Sui dielettrici polarizzati e i loro comportamenti nel vuoto
Ciao a tutti, ringrazio infinitamente chiunque abbia voglia di aiutarmi a confermare o confutare il ragionamento che ho effettuato per cercare di risolvere il problema che ora vi riporto:
La sfera è stata inizialmente polarizzata in un ambiente esterno. Polarizzazione descritta dal vettore P = kr. Successivamente posta nel vuoto al centro del S.R citato nel testo. Se ciò è corretto, significa che per definizione il vettore spostamento elettrico deve avere valore nullo, non essendo presenti cariche libere.
Detto questo, dalla relazione D = ε(0)E + P, si deduce che, almeno internamente alla sfera, il campo segua E = - P/ε(0) = - kr/ε(0), essendo normale alla superficie della sfera.
Per quanto riguarda le cariche di polarizzazione, per quella superficiale si ha che la normale uscente dal dielettrico è equiversa al vettore P, da cui σ(pol) = |P(R)| = kR, definita matematicamente positiva.
La densità volumica di polarizzazione, valutata tramite la ρ(pol) = - DivP, risulta negativa e pari a -3k. Giunti fin qua chiedo subito cosa significhi avere una densità superficiale di carica positiva e una volumica negativa, supponendo di non aver sbagliato i conti. Un altro fatto che mi turba è che non si allude al fatto che la sfera sia a terra, dunque in qualche modo la carica totale della sfera dovrebbe in qualche modo essere in totale nulla, non essendoci flussi di carica che si disperdono nel terreno e non viene dichiarato che la sfera abbia una certa carica iniziale.
Per il calcolo della carica totale della sfera, dalle deduzioni enunciate, si dovrebbe avere solo la carica di polarizzazione, calcolabile, per il teorema della divergenza, valutando il flusso del vettore polarizzazione sulla superficie della sfera, ricordandosi il segno meno fuori dall'integrale. Risulta effettivamente una carica totale complessiva negativa, anche se questo va in contrasto con la deduzione che ho sopra riportato, ovvero che la sfera non è a terra e la carica totale dovrebbe comunque rimanere nulla.
All'esterno della sfera, secondo le mie ipotesi, il campo nel vuoto dovrebbe seguire quello di una sfera carica, con carica uguale a quella di polarizzazione valutata precedentemente. Risulta che il campo valutato in R sia discontinuo di un fattore 2/3 (Eext(R) / Eint(R)). Ritengo comunque, per quanto dichiarato fino a questo momento, che il campo debba subire discontinuità solo tramite la costante dielettrica relativa della sfera, essendo i campi interno ed esterno normali alla superficie della stessa.
Ora, per quanto riguarda il potenziale, sulla superficie della sfera si ha sempre una sup. equipotenziale, ma con potenziale non nullo a differenza di una sfera conduttrice. Si potrebbe comunque imporre che sulla superficie il potenziale valga comunque 0, implementando delle opportune costanti. La mia domanda qua è se è sempre fisicamente possibile la continuità dei potenziali sulle superfici di separazione tra dielettrici diversi, come in questo caso.
Un caldo abbraccio.
La sfera è stata inizialmente polarizzata in un ambiente esterno. Polarizzazione descritta dal vettore P = kr. Successivamente posta nel vuoto al centro del S.R citato nel testo. Se ciò è corretto, significa che per definizione il vettore spostamento elettrico deve avere valore nullo, non essendo presenti cariche libere.
Detto questo, dalla relazione D = ε(0)E + P, si deduce che, almeno internamente alla sfera, il campo segua E = - P/ε(0) = - kr/ε(0), essendo normale alla superficie della sfera.
Per quanto riguarda le cariche di polarizzazione, per quella superficiale si ha che la normale uscente dal dielettrico è equiversa al vettore P, da cui σ(pol) = |P(R)| = kR, definita matematicamente positiva.
La densità volumica di polarizzazione, valutata tramite la ρ(pol) = - DivP, risulta negativa e pari a -3k. Giunti fin qua chiedo subito cosa significhi avere una densità superficiale di carica positiva e una volumica negativa, supponendo di non aver sbagliato i conti. Un altro fatto che mi turba è che non si allude al fatto che la sfera sia a terra, dunque in qualche modo la carica totale della sfera dovrebbe in qualche modo essere in totale nulla, non essendoci flussi di carica che si disperdono nel terreno e non viene dichiarato che la sfera abbia una certa carica iniziale.
Per il calcolo della carica totale della sfera, dalle deduzioni enunciate, si dovrebbe avere solo la carica di polarizzazione, calcolabile, per il teorema della divergenza, valutando il flusso del vettore polarizzazione sulla superficie della sfera, ricordandosi il segno meno fuori dall'integrale. Risulta effettivamente una carica totale complessiva negativa, anche se questo va in contrasto con la deduzione che ho sopra riportato, ovvero che la sfera non è a terra e la carica totale dovrebbe comunque rimanere nulla.
