Temperatura gas ideale
"$n$ moli di gas ideale compiono la trasformazione reversibile indicata in figura dallo stato $V_A, p_A$ allo stato $V_B, p_B$ (con $V_B > V_A$, $p_B < p_A$). Determinare se nella trasformazione c'è uno stato del gas in cui la temperatura è massima oppure se questa varia monotonamente da $A$ a $B$".
[img]http://i.imgur.com/ynoK1np.jpg?1[/img]
Non capisco come impostare il problema... mi aiutate per favore?
La soluzione proposta dal libro non mi è molto chiara, perché introduce variabili che non sono presenti nel testo:
"$p = aV + b$, $a = (p_B - p_A)/(V_B - V_A) < 0$, $b = (p_A * V_B - p_B * V_A)/(V_B - V_A) > 0$,
$T = (pV)/(nR) = ((aV + b)V)/(nR)$, $(dT)/(dV) = (2aV + b)/(nR) = 0 => V' = -b/(2a)$,
$p' = b/2$, $T' = (-b^2)/(4anR)$; è un massimo, $(d^2T)/(dV^2) = (2a)/(nR) < 0$
occorre verificare che lo stato trovato sia all'interno del segmento $AB$".
Mi potete commentare la soluzione proposta? Grazie
[img]http://i.imgur.com/ynoK1np.jpg?1[/img]
Non capisco come impostare il problema... mi aiutate per favore?
La soluzione proposta dal libro non mi è molto chiara, perché introduce variabili che non sono presenti nel testo:
"$p = aV + b$, $a = (p_B - p_A)/(V_B - V_A) < 0$, $b = (p_A * V_B - p_B * V_A)/(V_B - V_A) > 0$,
$T = (pV)/(nR) = ((aV + b)V)/(nR)$, $(dT)/(dV) = (2aV + b)/(nR) = 0 => V' = -b/(2a)$,
$p' = b/2$, $T' = (-b^2)/(4anR)$; è un massimo, $(d^2T)/(dV^2) = (2a)/(nR) < 0$
occorre verificare che lo stato trovato sia all'interno del segmento $AB$".
Mi potete commentare la soluzione proposta? Grazie
Risposte
Ciao!
Il gas esegue una trasformazione reversibile che è rappresentabile da una retta con pendenza negativa.
In generale, infatti, possiamo scrivere l'equazione della retta così:
$$y= ax+b$$
Nel nostro caso, si ha $ p = aV+b$.
Sappiamo dalla Geometria che è possibile determinare l'equazione di una retta dati due punti. Punti che noi abbiamo.
Allora troviamo $ a = \frac{p_2 - p_1}{V_2 -V_1}$ e analogamente ti trovi $b$.
Siccome $pV=nRT$,
$$T = \frac{pV}{nR}$$
cioè $T = \frac{(aV+B)*V}{nR}$, che è funzione di V. Ponendo la derivata uguale a zero, trovo il massimo della funzione $T= f(V)$, dunque il valore massimo di T che si ottiene sostituendo alla (1) il punto di massimo di $T(V)=\frac{(aV+B)*V}{nR}$, ovvero $V_{max} =- \frac{b}{2a}$
Devi solo verificare che il valore di $p$ e $V$ corrispondenti a $T_{max}$ cadano all'interno dell'intervallo di tutti i valori assunti nella trasformazione.
Edit
Piccolo errrore di trascrizione. Scusami ma sto rispolverando latex dopo anni di vuoto totale.
Il gas esegue una trasformazione reversibile che è rappresentabile da una retta con pendenza negativa.
In generale, infatti, possiamo scrivere l'equazione della retta così:
$$y= ax+b$$
Nel nostro caso, si ha $ p = aV+b$.
Sappiamo dalla Geometria che è possibile determinare l'equazione di una retta dati due punti. Punti che noi abbiamo.
Allora troviamo $ a = \frac{p_2 - p_1}{V_2 -V_1}$ e analogamente ti trovi $b$.
Siccome $pV=nRT$,
$$T = \frac{pV}{nR}$$
cioè $T = \frac{(aV+B)*V}{nR}$, che è funzione di V. Ponendo la derivata uguale a zero, trovo il massimo della funzione $T= f(V)$, dunque il valore massimo di T che si ottiene sostituendo alla (1) il punto di massimo di $T(V)=\frac{(aV+B)*V}{nR}$, ovvero $V_{max} =- \frac{b}{2a}$
Devi solo verificare che il valore di $p$ e $V$ corrispondenti a $T_{max}$ cadano all'interno dell'intervallo di tutti i valori assunti nella trasformazione.
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Piccolo errrore di trascrizione. Scusami ma sto rispolverando latex dopo anni di vuoto totale.
sei stato molto chiaro. grazie mille!
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