Svuotamento serbatoio
Salve a tutti,
dovrei calcolare il tempo che impiega un serbatoio riempito di aria compressa alla pressione di 4 bar ad arrivare a pressione atmosferica una volta aperta una valvola con orifizio di diametro noto.
Perfavore potete darmi un'indicazione su come risolvere questo problema!?
Grazie a tutti
Saluti
hoolio
dovrei calcolare il tempo che impiega un serbatoio riempito di aria compressa alla pressione di 4 bar ad arrivare a pressione atmosferica una volta aperta una valvola con orifizio di diametro noto.
Perfavore potete darmi un'indicazione su come risolvere questo problema!?
Grazie a tutti
Saluti
hoolio
Risposte
E' un esercizio poco simpatico, in quanto sicuramente si risolve con delle approssimazioni e semplificazioni.
Quello che dovresti fare è cercare una formula empirica che ti dia la velocità dell'aria attraverso il buco, data una certa differenza di pressione. Una volta avuta questa formula si imposta una equazione differenziale, sperando di poterla risolvere.
Un'altra piccola, ma non troppo, obiezione che si potrebbe fare è che il serbatoio non arriva mai a pressione atmosferica. Questo per il semplice fatto che la velocità dell'aria che esce dal buco è funzione crescente che dipende dalla differenza di pressione. Quindi di sicuro l'andamento è asintotico allo zero, ma a zero non ci arriva mai.
E' come chiedere quando finisce di scaricarsi un condensatore collegato a una resistenza. La risposta corretta è mai, e si calcola la tensione in modo analitico in questo caso.
Quello che dovresti fare è cercare una formula empirica che ti dia la velocità dell'aria attraverso il buco, data una certa differenza di pressione. Una volta avuta questa formula si imposta una equazione differenziale, sperando di poterla risolvere.
Un'altra piccola, ma non troppo, obiezione che si potrebbe fare è che il serbatoio non arriva mai a pressione atmosferica. Questo per il semplice fatto che la velocità dell'aria che esce dal buco è funzione crescente che dipende dalla differenza di pressione. Quindi di sicuro l'andamento è asintotico allo zero, ma a zero non ci arriva mai.
E' come chiedere quando finisce di scaricarsi un condensatore collegato a una resistenza. La risposta corretta è mai, e si calcola la tensione in modo analitico in questo caso.
innanzitutto grazie mille per la risposta!!! mi daresti qualche lume sull'equazione differenziale da impostare!?
una volta trovata la velocità dell'aria attraverso il foro con una formula empirica non potrei calcolarmi la portata in volume e quindi il tempo impiegato per svuotare il volume del sebatorio!?............ troppo semplicistico?
grazie
una volta trovata la velocità dell'aria attraverso il foro con una formula empirica non potrei calcolarmi la portata in volume e quindi il tempo impiegato per svuotare il volume del sebatorio!?............ troppo semplicistico?
grazie
Sì troppo semplicistico.
La velocità con cui l'aria esce dal serbatoio è funzione della differenza di pressione tra l'esterno e l'interno che è variabile man mano che il serbatoio si svuota, tale dipendenza della velocità dalla pressione poi non è affatto semplice e può assumere andamenti molto differenti a secondo del regime di moto dell'aria che si sviluppa (e il regime di moto può variare durante lo svuotamento).
Si può ragionevolmente assumere $v=sqrt(lambda(v) (Delta p) / rho )$ dove $rho$ è la densità dell'aria. Il problema è quella funzione $lambda(v)$ che a sua volta appunto dipende da $v$.... Il $Delta p$ poi come detto non è costante.
L'equazione differenziale che ne deriva (frutto comunque di semplificazioni e di modellazioni), molto probabilmente non sarebbe risolvibile analiticamente.
La velocità con cui l'aria esce dal serbatoio è funzione della differenza di pressione tra l'esterno e l'interno che è variabile man mano che il serbatoio si svuota, tale dipendenza della velocità dalla pressione poi non è affatto semplice e può assumere andamenti molto differenti a secondo del regime di moto dell'aria che si sviluppa (e il regime di moto può variare durante lo svuotamento).