All'esterno della sfera, secondo le mie ipotesi, il campo nel vuoto dovrebbe seguire quello di una sfera carica, con carica uguale a quella di polarizzazione valutata precedentemente. Risulta che il campo valutato in R sia discontinuo di un fattore 2/3 (Eext(R) / Eint(R)). Ritengo comunque, per quanto dichiarato fino a questo momento, che il campo debba subire discontinuità solo tramite la costante dielettrica relativa della sfera, essendo i campi interno ed esterno normali alla superficie della stessa.
Ora, per quanto riguarda il potenziale, sulla superficie della sfera si ha sempre una sup. equipotenziale, ma con potenziale non nullo a differenza di una sfera conduttrice. Si potrebbe comunque imporre che sulla superficie il potenziale valga comunque 0, implementando delle opportune costanti. La mia domanda qua è se è sempre fisicamente possibile la continuità dei potenziali sulle superfici di separazione tra dielettrici diversi, come in questo caso.
Un caldo abbraccio.
Risposte
Direi che il tuo calcolo sia corretto sia per la densità superficiale (kR) che per la densità volumetrica (-3k); la carica complessiva della sfera è ovviamente nulla, visto che non è altrimenti specificato.
Il tuo dubbio sul segno negativo della carica volumetrica è facilmente spiegabile se consideri la diretta proporzionalità fra polarizzazione e raggio, considerando la successone radiale dei dipoli, con crescente polarizzazione, da r=0 a r=R, schematicamente:
... -q ___+q -2q ___+2q -3q ___+3q ... equivalente a ... -q ___-q ___-q ___+3q
Per quanto sopra detto, il campo elettrico esternamente alla sfera sarà nullo, presenterà una discontinuità per r=R e sarà funzione lineare del raggio r internamente alla stessa; ne segue che, assumendo (come normalmente si usa fare) il potenziale nullo all'infinito [nota]Nulla ti vieta comunque di assumerlo nullo al centro della sfera.[/nota], il potenziale rimarrà nullo fino alla superficie della sfera, mentre sarà facile determinarlo nel suo interno, vista la linearità del campo ... e da V(r) sarà semplice rispondere alle due ultime domande.
Il tuo dubbio sul segno negativo della carica volumetrica è facilmente spiegabile se consideri la diretta proporzionalità fra polarizzazione e raggio, considerando la successone radiale dei dipoli, con crescente polarizzazione, da r=0 a r=R, schematicamente:
... -q ___+q -2q ___+2q -3q ___+3q ... equivalente a ... -q ___-q ___-q ___+3q
Per quanto sopra detto, il campo elettrico esternamente alla sfera sarà nullo, presenterà una discontinuità per r=R e sarà funzione lineare del raggio r internamente alla stessa; ne segue che, assumendo (come normalmente si usa fare) il potenziale nullo all'infinito [nota]Nulla ti vieta comunque di assumerlo nullo al centro della sfera.[/nota], il potenziale rimarrà nullo fino alla superficie della sfera, mentre sarà facile determinarlo nel suo interno, vista la linearità del campo ... e da V(r) sarà semplice rispondere alle due ultime domande.
Ti ringrazio per la risposta!
Chiarissimo lo schema della polarizzazione!
Comunque, quando dici:
affermi questo fatto poiché la carica complessiva è nulla? Se avessi avuto una sfera conduttrice (non a terra) sotto effetto di un qualunque campo elettrico, essa influenzerebbe quest'ultimo, anche se globalmente rimarrebbe neutra.
Se puoi chiarire meglio questo passaggio te ne sarei grato.
Chiarissimo lo schema della polarizzazione!
Comunque, quando dici:
"RenzoDF":
Per quanto sopra detto, il campo elettrico esternamente alla sfera sarà nullo
affermi questo fatto poiché la carica complessiva è nulla? Se avessi avuto una sfera conduttrice (non a terra) sotto effetto di un qualunque campo elettrico, essa influenzerebbe quest'ultimo, anche se globalmente rimarrebbe neutra.
Se puoi chiarire meglio questo passaggio te ne sarei grato.
"effervescenza":
... affermi questo fatto poiché la carica complessiva è nulla?
Si, ma questo è vero solo grazie alla associata simmetria sferica della distribuzione di carica, diverso potrebbe essere il caso di una diversa distribuzione [nota]Vedi per esempio il seguente recente thread sul Forum
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=183107,
sostanzialmente riconducibile al campo associato ad un dipolo elettrico.[/nota],
Se avessi avuto una sfera conduttrice (non a terra) sotto effetto di un qualunque campo elettrico, essa influenzerebbe quest'ultimo, anche se globalmente rimarrebbe neutra?
