Stima del numero di stelle della Via Lattea
Ecco un problema tratto dall'Halliday, apparentemente facile. Il risultato però mi viene leggermente sbagliato.
Il sole ruota attorno al centro della galassia Via Lattea, distante da esso $R_g = 2,4*10^20 m$ con un periodo di $ T=2,4*10^8$ anni. Si supponga l'orbita circolare.
Essendo la massa del sole $M_s = 2,0 * 10^30 Kg$, valutare il numero di stelle della Via Lattea.
Ecco il semplice ragionamento: l'accelerazione centripeta del sole è data da $omega^2R_g$, dove $omega=(2pi)/T$ è la velocità angolare del sole attorno al centro della galassia. Questa accelerazione è data dall'accelerazione di gravità della galassia che, essendo supposta discoidale, è $GM_g/R_g^2$, dove $M_g$ è la massa della galassia.
Uguagliando, si ha $omega^2R_g = GM_g/R_g^2$, da cui $M_g = (omega^2R_g^3)/G$. Essendo il sole una stella media, possiamo supporre che le stelle della Via Lattea siano della stessa sua massa, da cui il numero $N$ di stelle sarà dato da
$N=M_g/M_s = (omega^2R_g^3)/(GM_s)$. Sostituendo i dati, mi viene $N = 7,1 * 10^10$, perfettamente verosimile come numero, ma il testo mi dà $6,5*10^10$, ben 6 miliardi di stelle in meno.
Come potreste spiegarmi questo fatto?
P.S.: non è per un errore dimensionale: ho trasformato tutto in unità di misura SI: il periodo l'ho convertito in secondi nella formula finale, per trovare $omega$.
Il sole ruota attorno al centro della galassia Via Lattea, distante da esso $R_g = 2,4*10^20 m$ con un periodo di $ T=2,4*10^8$ anni. Si supponga l'orbita circolare.
Essendo la massa del sole $M_s = 2,0 * 10^30 Kg$, valutare il numero di stelle della Via Lattea.
Ecco il semplice ragionamento: l'accelerazione centripeta del sole è data da $omega^2R_g$, dove $omega=(2pi)/T$ è la velocità angolare del sole attorno al centro della galassia. Questa accelerazione è data dall'accelerazione di gravità della galassia che, essendo supposta discoidale, è $GM_g/R_g^2$, dove $M_g$ è la massa della galassia.
Uguagliando, si ha $omega^2R_g = GM_g/R_g^2$, da cui $M_g = (omega^2R_g^3)/G$. Essendo il sole una stella media, possiamo supporre che le stelle della Via Lattea siano della stessa sua massa, da cui il numero $N$ di stelle sarà dato da
$N=M_g/M_s = (omega^2R_g^3)/(GM_s)$. Sostituendo i dati, mi viene $N = 7,1 * 10^10$, perfettamente verosimile come numero, ma il testo mi dà $6,5*10^10$, ben 6 miliardi di stelle in meno.
Come potreste spiegarmi questo fatto?
P.S.: non è per un errore dimensionale: ho trasformato tutto in unità di misura SI: il periodo l'ho convertito in secondi nella formula finale, per trovare $omega$.
Risposte
quando scrivi Mg=... hai messo omega invece di (omega)^2
ops! Grazie ho corretto sul messaggio, cmq era un errore solo nel messaggio: nell'esercizio vero ho usato $omega^2$ e proprio in quel modo mi viene il risultato leggermente sbagliato.
"Gauss91":
Questa accelerazione è data dall'accelerazione di gravità della galassia che, essendo supposta discoidale, è $GM_g/R_g^2$, dove $M_g$ è la massa della galassia.
Vedo un errore qua.
Dunque, rifacciamoci alla figura.
Ecco, il coso giallo è il Sole, il punto nero il centro dell galassia, la circonferenza rossa l'orbita del sole, la palle blu la galassia tutta.
Vedì, l'accelerazione del sole non è data dalla massa della galassia, ma dalla massa racchiusa dentro la linea rossa.
Questo è un fatto generale, se ad esempio io mi mettessi a scavare e scendessi vicino il centro della terra, peserei sempre meno (fino a zero al centro della terra), perché devo calcolare solo la terra che ho sotto i piedi, ed escludere il guscio sopra di me.
Il fatto è che non so se con questa correzione migliori la stima.
Per ottenere la massa della parte dentro la linea rossa, puoi procedere con una proporzione.
Se non sbaglio stiamo trattando la galassia come una circonferenza (disco), quindi detta $M$ la massa che cerchiamo, $M_("tot")$ la massa dell'intera galassia, $R_s$ la dist. centro-solo e $R_("tot")$ il raggio del disco, abbiamo
$frac{M}{M_("tot")}=frac{R_s^2}{R_("tot")^2}$
Ora penso che il raggio grande puoi trovarlo in rete.
Fammi sapere. Il resto del ragionamento direi che è ok.
Ciao!
"Gauss91":
...Questa accelerazione è data dall'accelerazione di gravità della galassia che, essendo supposta discoidale, è $GM_g/R_g^2$, dove $M_g$ è la massa della galassia.
