Spaziotempo di Rindler
Buongiorno ragazzi e buone feste a tutti 
Volevo sottoporvi un problema di relatività generale in cui mi sono imbattuto e di cui non sono molto sicuro.
Consideriamo lo spaziotempo di rindler descritto dalle coordinate $(t,x)$ e dalla metrica
$ds^2=-x^2dt^2+dx^2$
Voglio studiare la dinamica di una particella libera. I simboli di christoffel non sono nulli ma con il cambio di coordinate $(T,X)=(xsinht, xcosht)$ si ottiene banalmente $ds^2=-dT^2+dX^2$ che altro non è una parte dello spaziotempo di Minkowski piatto. In questo riferimento le equazioni delle geodetiche sono:
$\ddot T=0$
$\ddot X=0$
(i punto è la derivata rispetto al tempo proprio, cioè quello nel riferimento inerziale $(T,X)$)
con soluzioni banali
$T(\tau)=a\tau+b$
$X(\tau)=c\tau+d$
$a,b,c,d \in \RR$
con la condizione sulla quadrivelocità $-a^2+c^2=-1$
pertanto otteniamo
$X(T) = \frac{c}{a}(T-b)+d \Rightarrow x(t)=\frac{ad-bc}{acosht-csinht}$
L'ultima equazione descrive la traiettoria del punto nello spaziotempo di Rindler $(t,x)$. Il professore in classe dice che (o comunque come chi ha studiato un pò sa) un osservatore di Rindler è definito come un punto che si muove sulle curve a $x=x_{0}=costante$. Ora vogliamo vedere come appaiono le world lines di questo punto nel riferimento di Minkowski, quale è la sua accelerazione e se compare un orizzonte. Si ha subito $X^2-T^2=x_{0}^2$ pertanto le curve percorse dal punto sono iperboli.
****qui inzia la soluzione del professore**** (i commenti in parentesi sono miei)
Ora la quadrivelocità è $u^{\mu}= (u^{T}, u^{X})$. Ora siccome $(T,X)$ è Minkowski
$u_{\mu}u^{\mu}=-1=-(u^{T})^2+(u^{X})^2$ e una soluzione è $u^{X}=sinht$ $u^{T}=cosht$ (ma gli argomenti di queste funzioni potrebbero essere di qualunque tipo a priori e questo fatto già non mi convince; ma in coordinate $(T,X)$ non devo avere le soluzioni in funzione del tempo proprio $\tau$, che tra l'altro ho già trovato risolvendo l'equazione delle geodetiche?). Ora dalla metrica, poichè $dx=0$ $-x_{0}^2dt^2=dX^2-dT^2=ds^2=-d\tau^2 \Rightarrow \frac{d}{d\tau}=\frac{1}{x_{0}}\frac{d}{dt}$ e quindi la quadriaccelerazione risulta $a^{\mu}=\frac{1}{x_0}(sinht, cosht)$ e il suo modulo è costante $a_{\mu}a^{\mu}=\frac{1}{x_{0}^2}$ (questo risultato è comunque indipendente dalla forma degli argomenti delle funzioni iperboliche). L'accelerazione è singolare in $x_{0}=0$ ed è un orizzonte di accelerazione perchè lì è divergente cioè non può essere oltrepassato.
******fine soluzione professore****
C'è qualcuno che può far luce su questo problema?
Che senso ha scrivere le soluzioni nello spaziotempo $(T,X)$ in funzione del tempo $t$ diciamo di Rindler?
O ho preso un abbaglio e ho scritto male l'equazione delle geodtiche? Perchè da quelle sembra che la quadriaccelerazione sia nulla.
Volevo sottoporvi un problema di relatività generale in cui mi sono imbattuto e di cui non sono molto sicuro.
Consideriamo lo spaziotempo di rindler descritto dalle coordinate $(t,x)$ e dalla metrica
$ds^2=-x^2dt^2+dx^2$
Voglio studiare la dinamica di una particella libera. I simboli di christoffel non sono nulli ma con il cambio di coordinate $(T,X)=(xsinht, xcosht)$ si ottiene banalmente $ds^2=-dT^2+dX^2$ che altro non è una parte dello spaziotempo di Minkowski piatto. In questo riferimento le equazioni delle geodetiche sono:
$\ddot T=0$
$\ddot X=0$
(i punto è la derivata rispetto al tempo proprio, cioè quello nel riferimento inerziale $(T,X)$)
con soluzioni banali
$T(\tau)=a\tau+b$
$X(\tau)=c\tau+d$
$a,b,c,d \in \RR$
con la condizione sulla quadrivelocità $-a^2+c^2=-1$
pertanto otteniamo
$X(T) = \frac{c}{a}(T-b)+d \Rightarrow x(t)=\frac{ad-bc}{acosht-csinht}$
L'ultima equazione descrive la traiettoria del punto nello spaziotempo di Rindler $(t,x)$. Il professore in classe dice che (o comunque come chi ha studiato un pò sa) un osservatore di Rindler è definito come un punto che si muove sulle curve a $x=x_{0}=costante$. Ora vogliamo vedere come appaiono le world lines di questo punto nel riferimento di Minkowski, quale è la sua accelerazione e se compare un orizzonte. Si ha subito $X^2-T^2=x_{0}^2$ pertanto le curve percorse dal punto sono iperboli.
****qui inzia la soluzione del professore**** (i commenti in parentesi sono miei)
Ora la quadrivelocità è $u^{\mu}= (u^{T}, u^{X})$. Ora siccome $(T,X)$ è Minkowski
$u_{\mu}u^{\mu}=-1=-(u^{T})^2+(u^{X})^2$ e una soluzione è $u^{X}=sinht$ $u^{T}=cosht$ (ma gli argomenti di queste funzioni potrebbero essere di qualunque tipo a priori e questo fatto già non mi convince; ma in coordinate $(T,X)$ non devo avere le soluzioni in funzione del tempo proprio $\tau$, che tra l'altro ho già trovato risolvendo l'equazione delle geodetiche?). Ora dalla metrica, poichè $dx=0$ $-x_{0}^2dt^2=dX^2-dT^2=ds^2=-d\tau^2 \Rightarrow \frac{d}{d\tau}=\frac{1}{x_{0}}\frac{d}{dt}$ e quindi la quadriaccelerazione risulta $a^{\mu}=\frac{1}{x_0}(sinht, cosht)$ e il suo modulo è costante $a_{\mu}a^{\mu}=\frac{1}{x_{0}^2}$ (questo risultato è comunque indipendente dalla forma degli argomenti delle funzioni iperboliche). L'accelerazione è singolare in $x_{0}=0$ ed è un orizzonte di accelerazione perchè lì è divergente cioè non può essere oltrepassato.
******fine soluzione professore****
C'è qualcuno che può far luce su questo problema?
Che senso ha scrivere le soluzioni nello spaziotempo $(T,X)$ in funzione del tempo $t$ diciamo di Rindler?
O ho preso un abbaglio e ho scritto male l'equazione delle geodtiche? Perchè da quelle sembra che la quadriaccelerazione sia nulla.
Risposte
Ciao. Ti confesso che in questo esercizio non mi è ancora del tutto chiaro il tuo svolgimento.
Penso sia opportuno fare prima qualche precisazione.
Prima di tutto, non siamo in relatività generale. Non ci sono masse che creano curvatura, lo spaziotempo è sempre piatto. Siamo in RR , anche in RR si possono trattare moti accelerati. Comunque, si potrebbe supporre di essere in RG, ammettendo che la particella materiale sia in caduta libera in un campo gravitazionale rigorosamente uniforme.
