Solenoide toroidale con spira quadrata concatenata
Salve a tutti,
Vi scrivo perchè sto preparando l'esame di Fisica 2 e sono incappato in questo esercizio. Vorrei sottoporvi un punto preciso dell'esercizio che non riesco a risolvere.
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Riporto di seguito i punti che sono riuscito a fare:
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Per quanto riguarda il punto C mi trovo in difficoltà a determinare la corrente indotta nella spira quadrata. Utilizzerei infatti la legge di Faraday-Neumann per determianare la forza elettromotrice indotta sulla spira come variazione temporale del flusso del campo magnetico concatenata con quest'ultima. Tuttavia non ho dipendenze temporali nè della corrente nè del campo magnetico. Come fare?
Vi prego di segnalarvi qualsiasi eventuale errore riscontrate. Un grande grazie per l'aiuto!
Vi scrivo perchè sto preparando l'esame di Fisica 2 e sono incappato in questo esercizio. Vorrei sottoporvi un punto preciso dell'esercizio che non riesco a risolvere.
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Riporto di seguito i punti che sono riuscito a fare:
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Per quanto riguarda il punto C mi trovo in difficoltà a determinare la corrente indotta nella spira quadrata. Utilizzerei infatti la legge di Faraday-Neumann per determianare la forza elettromotrice indotta sulla spira come variazione temporale del flusso del campo magnetico concatenata con quest'ultima. Tuttavia non ho dipendenze temporali nè della corrente nè del campo magnetico. Come fare?
Vi prego di segnalarvi qualsiasi eventuale errore riscontrate. Un grande grazie per l'aiuto!
Risposte
Ok per il calcolo della densità di volume, ma sei purtroppo caduto in quel banale errore che ipotizzavo, nella determinazione della corrente di volume. 
Controlla quell'integrale; è un tipo di errore che hai già fatto anche in precedenza.
... non ti sei chiesto come può la corrente essere funzione del generico raggio $r$, visto che consideriamo l'intera corona circolare
Controlla quell'integrale; è un tipo di errore che hai già fatto anche in precedenza.
... non ti sei chiesto come può la corrente essere funzione del generico raggio $r$, visto che consideriamo l'intera corona circolare
Se vuoi ti dico dove hai sbagliato, ma credo che avrai più soddisfazione a scoprirlo da solo, no?
No infatti continuo a dimenticarmi di r, ti chiedo scusa veramente. Dovrebbe essere così
\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} dS = \int_{a}^{b} dr\int_{0}^{2\pi}J_{mv} d\phi= \int_{a}^{b} 2\pi J_{mv} dr = 2\pi \gamma {Ni \over 2\pi} \int_{a}^{b} {1 \over r} dr = Ni \gamma ln({b \over a}) \)
\(\displaystyle \Rightarrow i_{mv} = Ni \gamma ln({b \over a}) \)
\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} dS = \int_{a}^{b} dr\int_{0}^{2\pi}J_{mv} d\phi= \int_{a}^{b} 2\pi J_{mv} dr = 2\pi \gamma {Ni \over 2\pi} \int_{a}^{b} {1 \over r} dr = Ni \gamma ln({b \over a}) \)
\(\displaystyle \Rightarrow i_{mv} = Ni \gamma ln({b \over a}) \)
No, non ci siamo ancora. 
A cosa è uguale quel dS
A cosa è uguale quel dS
Perdonami ma spiegami questa integrazione, che mi sto perdendo a quanto pare in una cosa semplice, ma non sto capendo.
$\text{d} S=2\pir \text{d} r$
Ok, stiamo integrando su questa corona circolare. Quindi:
\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} dS = \int_{a}^{b} J_{mv} 2\pi r dr =\int_{a}^{b} {Ni \over 2\pi r} \gamma 2\pi r dr = Ni \gamma (b-a) \)
\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} dS = \int_{a}^{b} J_{mv} 2\pi r dr =\int_{a}^{b} {Ni \over 2\pi r} \gamma 2\pi r dr = Ni \gamma (b-a) \)
BTW Sul tuo precedente tentativo avresti dovuto usare
$\text{d}S=text{d}r \ rtext{d}\phi$
Perfetto, ti ringrazio infinitamente davvero, per tutto! Grazie!
Continuando con la risoluzione del punto (c), ossia la determinazione del campo al centro della spira in diversi istanti di tempo, ho qualche dubbio. Sicuramente posso affermare che il campo magnetico totale al centro della spira sarà dato dalla somma del campo magnetico presente internamente al solenoide toroidale e il campo magnetico generato dalla corrente indotta sulla spira quadrata, che presenterà verso opposto al campo magnetico del solenoide. Tralasciando momentaneamente il contributo del campo magnetico del solenoide, per determinare il campo prodotto dalla corrente sulla spira, utilizzerei il seguente metodo: tale campo può essere scomposto in quattro contributi relativi a ciascun lato della spira quadrata. Ho svolto di recente un esercizio simile in cui si richiedeva il calcolo del campo magnetico al centro di una spira quadrata nel vuoto e per determinare tali contributi di ciascun lato della spira si utilizzava la legge di Biot-Savart:
\(\displaystyle \overline{B}(\overline{r}) = {\mu_{0} \over 4\pi} \int_{l'} I {dl' \times \Delta \overline{r} \over \Delta \overline{r}^{3}}\)
Tuttavia nell'esercizio in esame, il campo al centro della spira non è un campo magnetico nel vuoto bensì in un materiale magnetico, con permeabilità magnetica dipendente dalla distanza \(\displaystyle r \) dall'asse del toroide. Non posso quindi utilizzare la legge della magnetostatica nel vuoto (Biot-Savart). Come fare?
