che, per ogni successione \(\{\boldsymbol{x}_{0,n}\}\) tale che \(\boldsymbol{x}_{0,n}\to\boldsymbol{x}_{0}\), \[\bigg(\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial y_0}(\boldsymbol{x}_{0,n})\bigg)_x=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial \varphi}{\partial y_0}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_{0,n}) d\mu_\boldsymbol{x}\to\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial \varphi}{\partial y_0}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_{0}) d\mu_\boldsymbol{x}=\bigg(\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial y_0}(\boldsymbol{x}_0)\bigg)_x\]
Ripetendo gli stessi ragionamenti fatti per $\frac{\partial\varphi}{\partial y_0}$ per tutte le derivate fino alle $k$-esime (o semplicemente per \(\varphi\) per $k=0$), vediamo che \(\boldsymbol{E}\in C^k(\mathbb{R}^3)\) .
Spero di non aver scritto scemenze.
Ho avuto un'ideina, ma le condizioni richieste su $\rho$ sono in questo caso piuttosto strette.
Sia \(\rho\in C^{k}(A)\), per un $k\ge 0$ fissato, dove $A$ è un aperto tale che \(\bar{D}\subset A\) e \(\forall\boldsymbol{x}\notin \bar{D}\quad\rho(\boldsymbol{x})=0\) e \(\bar{D}\) è chiuso e limitato.
Senza perdere di generalità possiamo supporre $A=\mathbb{R}^3$ perché $\rho$ cè comunque prolungabile ad una tale funzione. Allora la funzione \(\varphi:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\) definita da \(\varphi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_0)=-k\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0)|\|\boldsymbol{x}\|^{-3}x\) (e tutto ciò che sto per dire vale anche con $y$ e $z$ al posto di $x$), è assolutamente sommabile su $\mathbb{R}^3$ e gli integrali di Riemann e di Lebesgue coincidono:\[(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}_0))_x=\int_D\frac{k\rho(\boldsymbol{x})}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}(x_0-x)dxdydz=\int_{D-\boldsymbol{x_0}}\varphi(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_0)dxdydz=\int_{\mathbb{R}^3}\varphi d\mu_\boldsymbol{x}.\]
Le condizioni su $\rho$ garantiscono, se \(k\ge 1\), che le derivate $\frac{\partial\varphi}{\partial x_0}$, $\frac{\partial\varphi}{\partial y_0}$ e $\frac{\partial\varphi}{\partial z_0}$ esistono e, per quasi ogni \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^3\), sono continue in \(\boldsymbol{x}_0\) su tutto $\mathbb{R}^3$ e integrabili secondo Lebesgue su tale dominio, quindi, usando un corollario noto al teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata, abbiamo, per la derivata rispetto a $y_0$, ma lo stesso vale per $x_0$ e $z_0$, che \[\bigg(\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial y_0}\bigg)_x=\frac{\partial }{\partial y_0}\int_{\mathbb{R}^3}\varphi d\mu_\boldsymbol{x}=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial \varphi}{\partial y_0} d\mu_\boldsymbol{x}\]Inoltre, il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata garantisce che, per ogni successione \(\{\boldsymbol{x}_{0,n}\}\) tale che \(\boldsymbol{x}_{0,n}\to\boldsymbol{x}_{0}\), \[\bigg(\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial y_0}(\boldsymbol{x}_{0,n})\bigg)_x=\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial \varphi}{\partial y_0}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_{0,n}) d\mu_\boldsymbol{x}\to\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\partial \varphi}{\partial y_0}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_{0}) d\mu_\boldsymbol{x}=\bigg(\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial y_0}(\boldsymbol{x}_0)\bigg)_x\]
Ripetendo gli stessi ragionamenti fatti per $\frac{\partial\varphi}{\partial y_0}$ per tutte le derivate fino alle $k$-esime (o semplicemente per \(\varphi\) per $k=0$), vediamo che \(\boldsymbol{E}\in C^k(\mathbb{R}^3)\) .
Spero di non aver scritto scemenze.
Hops, per sbaglio ho cancellato il mio ultimo messaggio.
Volevo dire che, se rinunci alle $\rho$ di classe $C^0$, come mi sembra nella tua dimostrazione, allora rinunci alla quasi totalità dei casi riportati negli esercizi. Dico bene?
Volevo dire che, se rinunci alle $\rho$ di classe $C^0$, come mi sembra nella tua dimostrazione, allora rinunci alla quasi totalità dei casi riportati negli esercizi. Dico bene?
La cosa potrebbe essere superata così
Se aggiungi la condizione che $\rho$ sia una funzione a rapida decrescenza, in pratica puoi ripescare le densità di carica che presentano un passaggio discontinuo a zero.
Funzioni a rapida decrescenza approssimano quanto meglio si vuole funzioni discontinue (con discontinuità del primo tipo).
Se poi la tua dimostrazione è corretta (qui non mi pronuncio perché non è il mio mestiere), sei a cavallo
Se aggiungi la condizione che $\rho$ sia una funzione a rapida decrescenza, in pratica puoi ripescare le densità di carica che presentano un passaggio discontinuo a zero.
