Tensori?
Ciao ragazzi, so che questa non è la sezione giusta per affrontare tale argomento, ma i tensori li sto vedendo in fisica matematica e perciò ho preferito postare qui il tutto! Sto seguendo un corso denominato "Meccanica Razionale" e improvvisamente mi sono stati sbattuti in faccia i tensori (tensori di inerzia ecc..). Ora il mio obiettivo non è saperne tutto, però vorrei almeno capire di cosa si parli! Avevo pensato di discuterne con qualcuno di voi, o magari qualcuno potrebbe suggerirmi qualcosa di non troppo complicato! 
Aspetto notizie, un saluto!
Aspetto notizie, un saluto!
Risposte
Ciao!
I tensori sono delle funzioni multilineari che prendono un certo numero di vettori e li combinano per restituire un numero. Ad esempio, il prodotto scalare prende due vettori e restituisce un numero, quindi è un tensore. (Per dare una definizione rigorosa bisognerebbe introdurre i vettori e i covettori, ma nell'ambito della geometria euclidea non è necessario).
Come per i vettori, anche i tensori possono essere scritti tramite componenti. Le componenti di un vettore sono una n-upla di numeri, le componenti di un tensore sono una n-upla se il tensore è di rango 1 (cioè prende un vettore e ridà un numero); sono una matrice se il tensore è di rango 2 (prende due vettori e ridà un numero); sono una matrice "3d" se il tensore è di rango 3 e così via.
Ad esempio, il prodotto scalare è un tensore di rango 2 le cui componenti sono la matrice identità 3x3 (se siamo nello spazio euclideo tridimensionale): siano v1 e v2 due vettori e T il tensore prodotto scalare, allora
\( \displaystyle T(v_1, v_2)= v_1 \cdot v_2 = v_{1x} v_{2x}+v_{1y} v_{2y} + v_{1z} v_{2z}=T_{ij}v_i v_j \Rightarrow T_{ij}=\delta_{ij} \)
Comunque guarda, i tensori io li ho capiti veramente solo studiando la relatività generale, quindi se vuoi capire bene cosa sono ti consiglierei ti prendere un libro come il Wald, "General relativity" e leggerti i primi capitoli di introduzione matematica
Ps... non capisco perché non mi fa le formule in latex...
I tensori sono delle funzioni multilineari che prendono un certo numero di vettori e li combinano per restituire un numero. Ad esempio, il prodotto scalare prende due vettori e restituisce un numero, quindi è un tensore. (Per dare una definizione rigorosa bisognerebbe introdurre i vettori e i covettori, ma nell'ambito della geometria euclidea non è necessario).
Come per i vettori, anche i tensori possono essere scritti tramite componenti. Le componenti di un vettore sono una n-upla di numeri, le componenti di un tensore sono una n-upla se il tensore è di rango 1 (cioè prende un vettore e ridà un numero); sono una matrice se il tensore è di rango 2 (prende due vettori e ridà un numero); sono una matrice "3d" se il tensore è di rango 3 e così via.
Ad esempio, il prodotto scalare è un tensore di rango 2 le cui componenti sono la matrice identità 3x3 (se siamo nello spazio euclideo tridimensionale): siano v1 e v2 due vettori e T il tensore prodotto scalare, allora
\( \displaystyle T(v_1, v_2)= v_1 \cdot v_2 = v_{1x} v_{2x}+v_{1y} v_{2y} + v_{1z} v_{2z}=T_{ij}v_i v_j \Rightarrow T_{ij}=\delta_{ij} \)
Comunque guarda, i tensori io li ho capiti veramente solo studiando la relatività generale, quindi se vuoi capire bene cosa sono ti consiglierei ti prendere un libro come il Wald, "General relativity" e leggerti i primi capitoli di introduzione matematica
Ps... non capisco perché non mi fa le formule in latex...
[OT]
@lucagablu
Il problema erano i doppi pedici...ho corretto.
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@lucagablu
Il problema erano i doppi pedici...ho corretto.
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"lucagalbu":
Ad esempio, il prodotto scalare è un tensore di rango 2 le cui componenti sono la matrice identità 3x3 (se siamo nello spazio euclideo tridimensionale)
Questa mi è nuova. Voglio dire, uno scalare è un tensore di rango due? Qualcosa non torna.
