Spira qudrata che si muove in un campo magentico
Salve,
mi trovo in difficoltà con il seguente problemino.
Una spira quadrata di lato a, con massa m e resistenza R si muove lungo l'asse x con velocità costante $v_0$. Nel semipiano x >0 è presente un campo magnatico $B$ verticale uscente dal foglio. Si calcoli il modulo della velocità della spira quando è totalmente immersa nel campo magnetico.
Una volta che la spira è totalmente immersa nel campo magnetico essa è attraverssata da un flusso $Ba^2$, per cui la fem indotta dalla variazione del flusso sarà nulla (derivata di una costante).
Daltronde sappiamo che che una sbarra percorsa da corrente I e lunga a immersa in un campo magnetico B è soggetta ad una forza
$F = aIB$
ma essendo I nulla anche la forza sara nulla.
E quindi sembrerebbe che la velocità rimanga $v_0$..ma così non è!
mi trovo in difficoltà con il seguente problemino.
Una spira quadrata di lato a, con massa m e resistenza R si muove lungo l'asse x con velocità costante $v_0$. Nel semipiano x >0 è presente un campo magnatico $B$ verticale uscente dal foglio. Si calcoli il modulo della velocità della spira quando è totalmente immersa nel campo magnetico.
Una volta che la spira è totalmente immersa nel campo magnetico essa è attraverssata da un flusso $Ba^2$, per cui la fem indotta dalla variazione del flusso sarà nulla (derivata di una costante).
Daltronde sappiamo che che una sbarra percorsa da corrente I e lunga a immersa in un campo magnetico B è soggetta ad una forza
$F = aIB$
ma essendo I nulla anche la forza sara nulla.
E quindi sembrerebbe che la velocità rimanga $v_0$..ma così non è!
Risposte
Dovresti risolvere la seguente equazione differenziale:
$[(dv)/(dt)=-(a^2B^2)/(mR)v] ^^ [v(0)=v_0]$
e calcolare $[v]$ nell'istante in cui la spira ha percorso un tratto di lunghezza $[a]$.
$[(dv)/(dt)=-(a^2B^2)/(mR)v] ^^ [v(0)=v_0]$
e calcolare $[v]$ nell'istante in cui la spira ha percorso un tratto di lunghezza $[a]$.
innanzitutto grazie per l'interessamento
domanda: da dove viene fuori siffatta equazione?
domanda: da dove viene fuori siffatta equazione?
Si tratta del secondo principio della dinamica, il modulo della forza frenante vale $[F=aBi] ^^ [i=(aBv)/R]$.
bene..l'eq. è allora
$dv=-((B^2a^2)/(mR))v dt$
ma $vdt = dx$ allora
$dv=-((B^2a^2)/(mR)) dx$
integrando fra $v_0$ e $v$ e fra $0$ e $a$ ottengo
$v=v_0-((B^2a^3)/(mR))$
deduco che il testo sbaglia proponendo invece
$v=(v_0^2-((2B^2a^3)/(mR)))^(1/2)$
$dv=-((B^2a^2)/(mR))v dt$
ma $vdt = dx$ allora
$dv=-((B^2a^2)/(mR)) dx$
integrando fra $v_0$ e $v$ e fra $0$ e $a$ ottengo
$v=v_0-((B^2a^3)/(mR))$
deduco che il testo sbaglia proponendo invece
$v=(v_0^2-((2B^2a^3)/(mR)))^(1/2)$
$[v=v_0-(a^3B^2)/(mR)]$ a patto che $[v_0-(a^3B^2)/(mR)>=0] rarr [v_0>=(a^3B^2)/(mR)]$, altrimenti, la spira si fermerebbe prima di essere totalmente immersa. Per quanto riguarda la soluzione proposta dal testo:
$[v=sqrt(v_0^2-(2a^3B^2)/(mR))] rarr [1/2mv^2-1/2mv_0^2=-(a^3B^2)/R]$
sembra ottenuta imponendo, giustamente, che la variazione negativa di energia cinetica sia uguale all'energia termica prodotta cambiata di segno. Il motivo per il quale il testo sostenga che quest'ultima valga $[-(a^3B^2)/R]$ non è dato sapere, visto che non torna nemmeno dimensionalmente.
$[v=sqrt(v_0^2-(2a^3B^2)/(mR))] rarr [1/2mv^2-1/2mv_0^2=-(a^3B^2)/R]$
sembra ottenuta imponendo, giustamente, che la variazione negativa di energia cinetica sia uguale all'energia termica prodotta cambiata di segno. Il motivo per il quale il testo sostenga che quest'ultima valga $[-(a^3B^2)/R]$ non è dato sapere, visto che non torna nemmeno dimensionalmente.
penso proprio, a questo punto, che sia un refuso del testo..
grazie tanto
grazie tanto
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