Spostamento virtuale
Buonasera a tutti!
Per un sistema di [tex]N[/tex] punti materiali, è stato definito lo spostamento virtuale del punto [tex]i-[/tex]esimo come segue: [tex]\displaystyle \delta P_i=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P_i}{\partial q_h}\delta_{q_{h}}[/tex], dove [tex]n[/tex] è il numero di gradi di libertà del sistema. Non capisco perché ovunque si dice che i [tex]\delta_{q_{h}}[/tex] sono numeri arbitrari. Purtroppo tale risultato si utilizza in molte applicazioni di meccanica lagrangiana e non mi è chiaro.
Qualcuno di voi potrebbe chiarirmi il dubbio?
Vi ringrazio in anticipo!
Per un sistema di [tex]N[/tex] punti materiali, è stato definito lo spostamento virtuale del punto [tex]i-[/tex]esimo come segue: [tex]\displaystyle \delta P_i=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P_i}{\partial q_h}\delta_{q_{h}}[/tex], dove [tex]n[/tex] è il numero di gradi di libertà del sistema. Non capisco perché ovunque si dice che i [tex]\delta_{q_{h}}[/tex] sono numeri arbitrari. Purtroppo tale risultato si utilizza in molte applicazioni di meccanica lagrangiana e non mi è chiaro.
Qualcuno di voi potrebbe chiarirmi il dubbio?
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
se puoi descrivere la posizione di un sistema di punti $(P_i, m_i) i=1,2,..N$ tramite $n$ coordinate lagrangiane allora in generale
la posizione di ogni punto è una funzione delle n coordinate lagrangiane $P_i = P_i ( q_1,q_2,...q_n)$ quindi la velocità virtuale è $vec(v)_s' = (d P_s)/(dt) = sum_i (del P_s)/(del q_i) * dot(q)_i$ infatti se $f=f(s)$ con $s=s(t)$ allora $(d f)/(dt) = (d f)/(d s) * (ds)/(dt)$
quindi $ delta P_s = sum_i (delta P_s)/(delta q_i) dot(q)_i dt = sum_i (delta P_s)/(delta q_i) delta q_i$
la posizione di ogni punto è una funzione delle n coordinate lagrangiane $P_i = P_i ( q_1,q_2,...q_n)$ quindi la velocità virtuale è $vec(v)_s' = (d P_s)/(dt) = sum_i (del P_s)/(del q_i) * dot(q)_i$ infatti se $f=f(s)$ con $s=s(t)$ allora $(d f)/(dt) = (d f)/(d s) * (ds)/(dt)$
quindi $ delta P_s = sum_i (delta P_s)/(delta q_i) dot(q)_i dt = sum_i (delta P_s)/(delta q_i) delta q_i$
Il legame con le velocità virtuali mi è chiaro. Il problema è che nelle mie assunzioni [tex]\delta_{q_h}[/tex] sono le componenti di un vettore tangente (quale è lo spostamento virtuale) alla varietà vincolare rispetto alla base [tex]\frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2,3[/tex]. Tuttavia così dicendo, i [tex]\delta_{q_h}[/tex] mi sembrano tutt'altro che arbitrari proprio per la definizione di base di uno spazio vettoriale. Cosa mi sfugge?
Se il punto materiale è vincolato a restare sulla varietà, una superficie per esempio, hai due gradi di libertà effettivi. Delle due l'una:
1. Scrivi lo spostamento virtuale senza tener conto del vincolo, tre gradi di libertà, ma allora non sono indipendenti.
2. Scrivi lo spostamento virtuale tenendo conto del vincolo, due gradi di libertà, ma allora sono indipendenti.
Il formalismo che hai utilizzato all'inizio parla dei gradi di libertà effettivi, due e non tre, quindi sono indipendenti.
1. Scrivi lo spostamento virtuale senza tener conto del vincolo, tre gradi di libertà, ma allora non sono indipendenti.
2. Scrivi lo spostamento virtuale tenendo conto del vincolo, due gradi di libertà, ma allora sono indipendenti.
Il formalismo che hai utilizzato all'inizio parla dei gradi di libertà effettivi, due e non tre, quindi sono indipendenti.
Quindi l'arbitrarietà dei numeri [tex]\delta_{q_h}[/tex] deriva dal fatto che i due gradi di libertà sono indipendenti? Non mi è molto chiaro il ragionamento anche perché non ho mai sentito parlare di gradi di libertà indipendenti...
Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua!
Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua!
