Tensore di Inerzia
Ragazzi è da un paio di giorni che sto ragionando circa il significato del tensore d'inerzia. Sappiamo che il tensore di inerzia è un'applicazione lineare, quindi fissata una base, all'applicazione è associata una matrice. Quando prendo una base solidale, la matrice che rappresenta il tensore di inerzia non dipende dal tempo, visto che nell'espressione compaiono solo le coordinate rispetto al riferimento solidale, ma la mia domanda è la seguente: perché gli elementi di questa matrice dipendono da come è distribuita la massa del corpo intorno al polo scelto? O meglio, perché il tensore d'inerzia quando lo rappresento mediante una base solidale mi fornisce delle informazioni circa la distribuzione di massa intorno al polo scelto? Vi ringrazio. Sotto posto gli elementi della matrice che rappresentano il tensore di inerzia rispetto alla base solidale. $ \int_C \rho'(r')[x'_kdelta_lm-x'_lx'_m]dr' $
Dove C rappresenta la regione di spazio occupato dal corpo nel riferimento solidale, $rho$ è la densità di massa, e le successive $x$ sono le coordinate dei punti nel riferimento solidale al corpo ed $r'$ è il vettore posizione dei punti rispetto al riferimento solidale. Vi ringrazio anticipatamente.
Dove C rappresenta la regione di spazio occupato dal corpo nel riferimento solidale, $rho$ è la densità di massa, e le successive $x$ sono le coordinate dei punti nel riferimento solidale al corpo ed $r'$ è il vettore posizione dei punti rispetto al riferimento solidale. Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
"elatan":
……. ma la mia domanda è la seguente: perché gli elementi di questa matrice dipendono da come è distribuita la massa del corpo intorno al polo scelto? O meglio, perché il tensore d'inerzia quando lo rappresento mediante una base solidale mi fornisce delle informazioni circa la distribuzione di massa intorno al polo scelto? …...
Quando parli di "base solidale", si deve intendere una terna di assi fissi rispetto al corpo rigido che stai esaminando, evidentemente. Che sia principale o meno, dipende dalla geometria del corpo (supponiamo che la densità sia costante).
Ma francamente non capisco la tua richiesta. LE componenti del tensore di inerzia sono momenti di inerzia e momenti centrifughi. E questi momenti cambiano, in funzione della geometria (assumo sempre densità costante).
Prendi un semplice punto materiale $(P,m)$ , che sia a distanza $r$ da un polo $O$ o da un asse. Il momento di inerzia $I$ vale $mr^2$ . E dov'è il problema ? Se cambia la distanza, cambia $I$. E quindi cambia l'informazione sulla distribuzione di massa rispetto al polo. Ma qui non vedo nessun problema, o per lo meno non vedo il motivo della tua domanda.
Piuttosto, forse avresti dovuto chiederti : quale è l'utilità di questa informazione? E la risposta è : il comportamento dinamico del corpo, la sua risposta alle sollecitazioni applicate, date da forze e momenti.
Se metti due cilindri di uguale diametro esterno, uno pieno e uno cavo di piccolo spessore, a rotolare liberamente su un piano inclinato, partendo da fermi nella stessa posizione, quale arriva prima in fondo alla discesa? E c'entra la massa ?
Che cosa è che determina l'accelerazione e quindi le velocità e in definitiva il tempo di percorrenza del piano inclinato?
Non ho capito bene la richiesta, ma forse ti chiedi perchè la matrice di inerzia trasformi proprio come un tensore.
La matrice di inerzia è quella matrice, che si verfica esistere, che, applicata al vettore velocità angolare di un corpo rigido rispetto ad un sistema di riferimento, restituisce il vettore momento angolare rispetto ad un polo. La matrice stessa è calcolata rrispetto allo stesso polo e dipende dala distribuzione di massa del corpo rigido.
Il fatto è che, se si riprende la definizione di momento angolare di una distribuzione di punti materiali, si nota che questa, se i vettori posizione e velocità dei punti sono invarianti sotto certe trasformazioni di coordinate (solo spaziali), cioè se rappresentano lo stesso vettore nello spazio (tridimensionale), indipendentemente dal sistema di coordinate scelto, allora anche il vettore momento angolare lo è, quindi la matrice di inerzia deve trasformare come un tensore.