Questo esercizio, trattato in RR, è il tipico caso di una particella che, in un riferimento inerziale dato, rappresentabile sul piano di Minkowski con una coppia di assi ortogonali (supponiamo una sola direzione spaziale e una direzione temporale ; "ortogonali" è nel senso della RR , non sul disegno), si muove con accelerazione propria costante (certamente sai che cosa è l'accelerazione propria, non te lo ripeto) . La linea di universo, sul piano di M. detto, risulta essere un ramo di iperbole, avente per asintoti le due bisettrici dei 4 quadranti, e tale ramo si trova nel cosiddetto "Rindler wedge" (spazio o cuneo di Rindler) , cioè nella zona esterna al cono di luce dell'origine, di solito dalla parte positiva dell'asse spaziale. Cioè , siamo nella condizione di questa figura :
presa da questo libro sulla RR di Gasperini, al paragrafo 4.6.1 , che ti consiglio di leggere. Nella figura, le coordinate di Rindler di un punto esterno al cono sono date dalla intersezione della retta, passante per il punto e per l'origine : $\eta= "cost"$ , con l' iperbole $ \xi = "cost"$, il cui parametro è inversamente prop. all'accelerazione propria assegnata .Infatti ciascuna iperbole interseca l'asse spaziale di Mink. nel punto di ascissa $c^2/\alpha$ , che ha le dimensioni di una lunghezza , essendo $\alpha$ l'accelerazione propria costante per una data iperbole, ma diversa da iperbole a iperbole . Qualunque sia il punto di intersezione, in esso le due curve sono sempre ortogonali , nel senso della RR .
[Preferisco evidenziare $c$ anzichè porla uguale a $1$ , penso che si capisca meglio].
Un punto in questa zona del piano di M. è confinato a rimanere dentro lo spazio di Rindler , non può superare il confine rappresentato dalle bisettrici, poichè la sua velocità ( il punto si muove solo nella direzione spaziale $x$ ) non può superare $c$ , quindi le due bisettrici, asintotiche alle iperboli, rappresentano due orizzonti, in quanto deve essere, per le coordinate del punto :
$0
ho usato lettere minuscole per le coordinate di Minkowski.
Detto questo, cerco di capire che cosa hai scritto.
La metrica , nelle coordinate di M. che tu hai indicato con le maiuscole $cT,X$ (ripeto che preferisco evidenziare $c$) , è: $ds^2 = -(cdT)^2 + dX^2$ , e va bene . Poi scrivi una trasformazione di coordinate che non mi quadra :
chi sono per te $x,t$ ? Le coordinate di Rindler ? L'argomento delle funzioni iperboliche non può essere un tempo, deve essere un angolo iperbolico, adimensionale , quindi deve essere $(\alphat)/c $ , e la variabile $t$ dovrebbe essere il "tempo proprio", quello che dopo tu hai chiamato $\tau$ . Non capisco, ci sono troppi tempi di mezzo in ciò che hai scritto.
D'altronde, qui io sto supponendo $\alpha$ dato , cioè sto risolvendo il problema inverso del tuo : data una accelerazione propria costante , trovare la linea di universo nel piano di Mink. E allora, ecco che cosa penso.
Accelerazione propria costante significa che la forza newtoniana $F_N= m\alpha$ applicata alla particella , in direzione della velocità $vecv$ , è costante. Quindi anche l'accelerazione propria è diretta, come vettore , nella stessa direzione (non sempre succede in RR, come sai) . Allora la 4-forza di Minkowski, che in genere è data da :
$\barf = (\gamma/c vecF*vecv, \gamma\vecF)$ ( la prima componente è quella temporale, la seconda è quella spaziale)
si può scrivere semplicemente : $ f^\mu = (\gamma/cm\alphav , \gammam\alpha ) = m\alpha (\gamma/cv,\gamma)=m\alpha (u^1,u^0)$
(nota esplicitamente che in quest'ultimo passaggio $u^1$ ed $u^0$ sono adimensionali)
Ma d'altro canto deve essere , per definizione : $ 1/mf^\mu = ((du^0)/(d\tau) , (du^1)/(d\tau)) $ , cioè le componenti temporale(indice $0$) e spaziale (indice $1$ ) della 4-accelerazione sono le derivate, rispetto al tempo proprio, delle rispettive componenti della 4-velocità. (Come sai, la 4-accelerazione è ortogonale alla 4-velocità: $A^0U^0 - A^1U^1 =0$ ) . Quindi, confrontando le componenti ora scritte con quelle ricavate dalla 4-forza:
$ (du^0)/(d\tau) =u^1 $
$ (du^1)/(d\tau) =u^0 $
ho tolto di mezzo le quantità costanti , per evidenziare che , per integrare queste equazioni , occorre tener presente che solo per le funzioni iperboliche la derivata di $senh$ è uguale a $cosh$ , e viceversa la derivata di $cosh$ è uguale a $senh$. Questo non è vero per le normali funzioni trigonometriche.
Perciò , con i dati iniziali , integrando e rimettendo a posto le quantita costanti , si deve avere :
$u^0 =c cosh((\alpha\tau)/c)$ ( questa è la componente che hai indicato con $u^T$ )
$u^1 =c senh((\alpha\tau)/c)$ ( questa è la componente che hai indicato con $u^X$ )
e quindi si ricavano le coordinate, con una ulteriore integrazione. Nel paragrafo del libro di Gasperini trovi la soluzione che credo sia simile a quella del tuo professore, a partire dalla condizione di normalizzazione della velocità.
La 4-accelerazione non è nulla, basta derivare le componenti della 4-velocità, come ho già detto. Scrivere le equazioni nelle coordinate di Minkowski in funzione del tempo proprio di Rindler ha senso, come tutte le volte che passiamo da coordinate in moto coordinate "in quiete" . Per esempio, si possono ricavare le espressioni dell'accelerazione coordinata , della velocità e dello spazio nelle coordinate di Mink. , e applicarle al caso di un razzo che viaggi con accelerazione propria costante.
Dai un'occhiata anche a questo articolo di Wikipedia in inglese.
https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates
Spero di esserti stato utile.
Penso sia opportuno fare prima qualche precisazione.
Prima di tutto, non siamo in relatività generale. Non ci sono masse che creano curvatura, lo spaziotempo è sempre piatto. Siamo in RR , anche in RR si possono trattare moti accelerati. Comunque, si potrebbe supporre di essere in RG, ammettendo che la particella materiale sia in caduta libera in un campo gravitazionale rigorosamente uniforme.
Questo esercizio, trattato in RR, è il tipico caso di una particella che, in un riferimento inerziale dato, rappresentabile sul piano di Minkowski con una coppia di assi ortogonali (supponiamo una sola direzione spaziale e una direzione temporale ; "ortogonali" è nel senso della RR , non sul disegno), si muove con accelerazione propria costante (certamente sai che cosa è l'accelerazione propria, non te lo ripeto) . La linea di universo, sul piano di M. detto, risulta essere un ramo di iperbole, avente per asintoti le due bisettrici dei 4 quadranti, e tale ramo si trova nel cosiddetto "Rindler wedge" (spazio o cuneo di Rindler) , cioè nella zona esterna al cono di luce dell'origine, di solito dalla parte positiva dell'asse spaziale. Cioè , siamo nella condizione di questa figura :
presa da questo libro sulla RR di Gasperini, al paragrafo 4.6.1 , che ti consiglio di leggere. Nella figura, le coordinate di Rindler di un punto esterno al cono sono date dalla intersezione della retta, passante per il punto e per l'origine : $\eta= "cost"$ , con l' iperbole $ \xi = "cost"$, il cui parametro è inversamente prop. all'accelerazione propria assegnata .Infatti ciascuna iperbole interseca l'asse spaziale di Mink. nel punto di ascissa $c^2/\alpha$ , che ha le dimensioni di una lunghezza , essendo $\alpha$ l'accelerazione propria costante per una data iperbole, ma diversa da iperbole a iperbole . Qualunque sia il punto di intersezione, in esso le due curve sono sempre ortogonali , nel senso della RR .