Funzioni a rapida decrescenza approssimano quanto meglio si vuole funzioni discontinue (con discontinuità del primo tipo).
Se poi la tua dimostrazione è corretta (qui non mi pronuncio perché non è il mio mestiere), sei a cavallo
"anonymous_56b3e2":Perdonami: intendevo che $\rho$ fosse di classe $C^k$ su un aperto $A$ contenente sia $D$ sia la frontiera di $D$ e ho corretto conseguentemente il post, in modo da essere prolungabile rimanendo di classe $C^k$ e nulla fuori di $A$ su tutto $\mathbb{R}^3$. In effetti non avrei saputo come maneggiare funzioni discontinue perché senza imporre che sia nulla al di fuori di un insieme compatto non saremmo neanche certi che sia limitata e quindi integrabile secondo Lebesgue su $\mathbb{R}^3$.
Volevo dire che, se rinunci alle $\rho$ di classe $C^0$
Davide, io proverei a costruire un esempio di distribuzione di carica statica che realizza un campo elettrico non C1. Partendo con casi semplici e vedendo cosa succede. So che questo non risponde alla tua domanda ma spesso (almeno per me) un esempio aiuta a fare mente locale sulla situazione che si sta affrontando, a chiarirsi le idee, a suggerire possibili strade per una dimostrazione più generale.
Bene. Allora propongo l'esempio classico della sfera uniformemente carica. La $\rho$ è chiaramente discontinua sul suo bordo, ma il campo $E$ risulta continuo sul bordo ma con derivata discontinua.
Grazie ancora a zpe e a ralf!!!
Mi sa che si tratta di uno di quei casi, il cui insieme sembra essere non vuoto, in cui la fisica rinuncia al rigore della matematica...
"anonymous_56b3e2":Infatti. Io ho chiesto sotto quali ipotesi su $\rho$ possiamo avere un campo \(\boldsymbol{E}\) di classe almeno $C^1$ in modo da garantire l'applicabilità di teoremi come quello delle divergenza. Tuttavia direi che la $\rho$ più comune in cui mi sia imbattuto finora nei miei studi di fisica sia tutt'altro che una pacifica funzione regolarissima, continuamente derivabile e a supporto compatto, ma piuttosto una funzione costante su una certa regione dello spazio e nulla al di fuori di esso.
Allora propongo l'esempio classico della sfera uniformemente carica. La $ \rho $ è chiaramente discontinua sul suo bordo, ma il campo $ E $ risulta continuo sul bordo ma con derivata discontinua.
Mi sa che si tratta di uno di quei casi, il cui insieme sembra essere non vuoto, in cui la fisica rinuncia al rigore della matematica...
Ok. Allora, se usi una $\rho$ a rapida decrescenza molto vicino al bordo della sfera (limitiamoci a questo caso) in modo che sul bordo e fuori $\rho$ sia nulla, mentre dentro $\rho$ è costante e da $R-\epsilon$ ad $R$ rapidamente decresce a zero in modo liscio (addirittura $C^\infty$), ottieni una $E$ di classe infinita!
Poi fai $\epsilon\rightarrow 0 $ e funziona tutto che è una meraviglia, accontentando il rigore matematico e la fisica che prevede densità che passano da un valore non nullo a zero in spazi piccolissimi.
O no?
Poi fai $\epsilon\rightarrow 0 $ e funziona tutto che è una meraviglia, accontentando il rigore matematico e la fisica che prevede densità che passano da un valore non nullo a zero in spazi piccolissimi.
O no?
Che poi, in fisica, lo zero non esiste, così come la precisione infinita, per cui, una $\rho$ che va rapidamente a zero, in fisica, va benissimo (secondo me).
"anonymous_56b3e2":Mmh... Però il campo generato da una sfera di raggio $R$ centrata nell'origine e uniformemente carica è, in \(\boldsymbol{x}\), secondo il mio libro che lo calcola utilizzando la legge di Gauss (dove, si noti, per l'esistenza dell'integrale di superficie si intende che il campo sia finito e credo anche continuo)\[\|\boldsymbol{x}\|\le R\Rightarrow\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})=\frac{kQ}{R^3}\boldsymbol{x},\quad \|\boldsymbol{x}\|\ge R\Rightarrow\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})=\frac{kQ}{\|\boldsymbol{x}\|^3}\boldsymbol{x}\]dove si vede che \(\boldsymbol{E}\) non è continuamente derivabile per esempio calcolando la derivata per \((0,0,z)\to(0,0,R)\).
Poi fai $\epsilon\rightarrow 0 $ e funziona tutto che è una meraviglia, accontentando il rigore matematico e la fisica che prevede densità che passano da un valore non nullo a zero in spazi piccolissimi.
Comunque ho cercato di calcolarmi con coordinate sferiche il campo in $z=R$ per una sfera di densità di carica uniforme $\rho$ e raggio $R$ e mi ritrovo con un integrale divergente: \[\int_{0}^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\frac{\rho}{r^3}r^2 R\sin\phi drd\phi d\theta\]contrariamente alle idilliache aspettative di un un bel \(\boldsymbol{E}\) continuo su tutta la superficie...
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