La posizione e la velocità di un punto materiale rispetto ad un sistema di riferimento, fissato, sono indipendenti dal sistema di coordinate scelto per su cui valutare le componenti.
La matrice di inerzia è quella matrice, che si verfica esistere, che, applicata al vettore velocità angolare di un corpo rigido rispetto ad un sistema di riferimento, restituisce il vettore momento angolare rispetto ad un polo. La matrice stessa è calcolata rrispetto allo stesso polo e dipende dala distribuzione di massa del corpo rigido.
Il fatto è che, se si riprende la definizione di momento angolare di una distribuzione di punti materiali, si nota che questa, se i vettori posizione e velocità dei punti sono invarianti sotto certe trasformazioni di coordinate (solo spaziali), cioè se rappresentano lo stesso vettore nello spazio (tridimensionale), indipendentemente dal sistema di coordinate scelto, allora anche il vettore momento angolare lo è, quindi la matrice di inerzia deve trasformare come un tensore.
La posizione e la velocità di un punto materiale rispetto ad un sistema di riferimento, fissato, sono indipendenti dal sistema di coordinate scelto per su cui valutare le componenti.
Vi ringrazio per le vostre risposte, ma io ancora continuo a non capire. Sulle dispense del mio prof. ci sta scritto: "Le componenti nel riferimento solidale non dipendono dal tempo, ma dipendono solamente da come è distribuita la massa del corpo attorno a $\Omega$, dove $\Omega$ è il polo rispetto al quale ci calcola il tensore di inerzia....
La frase del tuo professore è chiarissima, e a questo punto io non capisco che cosa tu non capisci.
Se ho un corpo solido, ne prendo un punto, traccio una terna di assi con origine in quel punto, e "solidifico" la terna con il corpo (questo vuol dire "solidale", non vuol dire altro….), dovrebbe essere evidente che la matrice di inerzia del corpo rispetto a tale terna di assi è una matrice simmetrica, con sei componenti indipendenti (tre momenti di inerzia e tre momenti centrifughi) , che con il "tempo" non hanno nulla da spartire : la terna è quella, i momenti sono quelli, e non cambiano col tempo…..
SE nel tempo il corpo solido si muove rispetto a un riferimento assunto come fisso, ciò non toglie che la matrice di inerzia rispetto al riferimento solidale prima detto rimanga sempre quella.
Se poi vuoi passare da una terna di riferimento solidale a un'altra, anche essa "solidale" al corpo, avente origine nello stesso punto di prima o anche in un altro punto, devi eseguire una trasformazione di coordinate, e le componenti rispetto alla nuova terna sono diverse rispetto a quelle della vecchia terna.
Perciò, qual è il tuo dubbio?
Prima avevi detto che non capivi perché mai il tensore di inerzia desse informazioni sulla distribuzione della massa nel corpo : ho cercato di rispondere a questo, anche con un esempio. Ma ora il tuo dubbio sembra un altro.
Se ho un corpo solido, ne prendo un punto, traccio una terna di assi con origine in quel punto, e "solidifico" la terna con il corpo (questo vuol dire "solidale", non vuol dire altro….), dovrebbe essere evidente che la matrice di inerzia del corpo rispetto a tale terna di assi è una matrice simmetrica, con sei componenti indipendenti (tre momenti di inerzia e tre momenti centrifughi) , che con il "tempo" non hanno nulla da spartire : la terna è quella, i momenti sono quelli, e non cambiano col tempo…..
SE nel tempo il corpo solido si muove rispetto a un riferimento assunto come fisso, ciò non toglie che la matrice di inerzia rispetto al riferimento solidale prima detto rimanga sempre quella.
Se poi vuoi passare da una terna di riferimento solidale a un'altra, anche essa "solidale" al corpo, avente origine nello stesso punto di prima o anche in un altro punto, devi eseguire una trasformazione di coordinate, e le componenti rispetto alla nuova terna sono diverse rispetto a quelle della vecchia terna.
Perciò, qual è il tuo dubbio?
Prima avevi detto che non capivi perché mai il tensore di inerzia desse informazioni sulla distribuzione della massa nel corpo : ho cercato di rispondere a questo, anche con un esempio. Ma ora il tuo dubbio sembra un altro.
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