[Preferisco evidenziare $c$ anzichè porla uguale a $1$ , penso che si capisca meglio].
Un punto in questa zona del piano di M. è confinato a rimanere dentro lo spazio di Rindler , non può superare il confine rappresentato dalle bisettrici, poichè la sua velocità ( il punto si muove solo nella direzione spaziale $x$ ) non può superare $c$ , quindi le due bisettrici, asintotiche alle iperboli, rappresentano due orizzonti, in quanto deve essere, per le coordinate del punto :
$0
ho usato lettere minuscole per le coordinate di Minkowski.
Detto questo, cerco di capire che cosa hai scritto.
La metrica , nelle coordinate di M. che tu hai indicato con le maiuscole $cT,X$ (ripeto che preferisco evidenziare $c$) , è: $ds^2 = -(cdT)^2 + dX^2$ , e va bene . Poi scrivi una trasformazione di coordinate che non mi quadra :
$ (T,X)=(xsinht, xcosht) $
chi sono per te $x,t$ ? Le coordinate di Rindler ? L'argomento delle funzioni iperboliche non può essere un tempo, deve essere un angolo iperbolico, adimensionale , quindi deve essere $(\alphat)/c $ , e la variabile $t$ dovrebbe essere il "tempo proprio", quello che dopo tu hai chiamato $\tau$ . Non capisco, ci sono troppi tempi di mezzo in ciò che hai scritto.
D'altronde, qui io sto supponendo $\alpha$ dato , cioè sto risolvendo il problema inverso del tuo : data una accelerazione propria costante , trovare la linea di universo nel piano di Mink. E allora, ecco che cosa penso.
Accelerazione propria costante significa che la forza newtoniana $F_N= m\alpha$ applicata alla particella , in direzione della velocità $vecv$ , è costante. Quindi anche l'accelerazione propria è diretta, come vettore , nella stessa direzione (non sempre succede in RR, come sai) . Allora la 4-forza di Minkowski, che in genere è data da :
$\barf = (\gamma/c vecF*vecv, \gamma\vecF)$ ( la prima componente è quella temporale, la seconda è quella spaziale)
si può scrivere semplicemente : $ f^\mu = (\gamma/cm\alphav , \gammam\alpha ) = m\alpha (\gamma/cv,\gamma)=m\alpha (u^1,u^0)$
(nota esplicitamente che in quest'ultimo passaggio $u^1$ ed $u^0$ sono adimensionali)
Ma d'altro canto deve essere , per definizione : $ 1/mf^\mu = ((du^0)/(d\tau) , (du^1)/(d\tau)) $ , cioè le componenti temporale(indice $0$) e spaziale (indice $1$ ) della 4-accelerazione sono le derivate, rispetto al tempo proprio, delle rispettive componenti della 4-velocità. (Come sai, la 4-accelerazione è ortogonale alla 4-velocità: $A^0U^0 - A^1U^1 =0$ ) . Quindi, confrontando le componenti ora scritte con quelle ricavate dalla 4-forza:
$ (du^0)/(d\tau) =u^1 $
$ (du^1)/(d\tau) =u^0 $
ho tolto di mezzo le quantità costanti , per evidenziare che , per integrare queste equazioni , occorre tener presente che solo per le funzioni iperboliche la derivata di $senh$ è uguale a $cosh$ , e viceversa la derivata di $cosh$ è uguale a $senh$. Questo non è vero per le normali funzioni trigonometriche.
Perciò , con i dati iniziali , integrando e rimettendo a posto le quantita costanti , si deve avere :
$u^0 =c cosh((\alpha\tau)/c)$ ( questa è la componente che hai indicato con $u^T$ )
$u^1 =c senh((\alpha\tau)/c)$ ( questa è la componente che hai indicato con $u^X$ )
e quindi si ricavano le coordinate, con una ulteriore integrazione. Nel paragrafo del libro di Gasperini trovi la soluzione che credo sia simile a quella del tuo professore, a partire dalla condizione di normalizzazione della velocità.
La 4-accelerazione non è nulla, basta derivare le componenti della 4-velocità, come ho già detto. Scrivere le equazioni nelle coordinate di Minkowski in funzione del tempo proprio di Rindler ha senso, come tutte le volte che passiamo da coordinate in moto coordinate "in quiete" . Per esempio, si possono ricavare le espressioni dell'accelerazione coordinata , della velocità e dello spazio nelle coordinate di Mink. , e applicarle al caso di un razzo che viaggi con accelerazione propria costante.
Dai un'occhiata anche a questo articolo di Wikipedia in inglese.
https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates
Spero di esserti stato utile.
Ciao Shackle,
Innanzitutto ti ringrazio per esserti interessato, ormai avevo perso le speranze
Per prima cosa occorre fare maggiore chiarezza sulle notazioni che ho usato.
La coppia di coordinate \( (t,x) \) sono le coordinate di Rindler mentre \( (T,X) \) sono quelle di Minkowski.
Ho trattato il problema di queste coordinate in RG, dato che in RR non avevo (come penso tutti gli studenti di RR) gli strumenti necessari per fare questo tipo di considerazioni, bensì si può trattare il problema inverso, come hai fatto tu, cioè di studiare il moto di una particella soggetta a una forza costante (o campo gravitazionale costante).
Partiamo dalle coordinate di Rindler: lo spaziotempo in questione è descritto da \( ds^2=-x^2dt^2+dx^2 \) e su questo non ci piove. Ora:
def: lo spaziotempo si dice piatto se il tensore metrico è costante ovunque.
In tal caso il tensore metrico è: \( g_{\mu\nu}=\begin{cases} -x^2 & \mbox{ se } \mu=\nu=0 \\ 1 & \mbox{ se } \mu=\nu=1\end{cases} \) (in particolare \(0\) è la coordinata \(t\) mentre \(1\) è la coordinata \(x\).
che non è costante, quindi in base alla definizione sopra lo spazio non è piatto bensì curvo.
Infatti si possono calcolare i simboli di Christoffel \( \Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{g^{\sigma\lambda}}{2}(g_{\mu\lambda,\nu}+g_{\nu\lambda,\mu}-g_{\mu\nu,\lambda}) \), dove si è usata la notazione \( g_{\mu,nu,\lambda}:=\frac{\partial}{\partial x^{\lambda}}g_{\mu\nu} \):
\( \Gamma_{11}^{0}=\frac{1}{x}\)
\( \Gamma_{00}^{1}=x\)
Tutti gli altri simboli sono nulli.
Questo comporta che una particella libera in uno spaziotempo di Rindler, cioè con quella metrica ,(il problema che sto studiando) obbedisce alle equazioni delle geodiche:
\( \begin{cases} \ddot t+\frac{1}{x}\dot x^2=0 \\ \ddot x+x\dot t^2=0 \end{cases}\)
dove \( \dot x := \frac{dx}{d\tau} \qquad d\tau=-ds \)
che potrebbero essere risolvibili in qualche modo ma ora non mi pongo il problema.
