Spira semicircolare ruotante
Ciao, torno con questo esercizio simpatico:
Un campo magnetico uniforme \(\displaystyle \mathbf{B}=B\mathbf{e}_z \) si trova nel semispazio $x<0$, mentre in $x>0$ il campo è nullo. Una spira semicircolare di raggio $a$ e resistenza $R$ giace sul piano $xy$ con il centro della corrispondente circoferenza vincolato al punto nel quale si trova l'origine. La spira ruota con \(\displaystyle \mathbf{\omega}=\omega\mathbf{e}_z \) e l'autoinduzione è trascurabile. Si determinino:
a) L'espressione del flusso concatenato dalla spira in funzione di $t$ (inizialmente la spira è completamente nel semipiano $x>0$).
Penso si possa fare semplicemente così: \[\displaystyle \phi(\mathbf{B})=\int_0^a\int_0^{\theta(t)}B r dr d\phi=\frac{Ba^2}{2}\theta(t).\] b) La fem indotta la corrente che circola nella spira in funzione di $t$.
Dalla legge di Ohm, \(\displaystyle |i|=|V/R|=|-\dot\phi(t)/R|=Ba^2\omega/2R \); per il verso però devo distinguere due casi, quello in cui la spira si trova nella regione senza campo, e quello in cui si trova nella regione con il campo acceso. Quindi: \[i=\begin{cases}+ Ba^2\omega/2R & \theta\in[0,\pi/2]\cup[3\pi/2,2\pi], \\ -Ba^2\omega/2R & \theta\in[\pi/2,3\pi/2],\end{cases}\] dove il verso positivo è quello antiorario.
c) La potenza dissipata per effetto Joule, discutendo la conservazione di energia del sistema.
Si ha $P=Ri^2$, però non sono sicuro di come gestire il fatto che i sia definita a tratti... in realtà essendo uguali a meno del segno che comunque se ne va con il quadrato dovrebbe venire semplicemente \(\displaystyle B^2a^4ω^2R/4 \), o sbaglio?
d) Il momento della forza esercitato dal campo sulla spira e la potenza meccanica necessaria a mantenere la spira in rotazione.
La prima domanda mi sembra strana: il momento del campo dovrebbe essere nullo, \(\displaystyle \mathbf{\mu}\times{\mathbf{B}}=0 \); quindi il momento totale viene dalla forza esterna che mantiene la rotazione \(\displaystyle P=Ri^2=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{M}\cdot\mathbf{\omega} \) da cui ottengo \(\displaystyle M=Ri^2/\omega \). Non saprei se è giusto, cosa ne dite?
Un campo magnetico uniforme \(\displaystyle \mathbf{B}=B\mathbf{e}_z \) si trova nel semispazio $x<0$, mentre in $x>0$ il campo è nullo. Una spira semicircolare di raggio $a$ e resistenza $R$ giace sul piano $xy$ con il centro della corrispondente circoferenza vincolato al punto nel quale si trova l'origine. La spira ruota con \(\displaystyle \mathbf{\omega}=\omega\mathbf{e}_z \) e l'autoinduzione è trascurabile. Si determinino:
a) L'espressione del flusso concatenato dalla spira in funzione di $t$ (inizialmente la spira è completamente nel semipiano $x>0$).
Penso si possa fare semplicemente così: \[\displaystyle \phi(\mathbf{B})=\int_0^a\int_0^{\theta(t)}B r dr d\phi=\frac{Ba^2}{2}\theta(t).\] b) La fem indotta la corrente che circola nella spira in funzione di $t$.
Dalla legge di Ohm, \(\displaystyle |i|=|V/R|=|-\dot\phi(t)/R|=Ba^2\omega/2R \); per il verso però devo distinguere due casi, quello in cui la spira si trova nella regione senza campo, e quello in cui si trova nella regione con il campo acceso. Quindi: \[i=\begin{cases}+ Ba^2\omega/2R & \theta\in[0,\pi/2]\cup[3\pi/2,2\pi], \\ -Ba^2\omega/2R & \theta\in[\pi/2,3\pi/2],\end{cases}\] dove il verso positivo è quello antiorario.
c) La potenza dissipata per effetto Joule, discutendo la conservazione di energia del sistema.
Si ha $P=Ri^2$, però non sono sicuro di come gestire il fatto che i sia definita a tratti... in realtà essendo uguali a meno del segno che comunque se ne va con il quadrato dovrebbe venire semplicemente \(\displaystyle B^2a^4ω^2R/4 \), o sbaglio?
d) Il momento della forza esercitato dal campo sulla spira e la potenza meccanica necessaria a mantenere la spira in rotazione.
La prima domanda mi sembra strana: il momento del campo dovrebbe essere nullo, \(\displaystyle \mathbf{\mu}\times{\mathbf{B}}=0 \); quindi il momento totale viene dalla forza esterna che mantiene la rotazione \(\displaystyle P=Ri^2=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{M}\cdot\mathbf{\omega} \) da cui ottengo \(\displaystyle M=Ri^2/\omega \). Non saprei se è giusto, cosa ne dite?
Risposte
Se ho capito bene la situazione è questa
per cui il flusso descresce linearmente da $Phi = Bpia^2/2$ a $0$ con $theta$ che varia da $0$ a $pi$, per poi crescere di nuovo linearmente.
La f.e.m. quindi forma un'onda quadra e idem la corrente, come hai scritto.
Invece non sono d'accordo sul fatto che il campo non eserciti un momento sulla spira: sul raggio della spira immerso nel campo magnetico il campo stesso esercita una forza frenante, quindi un momento c'è. Il suo valore dovrebbe essere quello che hai scritto.
per cui il flusso descresce linearmente da $Phi = Bpia^2/2$ a $0$ con $theta$ che varia da $0$ a $pi$, per poi crescere di nuovo linearmente.
La f.e.m. quindi forma un'onda quadra e idem la corrente, come hai scritto.
Invece non sono d'accordo sul fatto che il campo non eserciti un momento sulla spira: sul raggio della spira immerso nel campo magnetico il campo stesso esercita una forza frenante, quindi un momento c'è. Il suo valore dovrebbe essere quello che hai scritto.
Però quel momento è positivo... 
In che senso, è positivo? Il momento sarà di sicuro frenante, ossia opposto al verso della rotazione; poi, che sia positivo o negativo...
Sì hai ragione sto dicendo una stupidaggine... 
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