Scusa Gauss, non so come hai fatto a trovare il campo gravitazionale di un discoide, mi spieghi come sei arrivato a quella formula?
Beh sì ovviamente è la parte interna questo è risaputo. Ma dai dati del problema nulla si può sapere circa la parte esterna, e non penso che il problema voglia che io già sappia il raggio della galassia! :p
in un modo o nell'altro, l'errore rimane: le stelle infatti AUMENTEREBBERO invece di DIMINUIRE come dice la soluzione. L'obiettivo del problema è esercitare sulla gravitazione, senza dubbio non dare una valutazione lontanamente esatta del numero di stelle della via lattea.
Per Falco: la dimostrazione è lunghina da postare sul forum, ma è la stessa del caso di una sfera, solo che è a due dimensioni al posto di tre. Il teorema dice che "Una sfera omogenea (o con densità che varia in funzione del raggio) esercita su un corpo esterno ad essa una forza gravitazionale pari a quella che eserciterebbe un punto materiale della stessa sua massa e situato al centro di essa." Funziona in questo caso perché lo spessore del discoide è di gran lunga trascurabile rispetto al suo raggio (in realtà non è così, ma senz'altro il problema lo richiede perché non ci sono altri dati), così che il problema può essere considerato bidimensionale.
Si dimostra facilmente... penso che sia una delle prime applicazioni storiche del calcolo integrale tra l'altro, che Newton ci ha generosamente dato nei suoi Principia Mathematica Philosophiae Naturalis.
in un modo o nell'altro, l'errore rimane: le stelle infatti AUMENTEREBBERO invece di DIMINUIRE come dice la soluzione. L'obiettivo del problema è esercitare sulla gravitazione, senza dubbio non dare una valutazione lontanamente esatta del numero di stelle della via lattea.
Per Falco: la dimostrazione è lunghina da postare sul forum, ma è la stessa del caso di una sfera, solo che è a due dimensioni al posto di tre. Il teorema dice che "Una sfera omogenea (o con densità che varia in funzione del raggio) esercita su un corpo esterno ad essa una forza gravitazionale pari a quella che eserciterebbe un punto materiale della stessa sua massa e situato al centro di essa." Funziona in questo caso perché lo spessore del discoide è di gran lunga trascurabile rispetto al suo raggio (in realtà non è così, ma senz'altro il problema lo richiede perché non ci sono altri dati), così che il problema può essere considerato bidimensionale.
Si dimostra facilmente... penso che sia una delle prime applicazioni storiche del calcolo integrale tra l'altro, che Newton ci ha generosamente dato nei suoi Principia Mathematica Philosophiae Naturalis.
"Gauss91":
Per Falco: la dimostrazione è lunghina da postare sul forum, ma è la stessa del caso di una sfera, solo che è a due dimensioni al posto di tre. Il teorema dice che "Una sfera omogenea (o con densità che varia in funzione del raggio) esercita su un corpo esterno ad essa una forza gravitazionale pari a quella che eserciterebbe un punto materiale della stessa sua massa e situato al centro di essa." Funziona in questo caso perché lo spessore del discoide è di gran lunga trascurabile rispetto al suo raggio (in realtà non è così, ma senz'altro il problema lo richiede perché non ci sono altri dati), così che il problema può essere considerato bidimensionale.
Si dimostra facilmente... penso che sia una delle prime applicazioni storiche del calcolo integrale tra l'altro, che Newton ci ha generosamente dato nei suoi Principia Mathematica Philosophiae Naturalis.
Sarà anche facile ma al momento non mi viene.
Per la sfera è facilissimo, basta applicare il teorema del tuo illustre omonimo senza bisogno di fare alcun integrale, e si vede che il campo è equivalente a quello di una massa puntiforme posta al centro.
Per un disco invece non mi viene così immediato, sarà che non sono forte negli integrali...
Conosci mica un sito dove posso vedere la dimostrazione?
Grazie, ciao.
@Gauss91
Scusa se torno su questo punto, ma dopo averci pensato un po' mi pare impossibile che il campo in un punto sulla superficie di una sfera (che come noto è equivalente al campo di una massa uguale posta al suo centro, e corrisponde alla formula che hai usato) sia uguale al campo di un punto sulla circonferenza di un disco di pari raggio e pari massa totale della sfera!
Se fosse così vorrebbe dire che preso un elemento di area infinitesima del disco, situato in un punto qualsiasi dello stesso, la sua massa dovrebbe essere la metà di quella di un anello infinitesimo di sfera ottenuto ruotando l'elemento di disco attorno all'asse che passa tra il punto scelto e il punto del bordo sul quale si vuole calcolare il campo (dico la metà perché in posizione simmetrica rispetto a detto asse esiste un elemento di disco perfettamente uguale a quello scelto). Allora se fosse così, poiché il volume dell'anello è proporzionale al suo raggio, che è crescente partendo dal centro e procedendo verso la periferia della sfera, anche la densità di massa del disco dovrebbe essere crescente partendo dall'asse di rotazione scelto e in direzione ortogonale ad esso.