@Mrahah
Per come la vedo io nei corsi di meccanica la parola tensore capita un po' a sproposito. Nel senso che per capire cosa rappresenta il tensore d'inerzia (ad esempio..) non serve avere padronanza con la nozione astratta di tensore. In effetti quando leggi "tensore" in meccanica puoi pensarlo come sinonimo di matrice. E questo non è nemmeno troppo lontano dalla realtà, infatti i tensori sono una generalizzazione delle matrici. Intuitivamente questa generalizzazione riguarda principalmente due aspetti: il numero di indici e la geometria dello spazio. La matrici sono oggetti a due indici che "vivono" nello spazio Euclideo. I tensori sono oggetti a $n$ indici che "vivono" in qualunque spazio tu li voglia mettere, sia esso piatto o curvo.
[OT]
@speculor
Questa mi è nuova. Voglio dire, uno scalare è un tensore di rango due? Qualcosa non torna.[/quote]
I tensori si possono definire anche come diceva luca. Cioè come delle applicazioni multilineari che "pescano" un certo numero di vettori e di covettori e restituiscono un numero. Certamente se, carta per carta, introduci le basi canoniche negli spazi dei vettori e dei covettori e proietti l'azione del tensore allora ottieni le componenti. In questo schema il rango è definito come il numero di slot (per vettori e covettori) che il tensore possiede. C'è una bella discussione su questi aspetti nel Gravitation di Wheeler.
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Per come la vedo io nei corsi di meccanica la parola tensore capita un po' a sproposito. Nel senso che per capire cosa rappresenta il tensore d'inerzia (ad esempio..) non serve avere padronanza con la nozione astratta di tensore. In effetti quando leggi "tensore" in meccanica puoi pensarlo come sinonimo di matrice. E questo non è nemmeno troppo lontano dalla realtà, infatti i tensori sono una generalizzazione delle matrici. Intuitivamente questa generalizzazione riguarda principalmente due aspetti: il numero di indici e la geometria dello spazio. La matrici sono oggetti a due indici che "vivono" nello spazio Euclideo. I tensori sono oggetti a $n$ indici che "vivono" in qualunque spazio tu li voglia mettere, sia esso piatto o curvo.
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@speculor
"speculor":
[quote="lucagalbu"]
Ad esempio, il prodotto scalare è un tensore di rango 2 le cui componenti sono la matrice identità 3x3 (se siamo nello spazio euclideo tridimensionale)
Questa mi è nuova. Voglio dire, uno scalare è un tensore di rango due? Qualcosa non torna.[/quote]
I tensori si possono definire anche come diceva luca. Cioè come delle applicazioni multilineari che "pescano" un certo numero di vettori e di covettori e restituiscono un numero. Certamente se, carta per carta, introduci le basi canoniche negli spazi dei vettori e dei covettori e proietti l'azione del tensore allora ottieni le componenti. In questo schema il rango è definito come il numero di slot (per vettori e covettori) che il tensore possiede. C'è una bella discussione su questi aspetti nel Gravitation di Wheeler.
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Ciao alle.fabbri. Ho capito che cosa intendi. Tuttavia, mi chiedevo come si potesse conciliare il valore del rango definito in questo modo con il fatto che, per esempio, in molti testi di Relatività generale uno scalare sia definito come un tensore di rango zero. A meno che non si faccia riferimento alle sole proprietà di trasformazione s'intende.
Bè in generale il numero che ti restituisce il tensore (inteso come applicazione multilineare) è una funzione. Quindi uno scalare nel senso di cui parli tu. Non so se ho capito cosa vuoi dire...
Probabilmente non mi sono spiegato bene. Appena ho tempo, scrivo alcune considerazioni di carattere generale. Nel frattempo ti chiedo: sei d'accordo con me che in molti testi di relatività uno scalare sia un tensore del tipo $(0,0)$, un quadrivettore controvariante del tipo $(1,0)$, un quadrivettore covariante del tipo $(0,1)$ e via dicendo? Mi sto riferendo alle sole proprietà di trasformazione. Non ho mai formalizzato il concetto troppo rigorosamente. Non vorrei stessimo parlando di concetti diversi.
"speculor":
[quote="lucagalbu"]
Ad esempio, il prodotto scalare è un tensore di rango 2 le cui componenti sono la matrice identità 3x3 (se siamo nello spazio euclideo tridimensionale)
Questa mi è nuova. Voglio dire, uno scalare è un tensore di rango due? Qualcosa non torna.[/quote]
Il risultato del prodotto scalare è uno scalare, e quindi, come dici tu, è un tensore di rango 0 del tipo (0,0). Però la funzione lineare "prodotto scalare" è un tensore (1,1) di rango 2.
"lucagalbu":
Però la funzione lineare "prodotto scalare" è un tensore (1,1) di rango 2.
Ok, perchè si ottiene sommando prodotti del tipo $[U_iV_j]$.
Quindi alla fine ragazzi posso vederli come una generalizzazione del concetto di matrice?