Certo, una sfera conduttrice immersa in un campo elettrico esterno farebbe si che la sua superficie divenga una superficie equipotenziale per il campo, con le associate conseguenze per la sua geometria; la densità superficiale di carica indotta andrebbe inoltre ad annullare il campo elettrico nello spazio interno.
"RenzoDF":
Si, ma questo è vero solo grazie alla associata simmetria sferica della distribuzione di carica, diverso potrebbe essere il caso di una diversa distribuzione.
Perdonami ma io ho pensato semplicemente di considerare che ho un dielettrico polarizzato, quindi ne posso trovare le cariche di polarizzazione e risolvere il resto passando al problema equivalente, cioè con tali distribuzioni di carica nel vuoto.
Per questo motivo, il fatto che il campo esterno sia nullo, anche immediatamente fuori dalla superficie del dielettrico, mi turba un po'.
Saresti disponibile a convincermi del contrario?
Ti ringrazio ancora!
Ti basterà applicare il teorema di Gauss ad una superficie sferica, "appena fuori" dalla sfera polarizzata, per far svanire il "turbamento". 
Speriamo comunque di poter leggere a breve la tua soluzione finale, nella quale compaiano le risposte a tutte le richieste del problema.
Speriamo comunque di poter leggere a breve la tua soluzione finale, nella quale compaiano le risposte a tutte le richieste del problema.
"RenzoDF":
Ti basterà applicare il teorema di Gauss ad una superficie sferica, "appena fuori" dalla sfera polarizzata, per far svanire il "turbamento".
Ci siamo, grazie!
Ti scrivo un tentativo di risoluzione grazie a quello che abbiamo chiarito fin ora.
Come già avevo accennato, per la cariche di polarizzazione superficiale si ha che la normale uscente dal dielettrico è equiversa al vettore $P$, da cui $σ(pol) = |P(R)| = kR$.
La densità volumica di polarizzazione, valutata tramite la $ρ(pol) = - DivP$, risulta negativa e pari a $-3k$.
Per quanto concerne il potenziale nello spazio, si osserva che il vettore polarizzazione $P$ non è uniforme all'interno della sfera, dunque valgono entrambi gli integrali della relazione:
$V(x,y,z)=1/(4πε_0 ) ∫_S (P ⃗⋅n ̂)/|r-r^{\prime} | ⅆS + 1/(4πε_0 ) ∫_Τ (-DivP ⃗)/|r-r^{\prime} | ⅆτ^{\prime}$
Specificando condizioni al contorno per le quali il potenziale sia nullo all'infinito, risulta necessario introdurre una constante $C$ che accordi il potenziale esterno (uguale a 0) ed interno sulla superficie della sfera. Il fatto che il potenziale debba valere zero all'esterno della sfera è naturale conseguenza dell'assenza di campo in quella regione (che assegna potenziale o nullo o costante), in aggiunta alla boundary condition di stabilire nullo il potenziale all'infinito.
Dunque internamente il potenziale vale:
$V(Int)(x,y,z) = - kr/ε_0 + C$, con 0 <= r <= R;
$V(out)(x,y,z) = 0$, con r >= R.
Dovendo dunque essere $V(Interno)(R) = V(esterno)(R)$, la costante $C$ vale $kR/ε_0$.
Il campo elettrico nello spazio si ricava semplicemente valutando l'opposto del gradiente del potenziale, il quale dipende esclusivamente da una coordinata, quella sferica radiale.
Il campo elettrico nello spazio risulta quindi:
$E(x,y,z) = k/ε_0$, con 0 <= r <= R;
$E(x,y,z) = 0$, con r >= R.
A partire da queste condizioni, si deduce che la differenza di potenziale tra il centro della sfera e la sua superficie è pari a:
$V(R) - V(0) = kR/ε_0$ (Rimane il valore della costante $C$)
Di conseguenza, per qualunque punto posto fuori dalla superficie della sfera, la differenza di potenziale con il centro della sfera sarà sempre uguale alla costante $C$. Questo ultimo risultato non mi convince pienamente, ci devo ragionare ancora un po'.
Un saluto!
Mah, come dicevo nel mio primo post, il campo internamente alla sfera dovrebbe essere
$\vec{E}_i(r)= \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_i}{r^2}\hat{ r}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_v}{r^2}\hat{ r}=-\frac{kr}{\epsilon_0} \hat{ r}$
e quindi, essendo nullo esternamente, presentare una discontinuità \(kR/\epsilon_0\) in corrispondenza alla superficie della sfera; da questo, sarà possibile ricavare la funzione $V_i(r)$, per il potenziale interno.
$\vec{E}_i(r)= \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q_i}{r^2}\hat{ r}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_v}{r^2}\hat{ r}=-\frac{kr}{\epsilon_0} \hat{ r}$
e quindi, essendo nullo esternamente, presentare una discontinuità \(kR/\epsilon_0\) in corrispondenza alla superficie della sfera; da questo, sarà possibile ricavare la funzione $V_i(r)$, per il potenziale interno.
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