Per definizione, i gradi di libertà sono sempre indipendenti. Ho utilizzato quella locuzione per esprimere meglio le mie considerazioni. Se ho un punto vincolato alla superficie di equazione $f(x,y,z)=0$, posso prima scrivere lo spostamento virtuale generico $(dx,dy,dz)$ senza tener conto del vincolo, quindi, nel rispetto del vincolo, imporre la condizione $(delf)/(delx)dx+(delf)/(dely)dy+(delf)/(delz)dz=0$, che mi rende una componente funzione delle altre due. Ripeto, il tuo formalismo prevede che tu abbia già utilizzato questa condizione, quindi hai solo le componenti indipendenti.
Ok. Allora come interpreto l'attributo "arbitrari" in riferimento a [tex]\delta_{q_h}[/tex]?
Ma infatti sono arbitrari. Nel mio esempio:
$dz=-((delf)/(delx)dx+(delf)/(dely)dy)/((delf)/(delz))$
$dx$ e $dy$ sono arbitrari, ti muovi, a livello infinitesimo, sul piano tangente.
$dz=-((delf)/(delx)dx+(delf)/(dely)dy)/((delf)/(delz))$
$dx$ e $dy$ sono arbitrari, ti muovi, a livello infinitesimo, sul piano tangente.
Allora nell'esempio da te proposto, [tex]dx[/tex] e [tex]dy[/tex] sono arbitrari perché infinitesimi? L'unica cosa che non mi torna è che questi [tex]\delta_{q_h},\; h=1,2[/tex] sono le componenti del vettore spostamento virtuale [tex]\delta P[/tex] e questo, quindi, è univocamente determinato da esse. Perché mai tali componenti sono arbitrarie? Se lo fossero otterrei un vettore tangente diverso di volta in volta che fisso le componenti... o no?
Matematicamente deve essere così. Fisicamente, una volta fissate le condizioni iniziali, viene selezionata una particolare direzione appartenente al piano tangente.
Allora a maggior ragione vale ciò che dico... se non si fosse fissata una direzione, allora le componenti potevano essere arbitrarie e al variare di queste avrei descritto il piano tangente. Ma se fisso una direzione sulla varietà tangente, in automatico non fisso i [tex]\delta_{q_h}[/tex]?
A fissare la direzione sono le equazioni del moto e le condizioni iniziali. Al variare delle condizioni iniziali, in linea generale, puoi avere una qualsiasi direzione.
"speculor":
A fissare la direzione sono le equazioni del moto e le condizioni iniziali. Al variare delle condizioni iniziali, in linea generale, puoi avere una qualsiasi direzione.
Esatto. Quindi stiamo supponendo che varino anche le condizioni iniziali? Perché?
Scusa ma, sei arrivato a determinare le equazioni di Lagrange? Per quale motivo non si dovrebbero contemplare tutte le possibili condizioni iniziali?
lo spostamento elementare di P a seguito della variazione di $q_i$ è $(del P)/(del q_i) * del q_i$ quindi se per esempio trovi che $(del P)/(del q_i) * del q_i = 0$ allora $(del P)/(del q_i) = 0$ perchè $del q_i$ è generico, cioè posso ad esempio scegliere di eseguire una variazione di $q_i$ in un verso, nell'altro a partire da una determinata posizione ecc..
"cyd":
lo spostamento elementare di P a seguito della variazione di $q_i$ è $(del P)/(del q_i) * del q_i$ quindi se per esempio trovi che $(del P)/(del q_i) * del q_i = 0$ allora $(del P)/(del q_i) = 0$ perchè $del q_i$ è generico, cioè posso ad esempio scegliere di eseguire una variazione di $q_i$ in un verso, nell'altro a partire da una determinata posizione ecc..
Perfetto.
Le equazioni di Lagrange le ho determinate dopo aver introdotto i concetti di cui parlo, quindi credo che certe discussioni siano da farsi a priori. La definizione di spostamento virtuale, come ben sai, è quella data da me prima e subito dopo si parla dell'arbitrarietà delle componenti, senza dar ragione di questa "arbitrarietà".
Se assumiamo che varino anche le condizioni iniziali allora il problema è risolto: consideriamo un qualsiasi vettore tangente alla varietà nel punto [tex]P[/tex]. Ma se tale supposizione non è valida (e tra l'altro neppure si evince dal testo in mio possesso), credo che valga la discussione matematica che ho fatto qualche post prima...
