Spostamento virtuale
Buonasera a tutti!
Per un sistema di [tex]N[/tex] punti materiali, è stato definito lo spostamento virtuale del punto [tex]i-[/tex]esimo come segue: [tex]\displaystyle \delta P_i=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P_i}{\partial q_h}\delta_{q_{h}}[/tex], dove [tex]n[/tex] è il numero di gradi di libertà del sistema. Non capisco perché ovunque si dice che i [tex]\delta_{q_{h}}[/tex] sono numeri arbitrari. Purtroppo tale risultato si utilizza in molte applicazioni di meccanica lagrangiana e non mi è chiaro.
Qualcuno di voi potrebbe chiarirmi il dubbio?
Vi ringrazio in anticipo!
Per un sistema di [tex]N[/tex] punti materiali, è stato definito lo spostamento virtuale del punto [tex]i-[/tex]esimo come segue: [tex]\displaystyle \delta P_i=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P_i}{\partial q_h}\delta_{q_{h}}[/tex], dove [tex]n[/tex] è il numero di gradi di libertà del sistema. Non capisco perché ovunque si dice che i [tex]\delta_{q_{h}}[/tex] sono numeri arbitrari. Purtroppo tale risultato si utilizza in molte applicazioni di meccanica lagrangiana e non mi è chiaro.
Qualcuno di voi potrebbe chiarirmi il dubbio?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Il problema è che il problema non esiste. Difficile essere più chiari.
Ok, allora ammettiamo che stiamo considerando un qualsiasi vettore tangente alla varietà, giusto?
"Andrea90":
Riporto in sintesi quanto scritto nel testo per fissare il punto della situazione:
"La coppia di vettori [tex]\frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2[/tex] è, in ogni punto [tex]P\in \mathcal{Q}[/tex], una base per il piano tangente alla superficie [tex]\mathcal{Q}[/tex] in [tex]P[/tex]. Dunque ogni vettore tangente si può rappresentare come combinazione lineare di tali due vettori. Per i vettori tangenti ci atterremo alla notazione tradizionale [tex]\delta P[/tex], denotando corrispondentemente le componenti con [tex]\delta_{q_h},\; h=1,2[/tex], ovvero scriveremo: [tex]\displaystyle \delta P=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P}{\partial q_h}\delta_{q_h}[/tex] con [tex]n=2[/tex] e i coefficienti [tex]\delta_{q_h}[/tex] arbitrari."
Il problema è giustificare che i [tex]\delta_{q_h}[/tex] sono arbitrari. Questa considerazione viene fatta anche in altri punti del testo...
L'unica spiegazione che mi viene è che si considera un qualsiasi vettore sul piano tangente (ed in generale sulla varietà tangente ad una certa varietà [tex]n-[/tex]dimensionale) e non un vettore fissato. Infatti se tale vettore fosse fissato le componenti rispetto alla base sarebbero esse stesse fissate.
Spero di essere stato più chiaro!
$delta P$ non è lo spazio tangente. una volta che si ha lo spazio tangente $delta P$ è una combinazione lineare della base di tale spazio secondo coefficienti arbitrari, appunti i $delta q_i$ (che definiscono lo spostamento elementare). quindi data una sottovarietà $phi(...)=0$ una base dello spazio tangente è $(del P)/(del q_i) i=1,2,...,n$ e lo spostamento virtuale ne è una combinazione lineare secondo una n-pla di coefficienti $(dq_1,dq_2,...,dq_n)$ arbitrari
"cyd":
[quote="Andrea90"]Riporto in sintesi quanto scritto nel testo per fissare il punto della situazione:
"La coppia di vettori [tex]\frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2[/tex] è, in ogni punto [tex]P\in \mathcal{Q}[/tex], una base per il piano tangente alla superficie [tex]\mathcal{Q}[/tex] in [tex]P[/tex]. Dunque ogni vettore tangente si può rappresentare come combinazione lineare di tali due vettori. Per i vettori tangenti ci atterremo alla notazione tradizionale [tex]\delta P[/tex], denotando corrispondentemente le componenti con [tex]\delta_{q_h},\; h=1,2[/tex], ovvero scriveremo: [tex]\displaystyle \delta P=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P}{\partial q_h}\delta_{q_h}[/tex] con [tex]n=2[/tex] e i coefficienti [tex]\delta_{q_h}[/tex] arbitrari."
Il problema è giustificare che i [tex]\delta_{q_h}[/tex] sono arbitrari. Questa considerazione viene fatta anche in altri punti del testo...
L'unica spiegazione che mi viene è che si considera un qualsiasi vettore sul piano tangente (ed in generale sulla varietà tangente ad una certa varietà [tex]n-[/tex]dimensionale) e non un vettore fissato. Infatti se tale vettore fosse fissato le componenti rispetto alla base sarebbero esse stesse fissate.
Spero di essere stato più chiaro!
$delta P$ non è lo spazio tangente. una volta che si ha lo spazio tangente $delta P$ è una combinazione lineare della base di tale spazio secondo coefficienti arbitrari, appunti i $delta q_i$ (che definiscono lo spostamento elementare). quindi data una sottovarietà $phi(...)=0$ una base dello spazio tangente è $(del P)/(del q_i) i=1,2,...,n$ e lo spostamento virtuale ne è una combinazione lineare secondo una n-pla di coefficienti $(dq_1,dq_2,...,dq_n)$ arbitrari[/quote]
Allora l'arbitrarietà di queste componenti è proprio imposta nella definizione di spostamento virtuale, giusto?
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