Ora se effettuo un cambio di coordinate (un diffeomorfismo, chiamiamolo come vogliamo) posso studiare il problema in un altro sistema di riferimento. Il cambio che scelto è dato da
\( \begin{cases} T=x\sinh(f(t)) \\ X=x\cosh(f(t)) \end{cases} \) dove \(f\) è una funzione "sufficientemente" regolare.
Con questo cambio di coordinate l'elemento di linea che è invariante risulta: \(ds^2=-dT^2+dX^2\)
Evidentemente questo è lo spaziotempo di Minkowski e non ci spendo troppe parole sopra.
Quindi \(\tau\) è il tempo proprio quindi niente a che vedere nè con la coordinata \(t\) nello spazio di Rindler, nè con la coordinata \(T\) nello spazio di Mink. Adesso proviamo a capire quale sia la forma dell'argomento dei seni e coseni iperbolici.
Nello spazio di Mink , che è piatto, le equazioni delle geodetiche sono semplicemente:
\(\begin{cases}\ddot T=0 \\ \ddot X =0 \end{cases}\)
Sfruttiamo il cambio di coordinate che abbiamo definito e otteniamo
\(\ddot X=\frac{d^2}{d\tau^2}\left (x\cosh(f(t)) \right)=0\)
Facendo i conti (invito a controllare) si trova che:
\( \ddot x(1+f''\tanh(f))+(\dot xf'+\dot x f' \dot t-xf'\dot x^2)\tanh(f)+f'^2\dot t^2x=0\)
dove il punto è la derivata rispetto al tempo proprio e l'apice la detivata rispetto alla coordinata \(t\).
Adesso per confronto con l'equazione delle geodetiche nello spazio di Rindler deve valere necessariamente
\(\begin{cases}\dot x =0 \\ f(t)=t\end{cases}\)
da cui ricaviamo due informazioni: la prima è che una particella libera in questo spaziotempo si muove sulle curve \(x=cost\) che è la definizione che ho dato prima di osservatore di Rindler (e quindi già questo post si rivela utile perchè mi ha fatto ragionare); la seconda è che ho giustificato il cambio di coordiante (che prima era un pò una fede). Adesso abbiamo il problema di determinare velocità e accelerazione.
Possiamo ragionare come segue: poichè nello spaziotempo di Rindler ci troviamo su \(x=cost\) vuol dire che la velocità è del tipo \(u=a(x,t)\partial_{t}\) con \(a(x,t)\) da determinare. Nello spazio di Minkowski come scrivo la velocità?
\(\partial_{t}=\frac{\partial T}{\partial t}\partial_{T}+\frac{\partial X}{\partial t}\partial_{X}=x\cosh t\partial_{T}+x\sinh t\partial_{X}=X\partial_{T}+T\partial_{X}\), pertanto \(u^2=-a^2x^2(\cosh^2t-\sinh^2t)=-1\) e quindi \(u=\frac{1}{x}\partial_{t}\).
La definizione di accelerazione è \(a=\nabla_{u}u\) quindi (tralasciando i conti) \(a=\frac{1}{x}\partial_{x}\). Questa è l'accelerazione di una particella che si muove liberamente in uno spaziotempo di Rindler. In coordinate di Minkowski \((T,X)\) dobbiamo avere una accelerazione costante per far tornare le cose. Appena ho due minuti faccio i conti e vedo cosa succede.
Ho sbagliato qualcosa?
Innanzitutto ti ringrazio per esserti interessato, ormai avevo perso le speranze
Per prima cosa occorre fare maggiore chiarezza sulle notazioni che ho usato.
La coppia di coordinate \( (t,x) \) sono le coordinate di Rindler mentre \( (T,X) \) sono quelle di Minkowski.
Ho trattato il problema di queste coordinate in RG, dato che in RR non avevo (come penso tutti gli studenti di RR) gli strumenti necessari per fare questo tipo di considerazioni, bensì si può trattare il problema inverso, come hai fatto tu, cioè di studiare il moto di una particella soggetta a una forza costante (o campo gravitazionale costante).
Partiamo dalle coordinate di Rindler: lo spaziotempo in questione è descritto da \( ds^2=-x^2dt^2+dx^2 \) e su questo non ci piove. Ora:
def: lo spaziotempo si dice piatto se il tensore metrico è costante ovunque.
In tal caso il tensore metrico è: \( g_{\mu\nu}=\begin{cases} -x^2 & \mbox{ se } \mu=\nu=0 \\ 1 & \mbox{ se } \mu=\nu=1\end{cases} \) (in particolare \(0\) è la coordinata \(t\) mentre \(1\) è la coordinata \(x\).
che non è costante, quindi in base alla definizione sopra lo spazio non è piatto bensì curvo.
Infatti si possono calcolare i simboli di Christoffel \( \Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{g^{\sigma\lambda}}{2}(g_{\mu\lambda,\nu}+g_{\nu\lambda,\mu}-g_{\mu\nu,\lambda}) \), dove si è usata la notazione \( g_{\mu,nu,\lambda}:=\frac{\partial}{\partial x^{\lambda}}g_{\mu\nu} \):
\( \Gamma_{11}^{0}=\frac{1}{x}\)
\( \Gamma_{00}^{1}=x\)
Tutti gli altri simboli sono nulli.
Questo comporta che una particella libera in uno spaziotempo di Rindler, cioè con quella metrica ,(il problema che sto studiando) obbedisce alle equazioni delle geodiche:
\( \begin{cases} \ddot t+\frac{1}{x}\dot x^2=0 \\ \ddot x+x\dot t^2=0 \end{cases}\)
dove \( \dot x := \frac{dx}{d\tau} \qquad d\tau=-ds \)
che potrebbero essere risolvibili in qualche modo ma ora non mi pongo il problema.
Ora se effettuo un cambio di coordinate (un diffeomorfismo, chiamiamolo come vogliamo) posso studiare il problema in un altro sistema di riferimento. Il cambio che scelto è dato da
\( \begin{cases} T=x\sinh(f(t)) \\ X=x\cosh(f(t)) \end{cases} \) dove \(f\) è una funzione "sufficientemente" regolare.
Con questo cambio di coordinate l'elemento di linea che è invariante risulta: \(ds^2=-dT^2+dX^2\)
Evidentemente questo è lo spaziotempo di Minkowski e non ci spendo troppe parole sopra.
Quindi \(\tau\) è il tempo proprio quindi niente a che vedere nè con la coordinata \(t\) nello spazio di Rindler, nè con la coordinata \(T\) nello spazio di Mink. Adesso proviamo a capire quale sia la forma dell'argomento dei seni e coseni iperbolici.
Nello spazio di Mink , che è piatto, le equazioni delle geodetiche sono semplicemente:
\(\begin{cases}\ddot T=0 \\ \ddot X =0 \end{cases}\)
Sfruttiamo il cambio di coordinate che abbiamo definito e otteniamo
\(\ddot X=\frac{d^2}{d\tau^2}\left (x\cosh(f(t)) \right)=0\)
Facendo i conti (invito a controllare) si trova che:
\( \ddot x(1+f''\tanh(f))+(\dot xf'+\dot x f' \dot t-xf'\dot x^2)\tanh(f)+f'^2\dot t^2x=0\)
dove il punto è la derivata rispetto al tempo proprio e l'apice la detivata rispetto alla coordinata \(t\).
Adesso per confronto con l'equazione delle geodetiche nello spazio di Rindler deve valere necessariamente
\(\begin{cases}\dot x =0 \\ f(t)=t\end{cases}\)
da cui ricaviamo due informazioni: la prima è che una particella libera in questo spaziotempo si muove sulle curve \(x=cost\) che è la definizione che ho dato prima di osservatore di Rindler (e quindi già questo post si rivela utile perchè mi ha fatto ragionare); la seconda è che ho giustificato il cambio di coordiante (che prima era un pò una fede). Adesso abbiamo il problema di determinare velocità e accelerazione.
