Soluzione di un circuito resistivo.

[Antonio_80]

le figure a cui fa riferimento sono le seguenti:

Non mi e' chiaro come risolvere questo esercizio

Cosa bisogna fare?

[Camillo]

Proverei ad applicare la sovrapposizione degli effetti : valutare prima $v $ con solo attivo il generatore di tensione $3V $ ; poi attivo solo il generatore di corrente $2 A $ ( e quello di tensione in corto circuito ) e valutare $ v $ in questo caso : poi sommare i valori ottenuti.

[Antonio_80]

Ma questo principio ancora non l'ho studiato!
Potrebbe esserci un altro metodo alternativo
Dico questo perchè il testo mi ha proposto questo esercizio alla fine del capitolo "Circuiti Semplici", e non viene trattato questo principio di sovrapposizione!

[RenzoDF]

Scritte, come dovresti saper fare, le due funzioni $f_1(i,v)=0$ e $f_2(i,v)=0$, notato che nel primo collegamento parallelo (1 con 2 e 1' con 2'), mentre la tensione presenta la stessa convenzione di verso, la corrente del primo circuito ha convenzione di verso opposto a quella del secondo (e quindi modificata una delle due per rendere le due "i" di uguale verso), basterà esplicitate entrambe le funzioni $f_1 , f_2$ rispetto a $i$ ed uguagliare le due correnti per ottenere la tensione comune.

Alternativamente, puoi determinare i due circuiti equivalenti secondo Norton, e scrivere (a collegamento effettuato) la KCL ad uno dei due nodi, equazione che avrà la tensione $v$ come unica incognita.

[Antonio_80]

Non so ancora il principio di sovrapposizione, quindi non l'ho usato!

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
MC 120 35 0 0 010
MC 120 95 0 0 020
MC 55 65 0 0 470
MC 205 45 0 0 490
MC 175 60 1 0 ihram.res
MC 55 40 1 0 ihram.res
MC 85 55 1 0 ihram.res
MC 150 35 0 0 ihram.res
LI 55 65 55 55 0
LI 55 40 55 35 0
LI 55 35 85 35 0
LI 85 35 85 55 0
LI 85 70 85 95 0
LI 85 95 55 95 0
LI 55 95 55 85 0
LI 85 35 120 35 0
LI 85 95 120 95 0
LI 125 35 150 35 0
LI 165 35 175 35 0
LI 175 35 175 60 0
LI 175 75 175 95 0
LI 175 95 125 95 0
LI 175 35 205 35 0
LI 205 35 205 45 0
LI 205 65 205 95 0
LI 205 95 175 95 0
TY 90 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2Ω
TY 155 40 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1Ω
TY 160 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2Ω
TY 60 45 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 3Ω
MC 70 30 0 0 074
MC 95 30 0 0 074
MC 90 40 1 0 074
TY 70 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i
TY 100 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i1
TY 95 40 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i2
TY 160 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i1
TY 170 45 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i3
SA 85 35 0
SA 175 35 0
TY 185 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2A
MC 170 40 1 0 074
MC 185 30 0 0 074
MC 165 30 0 0 074
TY 195 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2A
TY 60 85 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 3V[/fcd]

Nei nodi si ha quindi
${(i=i_1+i_2),(i_1=i_3+2):}$
Considerando la maglia a sinistra e quella centrale ho poi
${(3i+2i_2=3),(1i_1+2i_3-2i_2=0):}$
e risolvendo il sistema di queste quattro equazioni ottengo
${(i_1=1),(i_2=0),(i_3=-1),(i=1):}$
Il potenziale $v$ richiesto è quello alla congiunzione dei due circuiti iniziali, cioè alle estremità della resistenza da $2Omega$ più a sinistra,quindi
$v=2i_2=2*0=0$

Cosa ne dite

[RenzoDF]

Direi che il sistema sia corretto ma la soluzione sia errata, ad ogni modo non credo che il testo ti chiedesse una soluzione con Kirchhoff della rete, ma bensì una analisi separata dei due circuiti componenti, al fine di determinare le relazioni fra $v$ e $i$ ai morsetti, andando ad estendere quanto già fatto nel precedente thread.