Si può ragionevolmente assumere $v=sqrt(lambda(v) (Delta p) / rho )$ dove $rho$ è la densità dell'aria. Il problema è quella funzione $lambda(v)$ che a sua volta appunto dipende da $v$.... Il $Delta p$ poi come detto non è costante.
L'equazione differenziale che ne deriva (frutto comunque di semplificazioni e di modellazioni), molto probabilmente non sarebbe risolvibile analiticamente.
sapete se esiste un modello utilizzabile con simulink?
Occorre prima modellizzare $lambda$ che come detto dipende essenzialmente da $v$, ma forse è meglio essere più precisi e sottolineare che la dipendenza è dal numero di Reynolds e del numero di Mach (questo se non si possono trascurare effetti di comprimibilità come è probabile). Fatto ciò l'equazione differenziale che ne deriva si può risolvere con uno schema numerico tipo Runge-Kutta, già pronto in Matlab, (e anche in Scilab per citare una soluzione freeware), per un primo modello può bastare questo.
Per il $lambda$ si può assumere in prima battuta una perdita da carico concentrata; adesso non ho tempo di cercare, ma forse si trova qualcosa in letteratura...
Per il $lambda$ si può assumere in prima battuta una perdita da carico concentrata; adesso non ho tempo di cercare, ma forse si trova qualcosa in letteratura...
Si può ragionevolmente assumere $v=sqrt(\lambda(v) \(Deltap)/(\rho))$ dove ρ è la densità dell'aria
perchè? è ragionevole che la velocità sia proporzionale alla differenza di pressione e inversamente proporzionale alla densità, ma perchè queste quantità devono stare sotto radice? centra l'analisi dimensionale?
Sì. Deriva dall'analisi dimensionale essenzialmente (o se vuoi all'equazione di Bernouilli generalizzata).
Riguardo all'analisi dimensionale in generale qui se ne era parlato in maniera abbastanza approfondita.
Riguardo all'analisi dimensionale in generale qui se ne era parlato in maniera abbastanza approfondita.
Il motivo per il quale si utilizza l'analisi dimensionale è che sostanzialmente nelle equazioni della fluidodinamica non compaiono costanti dimensionali come ($G$ , $e$ o $h$)? sto per conto mio studiando un pochettino di fluidodinamica e mi sono reso conto che questo metodo della analisi dimensionale si utilizza spesso per esempio anche nel problema dell'esplosione forte
Che vuoi dire?
Si utilizza l'analisi dimensionale ...perché è utile.
Non c'entra il fatto che nelle equazioni di Navier-Stokes compaiono o meno costanti universali (intendevi questo?), tra l'altro l'applicazione dell'analisi dimensionale si può fare senza conoscere alcune equazione teorica che modelli il comportamento dei fluidi. Mi sembra chiaro nella discussione linkata prima.
Si utilizza l'analisi dimensionale ...perché è utile.
Non c'entra il fatto che nelle equazioni di Navier-Stokes compaiono o meno costanti universali (intendevi questo?), tra l'altro l'applicazione dell'analisi dimensionale si può fare senza conoscere alcune equazione teorica che modelli il comportamento dei fluidi. Mi sembra chiaro nella discussione linkata prima.
Si utilizza l'analisi dimensionale ...perché è utile.
certo
Non c'entra il fatto che nelle equazioni di Navier-Stokes compaiono o meno costanti universali (intendevi questo?)
si questo
Mi sembra chiaro nella discussione linkata prima
Prima non avevo letto, scusami...
scusate ma questo http://www.benthamscience.com/open/tome ... 1TOMEJ.pdf potrebbe fare al caso mio!?
Ho dato un'occhiata. Sembra riporti proprio lo stesso problema e l'approccio mi pare proprio quello a cui mi riferivo e pensavo.
Direi che l'equazione che permette di calcolare lo svuotamento sia la 8, nelle ipotesi fatte dall'articolo (tra le altre $beta$, che in sostanza coincide con ciò che io ho chiamato $lambda$ prima, è considerata costante, nel range di interesse per il problema dell'articolo).
hoolio, non mi piace in genere continuare privatamente le discussioni che fanno parte del forum.
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