Possiamo ragionare come segue: poichè nello spaziotempo di Rindler ci troviamo su \(x=cost\) vuol dire che la velocità è del tipo \(u=a(x,t)\partial_{t}\) con \(a(x,t)\) da determinare. Nello spazio di Minkowski come scrivo la velocità?
\(\partial_{t}=\frac{\partial T}{\partial t}\partial_{T}+\frac{\partial X}{\partial t}\partial_{X}=x\cosh t\partial_{T}+x\sinh t\partial_{X}=X\partial_{T}+T\partial_{X}\), pertanto \(u^2=-a^2x^2(\cosh^2t-\sinh^2t)=-1\) e quindi \(u=\frac{1}{x}\partial_{t}\).
La definizione di accelerazione è \(a=\nabla_{u}u\) quindi (tralasciando i conti) \(a=\frac{1}{x}\partial_{x}\). Questa è l'accelerazione di una particella che si muove liberamente in uno spaziotempo di Rindler. In coordinate di Minkowski \((T,X)\) dobbiamo avere una accelerazione costante per far tornare le cose. Appena ho due minuti faccio i conti e vedo cosa succede.
Ho sbagliato qualcosa?
Faccio qualche osservazione, e anche qualche domanda. È opportuno chiarirci le idee reciprocamente, anche a beneficio di altri lettori.Anche a me questo post fa ragionare.
Ok, prima era poco chiaro, anche se l'avevo intuito.
Se pensi di essere in relatività generale perchè devi introdurre e calcolare i simboli di Christoffel, come fai dopo, ti ripeto che non è cosí . Nello ST piatto di Min. , riferito a coordinate spaziali cartesiane ortogonali più il tempo coordinato, la metrica è banalmente $\eta_(\mu\nu) = diag (-1,1,1,1) $ , quindi le derivate prime dei coefficienti della metrica sono banalmente nulle, e di conseguenza pure i simboli di Chr. lo sono. Ma se soltanto supponi di cambiare il riferimento delle coordinate spaziali, e assumi per esempio la polari sferiche, per cui hai in definitiva le 4 coordinate $(t,r,\theta, \phi) $ , ti rendi conto subito che i coefficienti della metrica non sono più quei valori costanti detti, ma sono funzioni delle coordinate polari e del tempo. Basta fare una trasformazione di coordinate e te ne rendi conto. Quindi le derivate prime dei $g_(\mu\nu)$ non sono nulle , si possono calcolare i simboli di Chr. non nulli con la formula che hai scritto dopo, nel nuovo riferimento. Non mi ricordo quanti e quali simboli sono diversi da zero, ma ora non interessa . Però lo ST è sempre piatto, basta fare la trasformazione inversa e ritorni alla metrica di Min., con simboli di Chr. nulli. Questo dice anche che i $\Gamma_(\alpha\beta)^\mu $ non sono tensori, come sai : se lo fossero, essendo nulli in un riferimento dovrebbero essere nulli in tutti i riferimenti .
E questo vale anche nel tuo caso; non ci sono masse che determinano curvatura; pur avendo dei simboli di Chr. non nulli nelle coordinate che hai assegnato, lo ST è sempre piatto.
Questo dovresti spiegarlo, francamente questo elemento lineare non mi è chiaro , come lo hai determinato? . Oppure hai semplicemente assegnato questo $ds^2$ , e vogliamo vedere che succede? Benissimo, andiamo avanti . Però finora non mi sembra che ci siano limiti alle coordinate in questo ST, mentre in quello di Rindler ci sono dei limiti ben precisi, come ho riportato nel post precedente.
È ovvio che la tua metrica è diagonale , e $g_(00) = -x^2 $ , $ g_(11) = 1 $ .
Eh no, come ho detto sopra uno ST può essere benissimo piatto, però se il sistema di coordinate è "sbagliato" (diciamo cosí), puoi avere componenti del tensore metrico funzioni delle coordinate. Se fai la trasformazione di coordinate a quelle di Min. nella forma $(t,x,y,z)$ ( cartesiane ortogonali per lo spazio tridimensionale ) e ottieni la metrica $\eta_(\mu\nu)$ , puoi dire che è piatto. LA definizione che dai :
non è corretta. Condizione necessaria e sufficiente perchè uno ST sia piatto è che siano nulle tutte le componenti del tensore di curvatura di Riemann, che ben sai come si formano, non lo scrivo. Riemann è un tensore, quindi se è nullo in un riferimento è nullo in tutti i riferimenti. Questo non succede ai simboli di Chr., che non sono tensori. Nel tuo caso, la dimensione dello spazio è $n=2$ , quindi le componenti indipendenti di Riemann sono $ (n^2(n^2-1))/(12) = 1$. In forma covariante, devi calcolare solo $ R_(0101) = R_(txtx)$ .
Non li verifico , mi fido di te, sono sicuramente quelli. D'altronde , visti i coefficienti della metrica, non è difficile calcolarli. Ma non lo faccio !
Anche qui, si tratta di fare un po' di calcoli. Le ho verificate con i $\Gamma$ che hai dato tu, e sono corrette. Queste eq. descrivono dunque le geodetiche di una particella libera da forze, nello ST determinato dalle coordinate $x,t$ che devi trovare partendo dal $ds^2$ assegnato. Io non lo chiamo ancora ST di Rindler, non lo dice ancora nessuno che sia proprio quello.
Va già meglio di prima, avendo indicato come argomento delle funzioni iperboliche una funzione di $t$ , e non semplicemente $t$ . Però vorrei capire perchè ha scelto proprio le funzioni iperboliche per la trasformazione di coordinate.
Cioè, ripeto per chiarire, stai considerando una particella libera , che si muove in un certo spazio, la quale ha tempo proprio $\tau$ ; di essa hai già trovato le eq. della geodetica nelle coordinate di questo spazio, che sono le seguenti :
\( \begin{cases} \ddot t+\frac{1}{x}\dot x^2=0 \\ \ddot x+x\dot t^2=0 \end{cases}\)
e vuoi trovarne le eq. della geodetica nelle coordinate di Min. , sfruttando la trasformazione di coordinate allo ST di Min. E questo dovrebbe farti capire la forma che devono avere le funzioni $f(t)$ , argomento delle funzioni iperboliche?
Non ho verificato lo sviluppo che hai messo in seguito, perchè è alquanto complesso. Ma non capisco questo confronto, e la giustificazione del cambio di coordinate :
Spiegami, che cosa intendi . ( Vedi come ti aiuto a spremere le meningi?
) A me questo risultato : $f(t) = t$ continua a non piacere, perchè l'argomento delle funzioni iperboliche deve essere un angolo iperbolico, adimensionale.
A me convince di più la strada del tuo prof.
"alicetritone94":
Per prima cosa occorre fare maggiore chiarezza sulle notazioni che ho usato.
La coppia di coordinate \( (t,x) \) sono le coordinate di Rindler mentre \( (T,X) \) sono quelle di Minkowski.
Ok, prima era poco chiaro, anche se l'avevo intuito.
Ho trattato il problema di queste coordinate in RG, dato che in RR non avevo (come penso tutti gli studenti di RR) gli strumenti necessari per fare questo tipo di considerazioni, bensì si può trattare il problema inverso, come hai fatto tu, cioè di studiare il moto di una particella soggetta a una forza costante (o campo gravitazionale costante).