[Antonio_80]

Grazie RenzoDF, ma io diversamente non so fare, potresti dirmi qualche cosa altro in modo più esplicito sul cosa si deve fare

[RenzoDF]

Tutte "storie" , come sei riuscito nel precedente thread così riuscirai in questo, ne sono più che convinto.

[Antonio_80]

"RenzoDF":Tutte "storie" , come sei riuscito nel precedente thread così riuscirai in questo, ne sono più che convinto.

Ok, ma in base a quello che chiede la traccia, si deve considerare il primo circuito che ho disegnato e non chiedendomi di applicare nessuna legge nello specifico bensì cosa accade alla tensione $v$, le mie risposte sono corrette

Che poi tu hai un sacco di esperienza in materia e sai mille strade per arrivare allo stesso punto, e questo ti fa onore perchè sei bravo e te l'ho detto altre volte, e per questo sai quello che si potrebbe fare alternativamente, ma questa volta rimango dell'idea che anche la mia risposta è corretta

Ed in base alla seconda richiesta della traccia, scrivo:

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
MC 120 35 0 0 010
MC 120 95 0 0 020
MC 55 65 0 0 470
MC 205 45 0 0 490
MC 175 60 1 0 ihram.res
MC 55 40 1 0 ihram.res
MC 85 55 1 0 ihram.res
MC 150 95 0 0 ihram.res
LI 55 65 55 55 0
LI 55 40 55 35 0
LI 55 35 85 35 0
LI 85 35 85 55 0
LI 85 70 85 95 0
LI 85 95 55 95 0
LI 55 95 55 85 0
LI 85 35 120 35 0
LI 85 95 120 95 0
LI 125 35 175 35 0
LI 175 35 175 60 0
LI 175 75 175 95 0
LI 150 95 125 95 0
LI 175 35 205 35 0
LI 205 35 205 45 0
LI 205 65 205 95 0
LI 205 95 175 95 0
TY 90 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2Ω
TY 155 85 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1Ω
TY 160 65 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2Ω
TY 60 45 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 3Ω
MC 70 30 0 0 074
MC 95 30 0 0 074
MC 90 40 1 0 074
TY 70 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i
TY 100 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i1
TY 95 40 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i2
TY 160 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i1
TY 170 45 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i3
SA 85 35 0
SA 175 35 0
TY 185 25 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2A
MC 170 40 1 0 074
MC 185 30 0 0 074
MC 165 30 0 0 074
TY 195 60 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2A
TY 60 80 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 3V
LI 165 95 175 95 0
MC 195 55 1 0 074
MC 65 80 3 0 074[/fcd]

${(i=i_1+i_2),(i_1+2=i_3),(3i+2i_2=3),(2i_3+1i_1-2i_2=0):}$ con soluzioni ${(i_1=-2/3),(i_2=1),(i_3=4/3),(i=1/3):}$

interessa la tensione fra i punti che hai indicato col + e col - e questi punti hanno lo stesso potenziale dei due estremi della resistenza percorsa da $i_2$. Quindi
$v=2i_2=2$

Per essere completi, riprendo gli esercizi risolti precedentemente,
ecco le soluzioni:



Per il partitore di corrente: $I_(c c) = 2A * [(2Omega)/(2Omega + 1Omega)]= 1.33 A$

Resistenza equivalente: $R_(e q) = 1 Omega + 2 Omega = 3 Omega$

Tensione : $V= - I_(c c) * R_(e q) = - (1.33A) * (3 Omega) =-4 V$


[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
LI 70 40 70 160 0
LI 5 100 165 100 0
TY 85 105 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1
TY 100 105 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2
TY 115 105 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 3
TY 130 105 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 4
TY 175 100 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL i
TY 65 30 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL v
TY 65 85 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 1
TY 65 70 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 2
TY 65 55 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 3
TY 65 40 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL 4
MC 70 40 3 0 074
MC 165 100 0 0 074
LI 65 145 100 90 0
TY 60 105 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -1
TY 60 115 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -2
TY 60 125 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -3
TY 60 135 4 3 0 0 0 Abyssinica++SIL -4[/fcd]