Concordi?
ammetto di non essere molto in grado di apprezzare il tuo dubbio, e infatti sto cercando di capire, non di risponderti.
l'arbitrarietà detta cosi mi sembra un concetto un po vago, nel senso
le coordinate lagrangiane sono arbitrarie, e qui ci siamo, cioè lo spostamento virtuale è chiaramente lo stesso visto da "punti di vista" diversi o meglio percepito tramite parametri differenti in base alla scelta che si fa delle coordinate lagrangiane. quindi la teoria riguarda il sistema e il suo stato in generale prescindendo dalle coordinate scelte. e fin qui ok, quelle relazioni valgono per qi generiche.
nel caso ci sia un vincolo $phi(q_1,q_2,...,q_n)=0$ che crea un legame tra le coordinate allora chiaramente ci sono n-1 parametri indipendenti sufficienti per descrivere lo stato del sistema, e quelle relazione devono valere per tutte le scelte di n-1 parametri tra gli n
ad esempio se ho un punto in un piano posso scegliere di descriverne lo stato usando delle coordinate polari, $(q_1,q_2)=(theta,rho)$ e $delta P = (del P)/(del theta) * delta theta + (del P)/(del rho) * delta rho$ per ogni $delta theta, delta rho$
se poi ho un vincolo che induce il punto a muoversi su di una guida, $rho = rho(theta)$ allora $delta P = (Del P)/(del q)$ con $q$ che può essere o $rho$ o $theta$ in questo caso... per esempio (potrei star dicendo una cagata) se dico che $delta P = cost$ in questo caso sto dicendo che il punto percorrerà una spirale indipendentemente da $delta q$ perchè se scelgo come parametro $theta$ allora $(delta P) = (del P)/(del theta) * delta theta = c$ dico che $(del P)/(del theta) = c$ cioè $rho(theta) = a+ c theta$ analogamente se scelgo $rho$ allora dico che $(del P)/(del rho) = k$ cioè $theta(rho) = h + k*rho$ che sono due spirali.
l'arbitrarietà detta cosi mi sembra un concetto un po vago, nel senso
le coordinate lagrangiane sono arbitrarie, e qui ci siamo, cioè lo spostamento virtuale è chiaramente lo stesso visto da "punti di vista" diversi o meglio percepito tramite parametri differenti in base alla scelta che si fa delle coordinate lagrangiane. quindi la teoria riguarda il sistema e il suo stato in generale prescindendo dalle coordinate scelte. e fin qui ok, quelle relazioni valgono per qi generiche.
nel caso ci sia un vincolo $phi(q_1,q_2,...,q_n)=0$ che crea un legame tra le coordinate allora chiaramente ci sono n-1 parametri indipendenti sufficienti per descrivere lo stato del sistema, e quelle relazione devono valere per tutte le scelte di n-1 parametri tra gli n
ad esempio se ho un punto in un piano posso scegliere di descriverne lo stato usando delle coordinate polari, $(q_1,q_2)=(theta,rho)$ e $delta P = (del P)/(del theta) * delta theta + (del P)/(del rho) * delta rho$ per ogni $delta theta, delta rho$
se poi ho un vincolo che induce il punto a muoversi su di una guida, $rho = rho(theta)$ allora $delta P = (Del P)/(del q)$ con $q$ che può essere o $rho$ o $theta$ in questo caso... per esempio (potrei star dicendo una cagata) se dico che $delta P = cost$ in questo caso sto dicendo che il punto percorrerà una spirale indipendentemente da $delta q$ perchè se scelgo come parametro $theta$ allora $(delta P) = (del P)/(del theta) * delta theta = c$ dico che $(del P)/(del theta) = c$ cioè $rho(theta) = a+ c theta$ analogamente se scelgo $rho$ allora dico che $(del P)/(del rho) = k$ cioè $theta(rho) = h + k*rho$ che sono due spirali.
Il problema è proprio il significato da dare all'aggettivo "arbitrari". Matematicamente i [tex]\delta_{q_h}[/tex] non mi sembrano arbitrari; anzi: ogni loro scelta determina univocamente un vettore tangente alla varietà vincolare. Non so come giustificare il fatto che queste componenti siano arbitrarie e che quindi si possa considerare un qualsiasi vettore tangente...
Forse non riesco a capire fino in fondo i dubbi di Andrea90, però voglio provare a dire la mia.
Se tu sei nel libero spazio dove hai la possibilità di muoverti in ogni direzione e hai le funzioni identità x=x, y=y, z=z, è ovvio che $\deltaP=(\deltax,\deltay,\deltaz)$ e $\deltaq=(\deltax,\deltay,\deltaz)$ coincidono. L'esempio è banale, ma è evidente che i vari delta delle coordinate possono essere indipendenti e coincidono con i delta della posizione nello spazio.