Se pensi di essere in relatività generale perchè devi introdurre e calcolare i simboli di Christoffel, come fai dopo, ti ripeto che non è cosí . Nello ST piatto di Min. , riferito a coordinate spaziali cartesiane ortogonali più il tempo coordinato, la metrica è banalmente $\eta_(\mu\nu) = diag (-1,1,1,1) $ , quindi le derivate prime dei coefficienti della metrica sono banalmente nulle, e di conseguenza pure i simboli di Chr. lo sono. Ma se soltanto supponi di cambiare il riferimento delle coordinate spaziali, e assumi per esempio la polari sferiche, per cui hai in definitiva le 4 coordinate $(t,r,\theta, \phi) $ , ti rendi conto subito che i coefficienti della metrica non sono più quei valori costanti detti, ma sono funzioni delle coordinate polari e del tempo. Basta fare una trasformazione di coordinate e te ne rendi conto. Quindi le derivate prime dei $g_(\mu\nu)$ non sono nulle , si possono calcolare i simboli di Chr. non nulli con la formula che hai scritto dopo, nel nuovo riferimento. Non mi ricordo quanti e quali simboli sono diversi da zero, ma ora non interessa . Però lo ST è sempre piatto, basta fare la trasformazione inversa e ritorni alla metrica di Min., con simboli di Chr. nulli. Questo dice anche che i $\Gamma_(\alpha\beta)^\mu $ non sono tensori, come sai : se lo fossero, essendo nulli in un riferimento dovrebbero essere nulli in tutti i riferimenti .
E questo vale anche nel tuo caso; non ci sono masse che determinano curvatura; pur avendo dei simboli di Chr. non nulli nelle coordinate che hai assegnato, lo ST è sempre piatto.
Partiamo dalle coordinate di Rindler: lo spaziotempo in questione è descritto da \( ds^2=-x^2dt^2+dx^2 \) e su questo non ci piove.
Questo dovresti spiegarlo, francamente questo elemento lineare non mi è chiaro , come lo hai determinato? . Oppure hai semplicemente assegnato questo $ds^2$ , e vogliamo vedere che succede? Benissimo, andiamo avanti . Però finora non mi sembra che ci siano limiti alle coordinate in questo ST, mentre in quello di Rindler ci sono dei limiti ben precisi, come ho riportato nel post precedente.
È ovvio che la tua metrica è diagonale , e $g_(00) = -x^2 $ , $ g_(11) = 1 $ .
Ora:
def: lo spaziotempo si dice piatto se il tensore metrico è costante ovunque.
In tal caso il tensore metrico è: \( g_{\mu\nu}=\begin{cases} -x^2 & \mbox{ se } \mu=\nu=0 \\ 1 & \mbox{ se } \mu=\nu=1\end{cases} \) (in particolare \(0\) è la coordinata \(t\) mentre \(1\) è la coordinata \(x\).
che non è costante, quindi in base alla definizione sopra lo spazio non è piatto bensì curvo.
Eh no, come ho detto sopra uno ST può essere benissimo piatto, però se il sistema di coordinate è "sbagliato" (diciamo cosí), puoi avere componenti del tensore metrico funzioni delle coordinate. Se fai la trasformazione di coordinate a quelle di Min. nella forma $(t,x,y,z)$ ( cartesiane ortogonali per lo spazio tridimensionale ) e ottieni la metrica $\eta_(\mu\nu)$ , puoi dire che è piatto. LA definizione che dai :
lo spaziotempo si dice piatto se il tensore metrico è costante ovunque.
non è corretta. Condizione necessaria e sufficiente perchè uno ST sia piatto è che siano nulle tutte le componenti del tensore di curvatura di Riemann, che ben sai come si formano, non lo scrivo. Riemann è un tensore, quindi se è nullo in un riferimento è nullo in tutti i riferimenti. Questo non succede ai simboli di Chr., che non sono tensori. Nel tuo caso, la dimensione dello spazio è $n=2$ , quindi le componenti indipendenti di Riemann sono $ (n^2(n^2-1))/(12) = 1$. In forma covariante, devi calcolare solo $ R_(0101) = R_(txtx)$ .
Infatti si possono calcolare i simboli di Christoffel \( \Gamma_{\mu\nu}^{\sigma}=\frac{g^{\sigma\lambda}}{2}(g_{\mu\lambda,\nu}+g_{\nu\lambda,\mu}-g_{\mu\nu,\lambda}) \), dove si è usata la notazione \( g_{\mu,nu,\lambda}:=\frac{\partial}{\partial x^{\lambda}}g_{\mu\nu} \):
\( \Gamma_{11}^{0}=\frac{1}{x}\)
\( \Gamma_{00}^{1}=x\)
Tutti gli altri simboli sono nulli.
Non li verifico , mi fido di te, sono sicuramente quelli. D'altronde , visti i coefficienti della metrica, non è difficile calcolarli. Ma non lo faccio
! Questo comporta che una particella libera in uno spaziotempo di Rindler, cioè con quella metrica ,(il problema che sto studiando) obbedisce alle equazioni delle geodiche:
\( \begin{cases} \ddot t+\frac{1}{x}\dot x^2=0 \\ \ddot x+x\dot t^2=0 \end{cases}\)
dove \( \dot x := \frac{dx}{d\tau} \qquad d\tau=-ds \)
che potrebbero essere risolvibili in qualche modo ma ora non mi pongo il problema.
Anche qui, si tratta di fare un po' di calcoli. Le ho verificate con i $\Gamma$ che hai dato tu, e sono corrette. Queste eq. descrivono dunque le geodetiche di una particella libera da forze, nello ST determinato dalle coordinate $x,t$ che devi trovare partendo dal $ds^2$ assegnato. Io non lo chiamo ancora ST di Rindler, non lo dice ancora nessuno che sia proprio quello.
Ora se effettuo un cambio di coordinate (un diffeomorfismo, chiamiamolo come vogliamo) posso studiare il problema in un altro sistema di riferimento. Il cambio che scelto è dato da
\( \begin{cases} T=x\sinh(f(t)) \\ X=x\cosh(f(t)) \end{cases} \) dove \(f\) è una funzione "sufficientemente" regolare.
Con questo cambio di coordinate l'elemento di linea che è invariante risulta: \(ds^2=-dT^2+dX^2\) . Evidentemente questo è lo spaziotempo di Minkowski e non ci spendo troppe parole sopra.
Va già meglio di prima, avendo indicato come argomento delle funzioni iperboliche una funzione di $t$ , e non semplicemente $t$ . Però vorrei capire perchè ha scelto proprio le funzioni iperboliche per la trasformazione di coordinate.
Quindi \(\tau\) è il tempo proprio quindi niente a che vedere nè con la coordinata \(t\) nello spazio di Rindler, nè con la coordinata \(T\) nello spazio di Mink.
Cioè, ripeto per chiarire, stai considerando una particella libera , che si muove in un certo spazio, la quale ha tempo proprio $\tau$ ; di essa hai già trovato le eq. della geodetica nelle coordinate di questo spazio, che sono le seguenti :
\( \begin{cases} \ddot t+\frac{1}{x}\dot x^2=0 \\ \ddot x+x\dot t^2=0 \end{cases}\)
e vuoi trovarne le eq. della geodetica nelle coordinate di Min. , sfruttando la trasformazione di coordinate allo ST di Min. E questo dovrebbe farti capire la forma che devono avere le funzioni $f(t)$ , argomento delle funzioni iperboliche?