Ma esiste un corso nel quale vengono affrontati per bene?
Ma esiste un corso nel quale vengono affrontati per bene?
lucagalbu,
certo che a consigliare il Wald, oppure il MTW, per imparare i tensori, ci vuole un bel coraggio...nel senso che sono testi difficili, ho avuto modo di studiarli, per volontaria scelta di imparare seriamente la RG anni fa, e ho avuto le mie belle difficoltà! Diciamo che,a mio parere, è più chiaro un libro come quello di Bernard Schutz: " A first course in General Relativity", accompagnato dal suo "Geometrical methods of mathematical physics" .
Notevole, anche se non facile, è il "Teoria dei Campi" di LAndau-Lifsitz , per i capitoli riguardanti i tensori in RR e poi in RG. Sono stati il mio primo incontro col formalismo tensoriale.
Comunque, anche sul web si trovano buone risorse, per esempio le dispense in Inglese di Walter Moretti, professore dell'Università di Trento ( un pò difficili, in verità: l'approccio non è "per componenti", ma per "oggetti matematici", applicazioni, se ricordo bene). Oppure, il corso di Valeria Ferrari , dell'Università La Sapienza di Roma. E poi, su arxiv.org , c'è un corso di Sean Carroll di General relativity, molto "approcciabile" ( che brutto termine!) .
Speculor, hai ragione tu, uno scalare è di tipo $(0,0)$ , per ottenerlo devi eseguire : $g_(\alpha\beta)*A^\alpha*B^\beta$, ovvero abbassare un indice con i coefficienti della metrica, e contrarre. Così si ottiene per esempio lo scalare di curvatura di Ricci $R$ , a partire da $ R_(\alpha\beta) $ , alzando un indice con $g^(\alpha\beta)$ .
Ma, inteso come applicazione, devi avere un tensore controvariante $(1,0)$ ed uno covariante $(0,1)$ , come argomenti del tensore metrico, e il risultato dell'applicazione è uno scalare: almeno, spero di non avere detto cavolate, se mi ricordo bene 'sta roba!
Però, per tornare all'argomento del post, ritengo che il concetto di matrice vada più che bene, per introdurre il "tensore di inerzia": tre righe, tre colonne, et voilà. Penso che non si migliori certo la comprensione di questi argomenti, introducendo dei concetti che, in fin dei conti, a pare mio servono poco, per lo meno in questo ambito, dove la materia è già di per sè un pò tosta. Vi sembra?
certo che a consigliare il Wald, oppure il MTW, per imparare i tensori, ci vuole un bel coraggio...nel senso che sono testi difficili, ho avuto modo di studiarli, per volontaria scelta di imparare seriamente la RG anni fa, e ho avuto le mie belle difficoltà! Diciamo che,a mio parere, è più chiaro un libro come quello di Bernard Schutz: " A first course in General Relativity", accompagnato dal suo "Geometrical methods of mathematical physics" .
Notevole, anche se non facile, è il "Teoria dei Campi" di LAndau-Lifsitz , per i capitoli riguardanti i tensori in RR e poi in RG. Sono stati il mio primo incontro col formalismo tensoriale.
Comunque, anche sul web si trovano buone risorse, per esempio le dispense in Inglese di Walter Moretti, professore dell'Università di Trento ( un pò difficili, in verità: l'approccio non è "per componenti", ma per "oggetti matematici", applicazioni, se ricordo bene). Oppure, il corso di Valeria Ferrari , dell'Università La Sapienza di Roma. E poi, su arxiv.org , c'è un corso di Sean Carroll di General relativity, molto "approcciabile" ( che brutto termine!) .
Speculor, hai ragione tu, uno scalare è di tipo $(0,0)$ , per ottenerlo devi eseguire : $g_(\alpha\beta)*A^\alpha*B^\beta$, ovvero abbassare un indice con i coefficienti della metrica, e contrarre. Così si ottiene per esempio lo scalare di curvatura di Ricci $R$ , a partire da $ R_(\alpha\beta) $ , alzando un indice con $g^(\alpha\beta)$ .
Ma, inteso come applicazione, devi avere un tensore controvariante $(1,0)$ ed uno covariante $(0,1)$ , come argomenti del tensore metrico, e il risultato dell'applicazione è uno scalare: almeno, spero di non avere detto cavolate, se mi ricordo bene 'sta roba!
Però, per tornare all'argomento del post, ritengo che il concetto di matrice vada più che bene, per introdurre il "tensore di inerzia": tre righe, tre colonne, et voilà. Penso che non si migliori certo la comprensione di questi argomenti, introducendo dei concetti che, in fin dei conti, a pare mio servono poco, per lo meno in questo ambito, dove la materia è già di per sè un pò tosta. Vi sembra?