Se però sei sulla superficie di una sfera, ad esempio la superficie terrestre, esiste un'equazione parametrica che associa alle variabili indipendenti longitudine e latitudine un punto preciso sulla superficie della sfera. Il punto nello spazio tridimensionale dunque è vincolato alla superficie sferica dal sistema di equazioni parametriche (nelle quali le variabili indipendenti sono la longitudine e la latitudine) $x=x(\theta,\phi)$, $y=y(\theta,\phi)$, $z=z(\theta,\phi)$, E' evidente che in questo caso $\theta$ e $\phi$ possono essere qualsiasi, ma il punto individuato giacerà sempre sulla superficie della sfera, la quale ha, appunto, due gradi di libertà.
Allora il vettore tangente a un qualsiasi percorso sulla superficie della sfera sarà così fatto: $\deltax=(\partial x)/(\partial \theta)\delta\theta+(\partial x)/(\partial \phi)\delta\phi$ e analogamente per le altre due componenti y e z. Questo vettore deve per forza essere tangente alla sfera, e la sua direzione è determinata dai due incrementi assolutamente arbitrari della longitudine e della latitudine, perché la direzione di questo vettore (di lunghezza arbirtraria) può ruotare in modo arbitrario attorno al punto, restando però sempre giacente sul piano tangente alla sfera.
Non so se mi sono spiegato.
Se tu sei nel libero spazio dove hai la possibilità di muoverti in ogni direzione e hai le funzioni identità x=x, y=y, z=z, è ovvio che $\deltaP=(\deltax,\deltay,\deltaz)$ e $\deltaq=(\deltax,\deltay,\deltaz)$ coincidono. L'esempio è banale, ma è evidente che i vari delta delle coordinate possono essere indipendenti e coincidono con i delta della posizione nello spazio.
Se però sei sulla superficie di una sfera, ad esempio la superficie terrestre, esiste un'equazione parametrica che associa alle variabili indipendenti longitudine e latitudine un punto preciso sulla superficie della sfera. Il punto nello spazio tridimensionale dunque è vincolato alla superficie sferica dal sistema di equazioni parametriche (nelle quali le variabili indipendenti sono la longitudine e la latitudine) $x=x(\theta,\phi)$, $y=y(\theta,\phi)$, $z=z(\theta,\phi)$, E' evidente che in questo caso $\theta$ e $\phi$ possono essere qualsiasi, ma il punto individuato giacerà sempre sulla superficie della sfera, la quale ha, appunto, due gradi di libertà.
Allora il vettore tangente a un qualsiasi percorso sulla superficie della sfera sarà così fatto: $\deltax=(\partial x)/(\partial \theta)\delta\theta+(\partial x)/(\partial \phi)\delta\phi$ e analogamente per le altre due componenti y e z. Questo vettore deve per forza essere tangente alla sfera, e la sua direzione è determinata dai due incrementi assolutamente arbitrari della longitudine e della latitudine, perché la direzione di questo vettore (di lunghezza arbirtraria) può ruotare in modo arbitrario attorno al punto, restando però sempre giacente sul piano tangente alla sfera.
Non so se mi sono spiegato.
aspetta,
se si prende una sottovarietà, la solita $phi(q_1,...,q_n)=0$ allora una base dello spazio tangente è $(del P)/(del q_i) i=1,2,..,n$ quindi non solo una scelta dei parametri determina univocamente un vettore tangente, ma questo vettore tangente è lo stesso per ogni scelta.
prendi per esempio un punto che si muove su una circonferenza in un piano,
si può dire che
$P=x_1 vec(i) + x_2 vec(i)_2$
$P'= rho vec(r)$
tanto scelto $theta$ come parametro lagrangiano $P=(rho cos theta, rho sin theta)$
$P'= rho vec(r)$ con $rho(theta)=cost$
$delta P = (- rho sin theta, rho cos theta) dtheta$
$delta P' = rho d theta vec(h)$ con $vec h = d/(d theta) vec(r)$ ($d/(dt) vec(r) = dot(theta) vec h$)
ma sono lo stesso vettore poichè se per definizione $vec r = (cos theta, sin theta)$ => $vec h = dot(theta) (-sin theta, cos theta)$
P' in cartesiane diventa $P' = rho dot(theta) (- sin theta, cos theta) = P$
quindi la scelta è arbitraria, porta sempre alla stessa cosa. poi in particolare i $delta q_i$ saranno le componenti del vettore $delta P$ rispetto alla base dello spazio tangente. e dire che $delta q_i$ sono arbitrari significa che comunque preso lo spostamento invertibile vale la teoria
se si prende una sottovarietà, la solita $phi(q_1,...,q_n)=0$ allora una base dello spazio tangente è $(del P)/(del q_i) i=1,2,..,n$ quindi non solo una scelta dei parametri determina univocamente un vettore tangente, ma questo vettore tangente è lo stesso per ogni scelta.
