Solenoide toroidale con spira quadrata concatenata
Salve a tutti,
Vi scrivo perchè sto preparando l'esame di Fisica 2 e sono incappato in questo esercizio. Vorrei sottoporvi un punto preciso dell'esercizio che non riesco a risolvere.
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Riporto di seguito i punti che sono riuscito a fare:
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Per quanto riguarda il punto C mi trovo in difficoltà a determinare la corrente indotta nella spira quadrata. Utilizzerei infatti la legge di Faraday-Neumann per determianare la forza elettromotrice indotta sulla spira come variazione temporale del flusso del campo magnetico concatenata con quest'ultima. Tuttavia non ho dipendenze temporali nè della corrente nè del campo magnetico. Come fare?
Vi prego di segnalarvi qualsiasi eventuale errore riscontrate. Un grande grazie per l'aiuto!
Vi scrivo perchè sto preparando l'esame di Fisica 2 e sono incappato in questo esercizio. Vorrei sottoporvi un punto preciso dell'esercizio che non riesco a risolvere.
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Riporto di seguito i punti che sono riuscito a fare:
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Per quanto riguarda il punto C mi trovo in difficoltà a determinare la corrente indotta nella spira quadrata. Utilizzerei infatti la legge di Faraday-Neumann per determianare la forza elettromotrice indotta sulla spira come variazione temporale del flusso del campo magnetico concatenata con quest'ultima. Tuttavia non ho dipendenze temporali nè della corrente nè del campo magnetico. Come fare?
Vi prego di segnalarvi qualsiasi eventuale errore riscontrate. Un grande grazie per l'aiuto!
Risposte
"Cosmoi":
Tuttavia non ho dipendenze temporali nè della corrente nè del campo magnetico. Come fare?
Il solenoide ha una induttanza e una resistenza, quando lo colleghi al generatore la corrente non sale istantaneamente al valore limite, ma sale con la nota legge esponenziale, che ti dà la dipendenza dal tempo che ti serve
Giustissimo! Ti ringrazio per la risposta! Procederei così allora:
Dalla seconda legge di Kirchoff posso affermare che per il solenoide si ha:
\(\displaystyle
R N i = \epsilon + f_{a} = \epsilon - L {d\over dt}(N i) \)
Indicando poi con I la corrente totale che scorre nel solenoide si ha:
\(\displaystyle R I = \epsilon - L{d \over dt}I \)
\(\displaystyle \rightarrow I + {L \over R} {d \over dt} I = {\epsilon \over R} \)
\(\displaystyle I + \tau {d \over dt} I = I_{m} \) , con \(\displaystyle \tau = {L\over R} \) e \(\displaystyle I_{m} = {\epsilon \over R} \)
Separando le variabili, integrando e passando in forma esponenziale, dopo aver imposto la condizione iniziale che la corrente nel solenoide per \(\displaystyle t=0 \) è \(\displaystyle I=0 \), si ottiene:
\(\displaystyle I = {\epsilon \over R} (1-e^{({-R \over L}t)}) \)
Posso ora applicare la legge di Farady-Neumann e ricavare la corrente indotta nella spira quadrata come:
\(\displaystyle I' =- {1\over \rho} {d \over dt}(\Phi (\overline{B})) \)
Il flusso di B attraverso l'area delimitata dalla spira quadrata è:
\(\displaystyle \Phi (\overline{B}) = l^{2} {\mu_{0} \mu_{r} I \over 2 \pi r} \)
La corrente I' indotta nella spira è dunque:
\(\displaystyle I' = -{1 \over \rho} {\mu_{0} \mu_{r} l^{2} \over 2 \pi r} {\epsilon \over L} e^{-{R \over L}t} \)
giusto?
Dalla seconda legge di Kirchoff posso affermare che per il solenoide si ha:
\(\displaystyle
R N i = \epsilon + f_{a} = \epsilon - L {d\over dt}(N i) \)
Indicando poi con I la corrente totale che scorre nel solenoide si ha:
\(\displaystyle R I = \epsilon - L{d \over dt}I \)
\(\displaystyle \rightarrow I + {L \over R} {d \over dt} I = {\epsilon \over R} \)
\(\displaystyle I + \tau {d \over dt} I = I_{m} \) , con \(\displaystyle \tau = {L\over R} \) e \(\displaystyle I_{m} = {\epsilon \over R} \)
Separando le variabili, integrando e passando in forma esponenziale, dopo aver imposto la condizione iniziale che la corrente nel solenoide per \(\displaystyle t=0 \) è \(\displaystyle I=0 \), si ottiene:
\(\displaystyle I = {\epsilon \over R} (1-e^{({-R \over L}t)}) \)
Posso ora applicare la legge di Farady-Neumann e ricavare la corrente indotta nella spira quadrata come:
\(\displaystyle I' =- {1\over \rho} {d \over dt}(\Phi (\overline{B})) \)
Il flusso di B attraverso l'area delimitata dalla spira quadrata è:
\(\displaystyle \Phi (\overline{B}) = l^{2} {\mu_{0} \mu_{r} I \over 2 \pi r} \)
La corrente I' indotta nella spira è dunque:
\(\displaystyle I' = -{1 \over \rho} {\mu_{0} \mu_{r} l^{2} \over 2 \pi r} {\epsilon \over L} e^{-{R \over L}t} \)
giusto?
Direi di sì
Perfetto, ti ringrazio ancora!
"Cosmoi":
... giusto?