Ciò vuol dire che il disco equivalente alla sfera dovrebbe avere densità di massa non uniforme, crescente dall'interno verso l'esterno. Pertanto se il disco avesse invece densità uniforme il campo sul suo bordo sarebbe più elevato di quello della sfera di pari massa e raggio.
Cercando poi di fare quel benedetto integrale non mi esce nulla di integrabile in termini reali o finiti, per cui ho seri dubbi che il povero Newton ai suoi tempi ci fosse riuscito.
Tu nella tua approssimazione dunque (a mio modestissimo parere, eh, intendiamoci) hai approssimato la galassia con una sfera, e credo che l'esercizio si attendesse più o meno questo, altrimenti sarebbe impossibile da svolgere.
Naturalmente tutto ciò che ho detto lo puoi smentire in un attimo fornendomi il link al quale posso trovare il calcolo del campo ai bordi di un disco con densità di massa uniforme!!!
Scusa se torno su questo punto, ma dopo averci pensato un po' mi pare impossibile che il campo in un punto sulla superficie di una sfera (che come noto è equivalente al campo di una massa uguale posta al suo centro, e corrisponde alla formula che hai usato) sia uguale al campo di un punto sulla circonferenza di un disco di pari raggio e pari massa totale della sfera!
Se fosse così vorrebbe dire che preso un elemento di area infinitesima del disco, situato in un punto qualsiasi dello stesso, la sua massa dovrebbe essere la metà di quella di un anello infinitesimo di sfera ottenuto ruotando l'elemento di disco attorno all'asse che passa tra il punto scelto e il punto del bordo sul quale si vuole calcolare il campo (dico la metà perché in posizione simmetrica rispetto a detto asse esiste un elemento di disco perfettamente uguale a quello scelto). Allora se fosse così, poiché il volume dell'anello è proporzionale al suo raggio, che è crescente partendo dal centro e procedendo verso la periferia della sfera, anche la densità di massa del disco dovrebbe essere crescente partendo dall'asse di rotazione scelto e in direzione ortogonale ad esso.
Ciò vuol dire che il disco equivalente alla sfera dovrebbe avere densità di massa non uniforme, crescente dall'interno verso l'esterno. Pertanto se il disco avesse invece densità uniforme il campo sul suo bordo sarebbe più elevato di quello della sfera di pari massa e raggio.
Cercando poi di fare quel benedetto integrale non mi esce nulla di integrabile in termini reali o finiti, per cui ho seri dubbi che il povero Newton ai suoi tempi ci fosse riuscito.
Tu nella tua approssimazione dunque (a mio modestissimo parere, eh, intendiamoci) hai approssimato la galassia con una sfera, e credo che l'esercizio si attendesse più o meno questo, altrimenti sarebbe impossibile da svolgere.
Naturalmente tutto ciò che ho detto lo puoi smentire in un attimo fornendomi il link al quale posso trovare il calcolo del campo ai bordi di un disco con densità di massa uniforme!!!
Caspita... Ho peccato di eccessiva sicurezza. Ci ho provato anche io, ed effettivamente non ci si riesce! Viene un integrale in due differenziali, peggio di quanto pensassi!
Ok ho sbagliato: pensavo che essendo vero in tre dimensioni, a maggior ragione dovesse essere vero in due, dato che la situazione era analoga. Grazie falco: probabilmente è così che ho sbagliato.
Ma allora come si fa? Come calcolare il campo gravitazionale di un disco?
Ok ho sbagliato: pensavo che essendo vero in tre dimensioni, a maggior ragione dovesse essere vero in due, dato che la situazione era analoga. Grazie falco: probabilmente è così che ho sbagliato.
Ma allora come si fa? Come calcolare il campo gravitazionale di un disco?
"Gauss91":
Caspita... Ho peccato di eccessiva sicurezza. Ci ho provato anche io, ed effettivamente non ci si riesce! Viene un integrale in due differenziali, peggio di quanto pensassi!
Ok ho sbagliato: pensavo che essendo vero in tre dimensioni, a maggior ragione dovesse essere vero in due, dato che la situazione era analoga. Grazie falco: probabilmente è così che ho sbagliato.
Ma allora come si fa? Come calcolare il campo gravitazionale di un disco?
Ma dai, non credo che l'Halliday chiedesse di fare ciò, probabilmente l'approssimazione a una sfera pur essendo grossolana è l'unica accessibile ed è quella che l'esercizio si aspetta!
E non credo nemmeno che occorra andare a pescare altri dati altrove (come ad esempio la quota di massa esterna all'orbita del sole), altrimenti più che un esercizio sarebbe una ricerca!
La differenza di risultato nemmeno io me la spiego, non resta che ipotizzare che ci sia qualche errore nei dati o nel risultato.
Aggiudicato: è sbagliato il libro! I dati li ho copiati giusti ho controllato più volte. In un modo o nell'altro, il mio ragionamento è quello che l'Halliday voleva ed è questo l'importante.
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