prendi per esempio un punto che si muove su una circonferenza in un piano,
si può dire che
$P=x_1 vec(i) + x_2 vec(i)_2$
$P'= rho vec(r)$
tanto scelto $theta$ come parametro lagrangiano $P=(rho cos theta, rho sin theta)$
$P'= rho vec(r)$ con $rho(theta)=cost$
$delta P = (- rho sin theta, rho cos theta) dtheta$
$delta P' = rho d theta vec(h)$ con $vec h = d/(d theta) vec(r)$ ($d/(dt) vec(r) = dot(theta) vec h$)
ma sono lo stesso vettore poichè se per definizione $vec r = (cos theta, sin theta)$ => $vec h = dot(theta) (-sin theta, cos theta)$
P' in cartesiane diventa $P' = rho dot(theta) (- sin theta, cos theta) = P$
quindi la scelta è arbitraria, porta sempre alla stessa cosa. poi in particolare i $delta q_i$ saranno le componenti del vettore $delta P$ rispetto alla base dello spazio tangente. e dire che $delta q_i$ sono arbitrari significa che comunque preso lo spostamento invertibile vale la teoria
Riporto in sintesi quanto scritto nel testo per fissare il punto della situazione:
"La coppia di vettori [tex]\frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2[/tex] è, in ogni punto [tex]P\in \mathcal{Q}[/tex], una base per il piano tangente alla superficie [tex]\mathcal{Q}[/tex] in [tex]P[/tex]. Dunque ogni vettore tangente si può rappresentare come combinazione lineare di tali due vettori. Per i vettori tangenti ci atterremo alla notazione tradizionale [tex]\delta P[/tex], denotando corrispondentemente le componenti con [tex]\delta_{q_h},\; h=1,2[/tex], ovvero scriveremo: [tex]\displaystyle \delta P=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P}{\partial q_h}\delta_{q_h}[/tex] con [tex]n=2[/tex] e i coefficienti [tex]\delta_{q_h}[/tex] arbitrari."
Il problema è giustificare che i [tex]\delta_{q_h}[/tex] sono arbitrari. Questa considerazione viene fatta anche in altri punti del testo...
L'unica spiegazione che mi viene è che si considera un qualsiasi vettore sul piano tangente (ed in generale sulla varietà tangente ad una certa varietà [tex]n-[/tex]dimensionale) e non un vettore fissato. Infatti se tale vettore fosse fissato le componenti rispetto alla base sarebbero esse stesse fissate.
Spero di essere stato più chiaro!
"La coppia di vettori [tex]\frac{\partial P}{\partial q_h},\; h=1,2[/tex] è, in ogni punto [tex]P\in \mathcal{Q}[/tex], una base per il piano tangente alla superficie [tex]\mathcal{Q}[/tex] in [tex]P[/tex]. Dunque ogni vettore tangente si può rappresentare come combinazione lineare di tali due vettori. Per i vettori tangenti ci atterremo alla notazione tradizionale [tex]\delta P[/tex], denotando corrispondentemente le componenti con [tex]\delta_{q_h},\; h=1,2[/tex], ovvero scriveremo: [tex]\displaystyle \delta P=\sum_{h=1}^{n}\frac{\partial P}{\partial q_h}\delta_{q_h}[/tex] con [tex]n=2[/tex] e i coefficienti [tex]\delta_{q_h}[/tex] arbitrari."
Il problema è giustificare che i [tex]\delta_{q_h}[/tex] sono arbitrari. Questa considerazione viene fatta anche in altri punti del testo...
L'unica spiegazione che mi viene è che si considera un qualsiasi vettore sul piano tangente (ed in generale sulla varietà tangente ad una certa varietà [tex]n-[/tex]dimensionale) e non un vettore fissato. Infatti se tale vettore fosse fissato le componenti rispetto alla base sarebbero esse stesse fissate.
Spero di essere stato più chiaro!
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