Spira deformata
Una spira circolare di raggio 20cm viene immersa in un campo magnetico uniforme di 0.1T, perpendicolarmente ad esso.
La spira viene schiacciata, aumentandone la larghezza del 20% ogni 0.2s, sino ad annullarne la superficie racchiusa.
Calcolare il valore massimo che la forza elettromotrice indotta assume.
Ciò che si mantiene costante è la lunghezza C della spira.
$ C=2pi R=sqrt(2) pi sqrt(a^2+b^2)rarr b= sqrt(2R^2-a^2) $
L'area è $ S=abpi = pi asqrt(2R^2-a^2) $ .
a varia secondo la legge $ a=1.2^(t/(0.2s))*R $ .
il valore massimo di a è $sqrt(2)*R$.
Impongo $ sqrt(2)*R=1.2^(t/(0.2s))*R $ da cui $ sqrt(2)=1.2^(t/(0.2s)) $ quindi $ t/(0.2s)=2rArr t=0.4s $ .
Quindi dopo 0.4s la spira avrà area nulla.
L'area varia secondo la legge
$ S= pi asqrt(2R^2-a^2) =pi*1.2^(t/(0.2s))*R *sqrt(2R^2-1.2^(t/(0.1s))R^2 $
cioè $ S=pi*1.2^(t/(0.2s))*R^2 *sqrt(2-1.2^(t/(0.1s)))=pi*R^2 *sqrt(2*1.2^(t/(0.1s))-1.2^((2t)/(0.1s))) $ .
Il flusso magnetico attraverso la superficie della spira varia pertanto secondo la legge
$ phi =B*pi*R^2 *sqrt(2*1.2^(t/(0.1s))-1.2^((2t)/(0.1s))) $.
Derivando tale flusso rispetto al tempo si ottiene -fem, secondo la legge di faraday-neumann-lens.
Per trovare la fem massima, bisogna derivare la fem rispetto al tempo, trovare per quale t la derivata si annulla e sostituire quella t nella formula della fem.
La spira viene schiacciata, aumentandone la larghezza del 20% ogni 0.2s, sino ad annullarne la superficie racchiusa.
Calcolare il valore massimo che la forza elettromotrice indotta assume.
Ciò che si mantiene costante è la lunghezza C della spira.
$ C=2pi R=sqrt(2) pi sqrt(a^2+b^2)rarr b= sqrt(2R^2-a^2) $
L'area è $ S=abpi = pi asqrt(2R^2-a^2) $ .
a varia secondo la legge $ a=1.2^(t/(0.2s))*R $ .
il valore massimo di a è $sqrt(2)*R$.
Impongo $ sqrt(2)*R=1.2^(t/(0.2s))*R $ da cui $ sqrt(2)=1.2^(t/(0.2s)) $ quindi $ t/(0.2s)=2rArr t=0.4s $ .
Quindi dopo 0.4s la spira avrà area nulla.
L'area varia secondo la legge
$ S= pi asqrt(2R^2-a^2) =pi*1.2^(t/(0.2s))*R *sqrt(2R^2-1.2^(t/(0.1s))R^2 $
cioè $ S=pi*1.2^(t/(0.2s))*R^2 *sqrt(2-1.2^(t/(0.1s)))=pi*R^2 *sqrt(2*1.2^(t/(0.1s))-1.2^((2t)/(0.1s))) $ .
Il flusso magnetico attraverso la superficie della spira varia pertanto secondo la legge
$ phi =B*pi*R^2 *sqrt(2*1.2^(t/(0.1s))-1.2^((2t)/(0.1s))) $.
Derivando tale flusso rispetto al tempo si ottiene -fem, secondo la legge di faraday-neumann-lens.
Per trovare la fem massima, bisogna derivare la fem rispetto al tempo, trovare per quale t la derivata si annulla e sostituire quella t nella formula della fem.
Risposte
... ci ho messo un po' ma ora ho capito 
... però stai usando una approssimazione
... e vedo un 4 che dovrebbe essere un 2.
Possiamo vedere una immagine del testo originale?
... però stai usando una approssimazione... e vedo un 4 che dovrebbe essere un 2.
