Solenoidi concatenati: energia magnetica
Buonanotte, sono alle prese con l'ultima domanda di questo esercizio d'esame.
Domani con calma scrivo il testo del problema, che è il seguente:
Per i primi tre punti non , ci sono problemi, e ho avuto modo di constare la correttezza dei risultati
Quello che mi preme è capire bene l'ultimo
4. Come al solito, utilizzo il teorema di Ampère, tenendo presente che ogni solenoide possiede campo magnetico solo al suo interno, mentre all'esterno questo è nullo.
Nella regione interna al primo, che dirò $r
Per $r>R$, ovviamente $B(r)=0 T$.
A seconda della regione, calcolo l'energia magnetica per unità di lunghezza, cioè considero la quantità $u_m=(B^2(r))/(2 \mu_0*L)$, con $L$ lunghezza del solenoide.
Ora viene in bello, nel senso che non so se sto facendo giusto. Per trovare l'espressione dell'energia devo integrare sul volumetto $d\tau$. Pongo $d \tau=\pi Rl dr$, e pertanto devo risolvere, per esempio per $r
Analogamente per l'altra regione dove c'è campo. Va bene oppure sbaglio qualcosa? Grazie per l'attenzione, qualsiasi consiglio o suggerimento è ben gradito
Domani con calma scrivo il testo del problema, che è il seguente:
Per i primi tre punti non , ci sono problemi, e ho avuto modo di constare la correttezza dei risultati
Quello che mi preme è capire bene l'ultimo
4. Come al solito, utilizzo il teorema di Ampère, tenendo presente che ogni solenoide possiede campo magnetico solo al suo interno, mentre all'esterno questo è nullo.
Nella regione interna al primo, che dirò $r
Per $r>R$, ovviamente $B(r)=0 T$.
A seconda della regione, calcolo l'energia magnetica per unità di lunghezza, cioè considero la quantità $u_m=(B^2(r))/(2 \mu_0*L)$, con $L$ lunghezza del solenoide.
Ora viene in bello, nel senso che non so se sto facendo giusto. Per trovare l'espressione dell'energia devo integrare sul volumetto $d\tau$. Pongo $d \tau=\pi Rl dr$, e pertanto devo risolvere, per esempio per $r
$ \int_{0}^{R_2}(B^2(r))/(2 \mu_0 L) \pi R_2L dr=(\mu_0pin^2(i+i_2)^2 R_{2}^{2})/2 $
Analogamente per l'altra regione dove c'è campo. Va bene oppure sbaglio qualcosa? Grazie per l'attenzione, qualsiasi consiglio o suggerimento è ben gradito
Risposte
Sarei curioso di sapere da dove arrivano questi tuoi problemi, anche in questo caso manca un dato, ovvero il verso della corrente nel secondo solenoide [nota]E inoltre manca il numero di spire per unità di lunghezza.[/nota].
Di conseguenza per rispondere al punto 4 dovrai essere tu a distinguere fra i due casi possibili.
Per quanto riguarda i calcoli, visto che il campo può essere ritenuto costante internamente ai solenoidi, non serve scomodare un integrale per l'energia, ma basta un prodotto fra energia specifica e volume; ... e in questo caso, passare per l'integrale ti ha fatto sbagliare "qualcosa", lascio a te scoprire l'errore, ... ma forse sono solo errori di battitura, visto il risultato finale
BTW Non è bello veder vedere una energia specifica ... per unità di lunghezza.
Di conseguenza per rispondere al punto 4 dovrai essere tu a distinguere fra i due casi possibili.
Per quanto riguarda i calcoli, visto che il campo può essere ritenuto costante internamente ai solenoidi, non serve scomodare un integrale per l'energia, ma basta un prodotto fra energia specifica e volume; ... e in questo caso, passare per l'integrale ti ha fatto sbagliare "qualcosa", lascio a te scoprire l'errore, ... ma forse sono solo errori di battitura, visto il risultato finale
BTW Non è bello veder vedere una energia specifica ... per unità di lunghezza.
Rieccomi! Grazie della risposta innanzitutto. Il verso di entrambe le correnti è positivo (concorde con l'asse $z$ diciamo).
In effetti, essendo $B(r)$ una quantità costante, basta moltiplicare per il volume del cilindro indefinito di lunghezza $L$ e raggio $R_2$, ottenendo, nella regione $r$\tau= \pi R_2^2 L$. Quindi ho che l'energia magnetica è data da $U_m=(\mu_0 n^2 (i+i_2)^2 \pi R_2^2)/2$
In effetti, essendo $B(r)$ una quantità costante, basta moltiplicare per il volume del cilindro indefinito di lunghezza $L$ e raggio $R_2$, ottenendo, nella regione $r
Non sono molto sicuro dell'elemento di volume infinitesimo che ho usato però... è lì il mio errore?
"feddy":
... Il verso di entrambe le correnti è positivo (concorde con l'asse $z$ diciamo).
Chi lo dice? Nel testo non lo vedo specificato; a mio parere devi quindi considerare sia il caso che i campi siano concordi sia che siano discordi.
"feddy":
... Non sono molto sicuro dell'elemento di volume infinitesimo che ho usato però... è lì il mio errore?
Si, ed inoltre sotto l'integrale ci va il raggio generico $r$, non $R_2$.
"RenzoDF":
[quote="feddy"]... Il verso di entrambe le correnti è positivo (concorde con l'asse $z$ diciamo).
Chi lo dice? Nel testo non lo vedo specificato; a mio parere devi quindi considerare sia il caso che i campi siano concorsi sia che siano discordi.[/quote]
Effettivamente lì non c'e scritto, però so che all'esame aveva detto di considerarla verso l'alto
Altrimenti, dovrei sommare algebricamente le due correnti, ottenendo espressioni diverse per $B(r)$: per esempio, per $i$ verso l'alto e $i_2$ verso il basso, nella regione di raggio $r"RenzoDF":
[[quote="feddy"]... Non sono molto sicuro dell'elemento di volume infinitesimo che ho usato però... è lì il mio errore?
Si, ed inoltre sotto l'integrale ci va il raggio generico $r$, non $R_2$.[/quote]
Quindi $d\tau=\pi r L dr$: sbaglio spesso questi elementi infintesimi
Ho un'altra domanda però: guardando sul libro, e su internet, non capisco la differenza tra Energia intrinseca della corrente e Energia magnetica.
Infatti nel punto 3. dell'esercizio ho dovuto usare l'espressione $U_L=1/2 L i^2$ ($L$ coefficiente di autoinduzione), per trovare l'energia immagazzinata nel solenoide.
Che differenza c'è tra quella calcolata nel punto 4. ?
So che la seconda si ricava dalla prima; inoltre mi pare che la seconda, essendo un integrale di volume, è una localizzazione della prima nello spazio.
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