Soluzione generale moto armonico

[igol10]

Abbiamo la classica situazione di una massa m legata all'estremità destra di una molla, la cui estremità sinistra è a sua volta collegata ad un supporto fisso. Il tutto si svolge su un piano orizzontale liscio. La molla è ideale.
Allora:
$ mddot(x) = -kx => ddot(x) = -k/mx $
Ora la soluzione di questa equazione differenziale si può scrivere in vari modi.

Modo 1: $ x(t) = Ccos(omegat + phi) $ e per questa soluzione so come determinare C e phi

Modo 2: $ x(t) = Acos(omegat) + Bsin(omegat) $

Come posso verificare che la soluzione generale si può scrivere nel modo 2?
Come si determinano le costanti A e B?

[donald_zeka]

Qui serve un po'di teoria delle equazioni differenziali...si può dimostrare che lo spazio delle soluzioni di una equazione differenziale lineare del secondo ordine è uno spazio lineare (o spazio vettoriale) di dimensione 2. Quindi se tu trovi una funzione f(x) che è soluzione della tua equazione e ne trovi un'altra g(x) che è altrettanto soluzione e tale che g(x) e f(x) siano linearmente indipendenti, allora lo spazio delle soluzioni della tua equazione è lo spazio generato da f(x) e g(x), ossia le combinazioni lineari $Af(x)+Bg(x)$. Nel tuo caso di vede che sia $sin(omegat)$ e sia $cos(omegat)$ sono soluzioni, e inoltre si può dimostrare che sono linearmente indipendenti, pertanto la soluzione generale è data dalla loro combinazione lineare $Acos(omegat)+Bsin(omegat)$

[igol10]

Ok, grazie. Quindi A e B si risolvono così?
$ v(t) = - omegaAsin(omegat) + omegaBcos(omegat) $

$ x(0) = A $
$ v(0) = omegaB => B = (v(0))/omega $

[donald_zeka]

Si, giusto