Ed all'altra figura:



Esempio che fa al caso:



Risposta alla domanda a)

La tensione di porta è: $v_(1,1') = 3v*[(2 o h m)/((2 + 3)o h m)] = 1.2 v$

La resistenza equivalente è : $R_(e q)= ((2*3)o h m)/((2+3)o h m) = 1.2 o h m$

La corrente di porta è $i = (1 v)/(1.2 o h m)= 0.83 A$


Risposta alla domanda c) e d)



Per Thèvenin si può quindi immaginare un Resistore $R_(e q)$ in serie con un generatore di tensione.
Per Norton si può immaginare un generatore di corrente $I_0$ in parallelo con un resistore $R_(e q)$.

Risposta alla domanda b)

La richiesta è quella della funzione $f(v,i)=0$ che lega la tensione e la corrente ai morsetti del bipolo, funzione che sarà lineare (o meglio lineare affine), vista la linearità dei bipoli componenti la rete, e che quindi puoi andare a scrive una volta noti due diversi suoi punti, per esempio quelli relativi alle intersezioni con gli assi $v$ e $i$ da te ricavati.

Scritta quella funzione, sarà semplice tracciare il suo grafico e quindi rispondere alla richiesta.

Il grafico è il seguente:


si tratta dell'equazione della retta che può essere scritta in forma generale: $v= V_0 - R_(e q)*i$ e che nel caso dell'esercizio e con i valori da me trovati è:

$f(i,v) = 3V - 1.2 Omega*0.83A$

A te la parola!

[RenzoDF]

Giusto per farla breve intendevo dire che la semirete di sinistra avrà funzione implicita

$f_1(v,i)=i-5/6v+1=0$

mentre la semirete destra

$f_2(v,i)=v-3i+4=0$

Ora esplicitando la corrente in entrambe e, dopo aver uniformato il verso di $i$ per una delle due (per es. per la prima), andando ad uguagliarle, avremo

$-5/6v+1=v/3+4/3$

dalla quale

$v=-2/7 \ V $

tutto qua.
Alternativamente come ti dicevo puoi risolvere via circuiti equivalenti di Norton, dove la KCL ad uno dei due nodi porterà
alla stessa equazione

$+1\ A-v \times 5/6 \ S -v \times 1/3 S-4/3 \ A=0$

e quindi ancora allo stesso risultato.

[Antonio_80]

"RenzoDF":La semirete di sinistra avrà funzione implicita

$f_1(v,i)=i-5/6v+1=0$

mentre la semirete destra

$f_2(v,i)=v-3i+4=0$

Non sto decifrando chiaramente le due funzioni per le semirete....

Per quella di sinistra hai giustamente detto che la funzione implicita è:

$f_1(v,i)=i-5/6v+1=0$

ma come ci sei arrivato

Ho pensato che hai usato la LKC, quindi nella formula compare la $i$ che viene sommata alla corrente che passa nella resistenza equivalente che è $(v)/(R_(e q))=5/6*v$, ma poi, da dove salta fuori quel valore $1$ che si somma

Per quella di destra penso che hai usato la LKT e si vede che compare la $v$ poi viene sommata la tensione che passa attraverso la resistenza $R_(e q)=3$ e quindi compare giustamente $3*i$, ma non sto capendo da dove salta fuori quel valore $4$

[RenzoDF]

Per la sinistra via KCL

$i- v/(2\Omega)-(v-3V)/(3\Omega)=0$

per la destra via KVL

$v-1\Omega\ \i- 2\Omega (i-2A)=0$

La Req non c'entra nulla e non è necessario conoscerla per scrivere le due equazioni.

[Antonio_80]

"RenzoDF":

La Req non c'entra nulla e non è necessario conoscerla per scrivere le due equazioni.