@navigatore
Probabilmente stavamo parlando di cose diverse. Io, come te mi pare, mi sono focalizzato sulla legge di trasformazione, sotto rotazioni per esempio. Non mi è ancora chiaro come si concilia il fatto che il prodotto scalare sia un tensore $(1,1)$ di rango $[2]$ se si considera la "legge di costruzione", uso questa espressione per intenderci, un tensore $(0,0)$ di rango $[0]$ se si considera la legge di trasformazione. Sempre che, banalmente, queste notazioni non vengano utilizzate a seconda del contesto. Lo chiedo soprattutto a coloro che si sono focalizzati sulla "legge di costruzione".
Se utilizzi $[g_(alphabeta)A^alphaB^beta]$, gli argomenti sono entrambi vettori controvarianti. Comunque ci siamo capiti.
Probabilmente stavamo parlando di cose diverse. Io, come te mi pare, mi sono focalizzato sulla legge di trasformazione, sotto rotazioni per esempio. Non mi è ancora chiaro come si concilia il fatto che il prodotto scalare sia un tensore $(1,1)$ di rango $[2]$ se si considera la "legge di costruzione", uso questa espressione per intenderci, un tensore $(0,0)$ di rango $[0]$ se si considera la legge di trasformazione. Sempre che, banalmente, queste notazioni non vengano utilizzate a seconda del contesto. Lo chiedo soprattutto a coloro che si sono focalizzati sulla "legge di costruzione".
"navigatore":
Ma, inteso come applicazione, devi avere un tensore controvariante $(1,0)$ ed uno covariante $(0,1)$, come argomenti del tensore metrico, e il risultato dell'applicazione è uno scalare.
Se utilizzi $[g_(alphabeta)A^alphaB^beta]$, gli argomenti sono entrambi vettori controvarianti. Comunque ci siamo capiti.
Speculor,
siamo in OT, ma non importa.
Ho studiato i tensori, anni fa ( e ora non ce li ho più chiarissimi, certi concetti, ma magari qualcuno li ha più chiari e freschi di me e potrà rispondere meglio), sia con l'approccio per componenti che come applicazioni multilineari.
Quando scrivi direttamente il prodotto scalare di due tensori di tipo $(1,0)$, $A^\alpha$ e $B^\beta$, come :
$g_(\alpha\beta)*A^\alpha*B^\beta $ , hai subito che, essendo gli indici saturati, il risultato è uno scalare. Questo sarebbe, se non erro, l'approccio diretto tramite componenti.
Quando consideri invece che il tensore metrico covariante ( doppio simmetrico) $g( , )$ è una applicazione da uno spazio vettoriale in $R$ , insieme dei numeri reali, devi dare a $g( , )$ due argomenti, cioè due vettori , per arrivare allo stesso numero reale $g_(\alpha\beta)*A^\alpha*B^\beta$ , e questo sarebbe, sempre se ricordo bene, l'approccio costruttivo, come l'hai chiamato tu. Sì, è vero, gli argomenti sono due vettori controvarianti. Ci siamo capiti, ok.
Nella sostanza non cambia niente. Poi, c'è sicuramente qualcuno più esperto di me, che può dire la sua.
siamo in OT, ma non importa.
Ho studiato i tensori, anni fa ( e ora non ce li ho più chiarissimi, certi concetti, ma magari qualcuno li ha più chiari e freschi di me e potrà rispondere meglio), sia con l'approccio per componenti che come applicazioni multilineari.
Quando scrivi direttamente il prodotto scalare di due tensori di tipo $(1,0)$, $A^\alpha$ e $B^\beta$, come :
$g_(\alpha\beta)*A^\alpha*B^\beta $ , hai subito che, essendo gli indici saturati, il risultato è uno scalare. Questo sarebbe, se non erro, l'approccio diretto tramite componenti.
Quando consideri invece che il tensore metrico covariante ( doppio simmetrico) $g( , )$ è una applicazione da uno spazio vettoriale in $R$ , insieme dei numeri reali, devi dare a $g( , )$ due argomenti, cioè due vettori , per arrivare allo stesso numero reale $g_(\alpha\beta)*A^\alpha*B^\beta$ , e questo sarebbe, sempre se ricordo bene, l'approccio costruttivo, come l'hai chiamato tu. Sì, è vero, gli argomenti sono due vettori controvarianti. Ci siamo capiti, ok.
Nella sostanza non cambia niente. Poi, c'è sicuramente qualcuno più esperto di me, che può dire la sua.
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