Non ho verificato lo sviluppo che hai messo in seguito, perchè è alquanto complesso. Ma non capisco questo confronto, e la giustificazione del cambio di coordinate :
Adesso per confronto con l'equazione delle geodetiche nello spazio di Rindler deve valere necessariamente
\(\begin{cases}\dot x =0 \\ f(t)=t\end{cases}\)
da cui ricaviamo due informazioni: la prima è che una particella libera in questo spaziotempo si muove sulle curve \(x=cost\) che è la definizione che ho dato prima di osservatore di Rindler (e quindi già questo post si rivela utile perchè mi ha fatto ragionare); la seconda è che ho giustificato il cambio di coordinate (che prima era un pò una fede).
Spiegami, che cosa intendi . ( Vedi come ti aiuto a spremere le meningi?
) A me questo risultato : $f(t) = t$ continua a non piacere, perchè l'argomento delle funzioni iperboliche deve essere un angolo iperbolico, adimensionale.A me convince di più la strada del tuo prof.
Eccomi qua pronto a cercare di mettere i paletti a posto.
Hai perfettamente ragione. Ho detto così (ingenuamente) perchè non sono riuscito a trovare una definizione rigorosa di spaziotempo piatto. Ora ho verificato che (giustamente) la definizione è data nei libri di geometria differenziale.
Definizione: una varietà differenziabile si dice piatta se e solo se il tensore di curvatura (Riemann) è nullo ovunque.
Azzardando, potrei osare a dire quasi ovunque nullo, ma la parola ai geometri.
In questo esercizio il \(ds^2=-x^2dt^2+dx^2\) era semplicemente assegnato. Abbiamo fatto vedere che assegnata questa metrica particolare quello che risulta è un punto che si muove di moto accelerato. Si vede a occhio nel post precedente che il modulo della quadriaccelerazione è costante e pari a \(\frac{1}{x}\) ed è ortogonale alla quadrivelocità.. Immagino però che si possa fare il percorso inverso. Come è fatto lo spazio tempo di un punto materiale che si muove con accelerazione costante? Tradotto: quale è la metrica in questo caso? Possiamo iniziare a studiare il modo di una particella soggetta ad una accelerazione costante nota, diciamo \(A\) diretta per semplicità lungo la direzione dell'asse \(x\).
Nel sistema di riferimento fermo in cui si muove la particella sono definite le grandezze proprie, quadriaccelerazione e quadrivelocità, nel modo ovvio. In particolare risulta che (invito sempre a controllare i conti):
\(x^{\mu}=(t,x)\)
\(u^{\mu}=\dot x^{\mu}=(\gamma,\gamma v)\)
\(a^{\mu}=\gamma^4 a(v,1)\)
Applichiamo una trasfomazione di Lorentz per scrivere la quadriaccelerazione nel sistema di riferimento comobile:
\(\begin{bmatrix}\gamma & -\gamma v \\ -\gamma v & \gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma^4va \\ \gamma^4 a \end{bmatrix}=\gamma^3 a\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
Adesso la quadriforza ha solo la componente spaziale ed è costante \(f^{\mu}=(0,f)\).
Pertanto abbiamo:
\(\dot v=\frac{f}{m}(1-v^2)^{3/2}\)
con soluzione (per semplicità poniamo a 0 la costante di integrazione):
\(v=\frac{At}{\sqrt{1+A^2t^2}}\)
\(x=\frac{\1}{A}\sqrt{1+A^2t^2}\)
con \(A=\frac{f}{m}\)
Ora poniamo
\(\frac{1}{A}=\rho\)
\(t=\rho\sinh u\)
\(x=\rho\cosh u\)
e quindi ecco da dove viene fuori l'arcana metrica di Rindler
\(ds^2=-dt^2+dx^2=-\rho^2du^2+d\rho^2\)
In definitiva abbiamo risolto l'equivalenza tra assegnare una metrica e vedere a cosa corrisponde e studiare il moto e vedere quale la metrica naturale alla sua descrizione.
Nel problema iniziale (non in quello inverso in cui si vuole ricavare la metrica) la scelta delle funzioni iperboli è suggerita dalla struttra stessa della metrica.
Il risultato \(f(t)=t\) è l'unico ammissibile affinchè l'equazione orribile che ho scritto sopra con tutte quelle derivate rispetto a tanti argomenti diversi coincida con quella delle geodetiche. Stessa cosa vale per \(x=cost\). Se le condizioni valgono entrambe ho le stesse stesse equazioni.
Spero di aver fatto maggiore chiarezza a chiunque possa leggere.
"Shackle":
Faccio qualche osservazione, e anche qualche domanda. È opportuno chiarirci le idee reciprocamente, anche a beneficio di altri lettori.Anche a me questo post fa ragionare.
Ho trattato il problema di queste coordinate in RG, dato che in RR non avevo (come penso tutti gli studenti di RR) gli strumenti necessari per fare questo tipo di considerazioni, bensì si può trattare il problema inverso, come hai fatto tu, cioè di studiare il moto di una particella soggetta a una forza costante (o campo gravitazionale costante).
Se pensi di essere in relatività generale perchè devi introdurre e calcolare i simboli di Christoffel, come fai dopo, ti ripeto che non è cosí . Nello ST piatto di Min. , riferito a coordinate spaziali cartesiane ortogonali più il tempo coordinato, la metrica è banalmente $ \eta_(\mu\nu) = diag (-1,1,1,1) $ , quindi le derivate prime dei coefficienti della metrica sono banalmente nulle, e di conseguenza pure i simboli di Chr. lo sono. Ma se soltanto supponi di cambiare il riferimento delle coordinate spaziali, e assumi per esempio la polari sferiche, per cui hai in definitiva le 4 coordinate $ (t,r,\theta, \phi) $ , ti rendi conto subito che i coefficienti della metrica non sono più quei valori costanti detti, ma sono funzioni delle coordinate polari e del tempo. Basta fare una trasformazione di coordinate e te ne rendi conto. Quindi le derivate prime dei $ g_(\mu\nu) $ non sono nulle , si possono calcolare i simboli di Chr. non nulli con la formula che hai scritto dopo, nel nuovo riferimento. Non mi ricordo quanti e quali simboli sono diversi da zero, ma ora non interessa . Però lo ST è sempre piatto, basta fare la trasformazione inversa e ritorni alla metrica di Min., con simboli di Chr. nulli. Questo dice anche che i $ \Gamma_(\alpha\beta)^\mu $ non sono tensori, come sai : se lo fossero, essendo nulli in un riferimento dovrebbero essere nulli in tutti i riferimenti .
E questo vale anche nel tuo caso; non ci sono masse che determinano curvatura; pur avendo dei simboli di Chr. non nulli nelle coordinate di Rindler, lo ST è sempre piatto.
Hai perfettamente ragione. Ho detto così (ingenuamente) perchè non sono riuscito a trovare una definizione rigorosa di spaziotempo piatto. Ora ho verificato che (giustamente) la definizione è data nei libri di geometria differenziale.
Definizione: una varietà differenziabile si dice piatta se e solo se il tensore di curvatura (Riemann) è nullo ovunque.
Azzardando, potrei osare a dire quasi ovunque nullo, ma la parola ai geometri.
"Shackle":
Questo dovresti spiegarlo, francamente questo elemento lineare non mi è chiaro , come lo hai determinato? . Oppure hai semplicemente assegnato questo ds2 , e vogliamo vedere che succede?
In questo esercizio il \(ds^2=-x^2dt^2+dx^2\) era semplicemente assegnato. Abbiamo fatto vedere che assegnata questa metrica particolare quello che risulta è un punto che si muove di moto accelerato. Si vede a occhio nel post precedente che il modulo della quadriaccelerazione è costante e pari a \(\frac{1}{x}\) ed è ortogonale alla quadrivelocità.. Immagino però che si possa fare il percorso inverso. Come è fatto lo spazio tempo di un punto materiale che si muove con accelerazione costante? Tradotto: quale è la metrica in questo caso? Possiamo iniziare a studiare il modo di una particella soggetta ad una accelerazione costante nota, diciamo \(A\) diretta per semplicità lungo la direzione dell'asse \(x\).