Continuando con la risoluzione del punto (c), ossia la determinazione del campo al centro della spira in diversi istanti di tempo, ho qualche dubbio. Sicuramente posso affermare che il campo magnetico totale al centro della spira sarà dato dalla somma del campo magnetico presente internamente al solenoide toroidale e il campo magnetico generato dalla corrente indotta sulla spira quadrata, che presenterà verso opposto al campo magnetico del solenoide. Tralasciando momentaneamente il contributo del campo magnetico del solenoide, per determinare il campo prodotto dalla corrente sulla spira, utilizzerei il seguente metodo: tale campo può essere scomposto in quattro contributi relativi a ciascun lato della spira quadrata. Ho svolto di recente un esercizio simile in cui si richiedeva il calcolo del campo magnetico al centro di una spira quadrata nel vuoto e per determinare tali contributi di ciascun lato della spira si utilizzava la legge di Biot-Savart:
\(\displaystyle \overline{B}(\overline{r}) = {\mu_{0} \over 4\pi} \int_{l'} I {dl' \times \Delta \overline{r} \over \Delta \overline{r}^{3}}\)
Tuttavia nell'esercizio in esame, il campo al centro della spira non è un campo magnetico nel vuoto bensì in un materiale magnetico, con permeabilità magnetica dipendente dalla distanza \(\displaystyle r \) dall'asse del toroide. Non posso quindi utilizzare la legge della magnetostatica nel vuoto (Biot-Savart). Come fare?
"Cosmoi":
... Tuttavia nell'esercizio in esame, il campo al centro della spira non è un campo magnetico nel vuoto bensì in un materiale magnetico, con permeabilità magnetica dipendente dalla distanza \(\displaystyle r \) dall'asse del toroide. Non posso quindi utilizzare la legge della magnetostatica nel vuoto (Biot-Savart). Come fare?
Bella domanda!
Bisognerebbe chiederlo all'estensore del problema come pensava di risolvere.
Ahahah, il bello è che era un esercizio dell'esame scritto
Non ti resta quindi che chiedere chiarimenti al professore, sarei davvero curioso di sentire cosa ti risponde.
"Cosmoi":
Ahahah, il bello è che era un esercizio dell'esame scritto
E suppongo che, come avviene regolarmente in H-demia, di soluzioni ufficiali dei temi d'esame non se ne parli proprio, vero?
In che ateneo stai studiando?
Fisica ed Astrofisica presso l'Università degli Studi di Firenze. Ovviamente non sono disponibili le soluzioni delle prove d'esame ahahah. Proverò a contattare il professore e se mi risponde posterò la soluzione. Ti ringrazio davvero per tutto il resto!
Forse l'idea dell'estensore era quella di andare a considerare i due circuiti come un mutuo induttore, che sarebbe in effetti il metodo più corretto di affrontare il problema, ma in questo caso: le due correnti dovevano essere ricavate da un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine, sarebbe stato possibile determinare il valore del flusso totale attraverso la sezione rettangolare del solenoide, ma comunque non il valore del campo totale al centro della bobina.
Spero solo che l'estensore non abbia avuto la "malsana" idea di ricavare il campo al centro della bobina quadrata, andando a moltiplicare il campo al centro della bobina in aria per la permeabilità relativa.
Ciao, ripensando ancora all'ultimo punto di questo esercizio, pensavo: ma non potremmo utilizzare il teorema di circuitazione di Ampère per il campo magnetico \(\displaystyle \overline{H} \) considerando la linea di circuitazione la circonferenza avente come raggio il raggio medio del toroide? Così facendo infatti avrei la corrente della spira che attraversa la superficie delimitata da tale linea con verso uscente (quindi positiva) e la corrente che scorre nella spira del solenoide invece entrante (quindi negativa).
Certo che puoi andare ad uguagliare la circuitazione di H alla corrente nella spira, ma questa relazione non ti permette di ottenere il valore del campo H al centro della spira in quanto H non risulta costante lungo la linea.
Perchè H non sarebbe costante lungo la linea? Se fisso il valore di H(r) ad \(\displaystyle r={b+a\over 2} \) mi trovo al centro della sezione del solenoide, no?
Perché con una unica spira, nemmeno "stretta" al nucleo e con una permeabilità relativa di quell'ordine di grandezza, il campo non può ipotizzarsi confinato nel solo nucleo ferromagnetico.
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