Accipicchia, non capisco il perchè non c'entra nulla

Se per arrivare ai capi dei morsetti di collegamento, parte della corrente si dirama in quei resistori, ese. per quella di sinistra, c'è per di mezzo la $2 Omega$, come fa a non c'entrare

Come hai fatto tu, hai considerato maglia per maglia, allora ok, ma perchè non posso fare un ragionamento con le resistenze equivalenti

[RenzoDF]

La resistenza equivalente la usiamo quando usiamo Thevenin o Norton e in questa soluzione non abbiamo usato ne l'uno ne l'altro, che poi il suo valore numerico "esca" nella semplificazione finale è un'altro discorso, che chiaramente si riallaccia al secondo metodo risolutivo che ti ho proposto.

[Antonio_80]

Adesso è tutto chiaro!
Mi stavo scervellando su questo fatto, ma se alla fine salta fuori, allora posso dormir tranquillo!

[Antonio_80]

"RenzoDF":

Ora esplicitando la corrente in entrambe e, dopo aver uniformato il verso di $i$ per una delle due (per es. per la prima), andando ad uguagliarle, avremo

$-5/6v+1=v/3+4/3$

Scusami, un'altra domanda....

Ma cosa intendi per uniformare il verso di $i$
Penso che tu voglia intendere adattare al caso quando avviene la giunzione, ma come hai inteso le convenzioni per arrivare a uniformare la prima funzione

[RenzoDF]

Intendo dire che per uguagliare le due correnti devo uguagliarne il verso e di conseguenza, vista la convenzione iniziale nei circuiti separati, cambiare di segno una della due equazioni

[Antonio_80]

Ok, ma da quello che capisco, mi sembra che la corrente della prima formula $f_1$, e' diventata negativa, ma sto facendo confusione a capire la convenzione quando hai pensato a mettere insieme le due parti del circuito!

Potresti spiegarmi per favore?

[RenzoDF]

Ripeto: visto che per entrambe le due semireti la convenzione per la corrente era quella entrante, prima riga della figura, al fine di rendere la corrente equiversa, cambiamo (per esempio) di verso la corrente della semirete sinistra e quindi di segno la funzione $i(v)$, al fine di avere che la nuova corrente $i$, questa volta uscente dalla semirete sinistra, sia la stessa che va ad entrare nella semirete destra, seconda riga della figura.

In questo modo abbiamo sia la corrispondenza del verso per la tensione sia per la corrente.

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC A 0.3
FJC B 0.3
RV 30 30 65 60 0
LI 65 35 80 35 0
LI 65 55 80 55 0
MC 80 30 2 0 074
RV 150 30 115 60 0
LI 115 35 100 35 0
LI 115 55 100 55 0
MC 100 30 2 1 074
TY 78 42 4 3 0 0 0 * v
TY 99 42 4 3 0 0 0 * v
TY 78 81 4 3 0 0 0 * +
TY 101 22 4 3 0 0 0 * i
TY 32 43 4 3 0 0 0 * i=5/6v-1
TY 78 36 4 3 0 0 0 * +
TY 99 36 4 3 0 0 0 * +
RV 30 75 65 105 0
LI 65 80 80 80 0
LI 65 100 80 100 0
MC 76 75 2 1 074
RV 150 75 115 105 0
LI 115 80 100 80 0
LI 115 100 100 100 0
MC 100 75 2 1 074
TY 78 87 4 3 0 0 0 * v
TY 99 87 4 3 0 0 0 * v
TY 99 81 4 3 0 0 0 * +
TY 101 67 4 3 0 0 0 * i
TY 31 87 4 3 0 0 0 * i=-5/6v+1
EV 111 34 70 19 2
TY 87 19 4 3 0 3 2 * No
TY 77 22 4 3 0 1 2 * i
TY 77 67 4 3 0 1 7 * i
TY 87 65 4 3 0 3 8 * Si
EV 110 79 69 64 8[/fcd]

In questo modo potremo ora anche andare a sovrapporre i due diagrammi tensione-corrente delle due semireti; se ti va di provare ...