Nel sistema di riferimento fermo in cui si muove la particella sono definite le grandezze proprie, quadriaccelerazione e quadrivelocità, nel modo ovvio. In particolare risulta che (invito sempre a controllare i conti):
\(x^{\mu}=(t,x)\)
\(u^{\mu}=\dot x^{\mu}=(\gamma,\gamma v)\)
\(a^{\mu}=\gamma^4 a(v,1)\)
Applichiamo una trasfomazione di Lorentz per scrivere la quadriaccelerazione nel sistema di riferimento comobile:
\(\begin{bmatrix}\gamma & -\gamma v \\ -\gamma v & \gamma\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma^4va \\ \gamma^4 a \end{bmatrix}=\gamma^3 a\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
Adesso la quadriforza ha solo la componente spaziale ed è costante \(f^{\mu}=(0,f)\).
Pertanto abbiamo:
\(\dot v=\frac{f}{m}(1-v^2)^{3/2}\)
con soluzione (per semplicità poniamo a 0 la costante di integrazione):
\(v=\frac{At}{\sqrt{1+A^2t^2}}\)
\(x=\frac{\1}{A}\sqrt{1+A^2t^2}\)
con \(A=\frac{f}{m}\)
Ora poniamo
\(\frac{1}{A}=\rho\)
\(t=\rho\sinh u\)
\(x=\rho\cosh u\)
e quindi ecco da dove viene fuori l'arcana metrica di Rindler
\(ds^2=-dt^2+dx^2=-\rho^2du^2+d\rho^2\)
In definitiva abbiamo risolto l'equivalenza tra assegnare una metrica e vedere a cosa corrisponde e studiare il moto e vedere quale la metrica naturale alla sua descrizione.
"Shackle":
Però vorrei capire perchè ha scelto proprio le funzioni iperboliche per la trasformazione di coordinate.
Nel problema iniziale (non in quello inverso in cui si vuole ricavare la metrica) la scelta delle funzioni iperboli è suggerita dalla struttra stessa della metrica.
"Shackle":
A me questo risultato : f(t)=t continua a non piacere, perchè l'argomento delle funzioni iperboliche deve essere un angolo iperbolico, adimensionale.
Il risultato \(f(t)=t\) è l'unico ammissibile affinchè l'equazione orribile che ho scritto sopra con tutte quelle derivate rispetto a tanti argomenti diversi coincida con quella delle geodetiche. Stessa cosa vale per \(x=cost\). Se le condizioni valgono entrambe ho le stesse stesse equazioni.
Spero di aver fatto maggiore chiarezza a chiunque possa leggere.
Hai perfettamente ragione. Ho detto così (ingenuamente) perchè non sono riuscito a trovare una definizione rigorosa di spaziotempo piatto. Ora ho verificato che (giustamente) la definizione è data nei libri di geometria differenziale.
Definizione: una varietà differenziabile si dice piatta se e solo se il tensore di curvatura (Riemann) è nullo ovunque.
Azzardando, potrei osare a dire quasi ovunque nullo, ma la parola ai geometri.
Su quale libro stai studiando la RG ? Qualsiasi testo di RG deve dire che la condizione necessaria e sufficiente per la piattezza è l'annullarsi di Riemann , almeno in quella porzione di ST che ti interessa, se è questo l'azzardo di cui parli ! Per fare un paragone con la geometria delle superfici, nulla vieta di avere , in una superficie variamente curva, una bella pianura piatta per un pezzo, che si raccorda dolcemente col resto della superficie curva tutt'intorno : in quella pianura, Riemann è nullo. Non ce ne importa di quello che capita fuori della pianura!
Si vede a occhio nel post precedente che il modulo della quadriaccelerazione è costante e pari a 1x ed è ortogonale alla quadrivelocità.. Immagino però che si possa fare il percorso inverso
Io non lo vedo a occhio, ma in generale è bene diffidare di ciò che sembra vero ad occhio . La 4-accelerazione è sempre perpendicolare alla 4-velocità, qualunque sia la linea di universo. Se il modulo è pari a $1/x$ , per essere costante deve essere costante la $x$ .
Immagino però che si possa fare il percorso inverso. Come è fatto lo spazio tempo di un punto materiale che si muove con accelerazione costante? Tradotto: quale è la metrica in questo caso? Possiamo iniziare a studiare il modo di una particella soggetta ad una accelerazione costante nota, diciamo A diretta per semplicità lungo la direzione dell'asse x.
Il percorso inverso, non è altro che quello che avevo detto io all'inizio ; un punto si muove con accelerazione costante nota, ma attenzione : è l'accelerazione propria che è costante , cioè quella che il punto ha nel riferimento momentaneamente comovente , non è l'accelerazione coordinata, cioè riferita al sistema $(T,X)$ .
Si dimostra che tra l'accelerazione propria, supposta costante, e l'accelerazione coordinata sussiste la relazione :
$\alpha = \gamma^3 (dv)/(dt) $
da cui : $\alpha dt = (dv)/(1-v^2)^(3/2)$
In questa discussione c'è una spiegazione del motivo per cui compare il fattore $\gamma^3$ tra accelerazione propria e accelerazione coordinata .
Per successive integrazioni si arriva alla velocità e allo spostamento : la linea di universo risulta una iperbole nel piano di Minkowski. Non occorre fare trasformazioni di Lorentz, ma solo calcolare l'accelerazione di una particella nel riferimento mobile $(du')/(dt') $ , a partire dalla composizione relativistica delle velocità, come si vede qui in dettaglio :
Velocità e spostamento sono quelli che hai scritto tu , ma non bisogna "porre" le formule con le funzioni iperboliche come se fossero una libera scelta : esse vengono fuori dal processo di calcolo degli integrali , quindi il tempo e lo spazio sono "necessariamente" funzioni iperboliche del tempo proprio, che ora è quello di un orologio che si muove con accelerazione propria costante e quindi ha, come linea di universo, proprio l'iperbole di Rindler .
Più chiaramente , si ha questo integrale indefinito :
$ \int(dy)/sqrt(1+y^2) = arcseny +"cost" $
quindi, allorché hai : $ y = (\alpha\tau)/c $ , come capita nel nostro caso , è giocoforza che l'integrale definito tra $0$ e $t$ sia, per il tempo : $ t = c/\alpha senh((\alpha\tau)/c) $ . E analogamente succede per lo spazio.
Spero ora che sia chiaro il motivo per cui compaiono le funzioni iperboliche. Lo dice chiaramente Gasperini, nella formula 4.72 del libro che ti ho indicato nella prima risposta , a cui ti rimando. E lo dicono chiaramente le righe di queste due pagine :
l'equazione 2.45 citata nella seconda pagina è semplicemente : $ d\tau = dt*sqrt(1-(u^2(t))/c^2)$ , nota relazione differenziale tra tempo proprio e tempo coordinato.
Ripeto perciò ancora una volta (ma poi basta) : l'argomento delle funzioni iperboliche deve essere adimensionale , cioè $ (\alpha\tau)/c $ , dove ora $\tau$ è il tempo proprio prima detto. Se quindi scrivi :
$t = \rho sinhu$
$x= \rhocoshu$
l'argomento $u$ delle funzioni iperboliche deve essere la quantità ora detta.
Possiamo chiudere, per me. Ciao.
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