Possiamo vedere una immagine del testo originale?
"SalvatCpo":
Una spira circolare di raggio 20cm ....
La spira viene schiacciata, aumentandone la larghezza del 20% ogni 0.2s, sino ad annullarne la superficie racchiusa.
Vuoi dire : "diminuendone"? E "larghezza" sarebbe il diametro? Quindi è una diminuzione esponenziale, se capisco bene? Nel qual caso: 1) non si annulla mai, e 2) la massima rapidità di decrescita è all'inizio. IMHO... Oppure ho capito male?
"SalvatCpo":
Ciò che si mantiene costante è la lunghezza C della spira.
Che vuol dire?
Per RenzoDF: ora ho corretto gli errori di calcolo. Ho omesso i calcoli finali perchè sono più difficli rispetto a prima, con le correzioni. Non ho l'immagine originale del testo.
Per mgrau: la spira ha lunghezza costante, pari ovviamente alla circonferenza iniziale, e cambia soltanto la sua forma.
La crescita è esponenziale ma ad un certo punto la larghezza raggiunge il valore pi*R e l'area ora sarà nulla.
Per mgrau: la spira ha lunghezza costante, pari ovviamente alla circonferenza iniziale, e cambia soltanto la sua forma.
La crescita è esponenziale ma ad un certo punto la larghezza raggiunge il valore pi*R e l'area ora sarà nulla.
"SalvatCpo":
Per mgrau: la spira ha lunghezza costante, pari ovviamente alla circonferenza iniziale, e cambia soltanto la sua forma.
La crescita è esponenziale ma ad un certo punto la larghezza raggiunge il valore pi*R e l'area ora sarà nulla.
Mah... continuo a non capire: cos'è che cresce? cos'è la larghezza?
Se schiacci un cerchio, crescerà l'asse orizzontale e diminuirà quello verticale, se lo pensi ora come un ellisse
"SalvatCpo":
Se schiacci un cerchio, crescerà l'asse orizzontale e diminuirà quello verticale, se lo pensi ora come un ellisse
Ah, ecco! Però adesso non mi convince questo:
"SalvatCpo":
$ C=2pi R=sqrt(2) pi sqrt(a^2+b^2)rarr b= sqrt(2R^2-a^2) $
Ne seguirebbe che, quando la spira è completamente schiacciata, $a = 0$ e $b = sqrt(2)R$, quando invece dovrebbe essere $b = piR = C/2$
Io ho uguagliato la circonferenza con l'ellisse e così ho ottenuto quella relazione.
Alla fine a (oppure b) vale $sqrt(2)*R$ e tale valore è ancora il semiasse maggiore.
Ora l'ellisse è degenere perchè è fatto di due segmenti sovrapposti, entrambi pari all'asse maggiore.
O almeno, è così che immagino io.
Quindi moltiplicherei $sqrt(2)*R*4=4sqrt(2)R$ che è poco inferiore a $2*pi*R$.
Purtroppo la formula per il perimetro dell'ellisse è approssimata.
Alla fine a (oppure b) vale $sqrt(2)*R$ e tale valore è ancora il semiasse maggiore.
Ora l'ellisse è degenere perchè è fatto di due segmenti sovrapposti, entrambi pari all'asse maggiore.
O almeno, è così che immagino io.
Quindi moltiplicherei $sqrt(2)*R*4=4sqrt(2)R$ che è poco inferiore a $2*pi*R$.
Purtroppo la formula per il perimetro dell'ellisse è approssimata.
"SalvatCpo":
... Non ho l'immagine originale del testo.
Possiamo almeno sapere da dove arriva? ... Ferrara?
Non so, è una dispensa di un ex-docente dell'università, penso sia una sua creazione. Non ho la soluzione. Il testo è quello che ho scritto, ma non so quale sia la provenienza.
"SalvatCpo":
... è una dispensa di un ex-docente dell'università ...
E sono tutti di una chiarezza così "esemplare", gli altri problemi di questa dispensa?
Più che altro c'è un po' di teoria. Biot Savart, Ampere, equazioni di Maxwell... le solite cose
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