Direi di no; la resistenza $R$ fornita è chiaramente quella dell'intero avvolgimento [nota]Composto dall'insieme delle N spire.[/nota] e così pure l'induttanza $L$ [nota]Da determinare.[/nota] la dovrai considerare relativa a tutto l'avvolgimento, nel quale la corrente $i$ è poi unica.
Inoltre il flusso attraverso la spira quadrata, in generale, dovresti determinarlo per via integrale, visto che il campo B normalmente risulterebbe funzione del raggio r e solo grazie a quella dipendenza della permeabilità relativa dal raggio potrai evitare questo calcolo; ovviamente il flusso sarà quello attraverso la sola sezione rettangolare del toro ferromagnetico, ed è quindi errato considerare l'intera superficie della spira quadrata.
NB Non commento i tuoi tre fogli risolutivi, sia per ragioni di tempo, sia per ragioni di "vista".
Ciao, ti ringrazio per la risposta. Effettivamente avevo un dubbio relativo al flusso del campo magnetico attraverso l'intera superficie della spira, sono d'accordo che va considerata l'area della sezione del solenoide. Non ho capito tuttavia la prima parte della risposta. Mi sembra infatti di aver considerato la resistenza R totale dell'intero solenoide e la corrente I totale che scorre al suo interno. Probabilmente mi sto perdendo io, ma non ho capito.
Intendo dire che, detta $i$ la corrente entrante nel solenoide, che attraversa quindi tutte le N spire dell'avvolgimento, $R$ e $L$ la resistenza e l'induttanza del solenoide, la relazione differenziale sarà
\(\displaystyle
Ri = \epsilon - L {di\over dt} \)
che porterà a
$ i(t) = \epsilon /R (1-e^{ -R /L t }) $
Ovvero, la "corrente totale I", non deve essere considerata in questa determinazione ma eventualmente solo per ricavare il campo B o H, allorchè non si dia per nota la loro espressione.
Per quanto riguarda l'andamento del campo magnetizzante $H$, del campo magnetico $B$ e della magnetizzazione $M$, sul tratto $a\ltr\ltb$, avrai per il primo un andamento inversamente proporzionale a $r$, per il secondo un andamento costante e per il terzo un andamento crescente; tutti e tre presenteranno ovviamente valore nullo esternamente al suddetto intervallo e delle discontinuità in corrispondenza agli estremi, causate dalla corrente di conduzione per $H$ e dalle correnti di magnetizzazione superficiale e di volume per $M$, che porteranno entrambe alle discontinuità per $B$.
\(\displaystyle
Ri = \epsilon - L {di\over dt} \)
che porterà a
$ i(t) = \epsilon /R (1-e^{ -R /L t }) $
Ovvero, la "corrente totale I", non deve essere considerata in questa determinazione ma eventualmente solo per ricavare il campo B o H, allorchè non si dia per nota la loro espressione.
Per quanto riguarda l'andamento del campo magnetizzante $H$, del campo magnetico $B$ e della magnetizzazione $M$, sul tratto $a\ltr\ltb$, avrai per il primo un andamento inversamente proporzionale a $r$, per il secondo un andamento costante e per il terzo un andamento crescente; tutti e tre presenteranno ovviamente valore nullo esternamente al suddetto intervallo e delle discontinuità in corrispondenza agli estremi, causate dalla corrente di conduzione per $H$ e dalle correnti di magnetizzazione superficiale e di volume per $M$, che porteranno entrambe alle discontinuità per $B$.
Ciao, ti ringrazio per la risposta. Tuttavia continua a non tornarmi la soluzione. Per quanto riguarda la relazione differenziale non mi torna che si consideri la corrente che scorre nella singola spira, visto che la resistenza considerata è invece quella dell'intero solenoide, avevo infatti considerato la corrente totale \(\displaystyle Ni \). Vedo che comunque l'espressione temporale della corrente viene la stessa anche a me, con appunto l'unica differenza di aver considerato la corrente totale. Potresti spiegarmi dove sto sbagliando nel ragionamento?
Per quanto riguarda invece l'andamento di B, H ed M, che ho ricavato nei fogli riportati, ottengo una dipendenza dalla distanza r dall'asse del toroide per tutti e tre. Tale dipendenza è sempre inversamente proporzionale alla distanza r. Direi quindi che sia il campo H che il campo B sono nulli al di fuori del solenoide, mentre all'interno di questo, cioè per \(\displaystyle a< r < b \), entrambi hanno un andamento decrescente, visto che B è ricavibile da H tramite la seguente relazione:
\(\displaystyle B = \mu H \) con \(\displaystyle H ={ Ni \over 2\pi r} \)
Infine non mi torna il fatto che M sia crescente, dato che l'ho ricavato anche questo dalla relazione:
\(\displaystyle M = {B\over \mu_{o}} - H \)
Ti chiedo scusa se posso non essere stato chiaro e ti ringrazio di cuore in anticipo per l'aiuto!
Per quanto riguarda invece l'andamento di B, H ed M, che ho ricavato nei fogli riportati, ottengo una dipendenza dalla distanza r dall'asse del toroide per tutti e tre. Tale dipendenza è sempre inversamente proporzionale alla distanza r. Direi quindi che sia il campo H che il campo B sono nulli al di fuori del solenoide, mentre all'interno di questo, cioè per \(\displaystyle a< r < b \), entrambi hanno un andamento decrescente, visto che B è ricavibile da H tramite la seguente relazione:
\(\displaystyle B = \mu H \) con \(\displaystyle H ={ Ni \over 2\pi r} \)
Infine non mi torna il fatto che M sia crescente, dato che l'ho ricavato anche questo dalla relazione:
\(\displaystyle M = {B\over \mu_{o}} - H \)
Ti chiedo scusa se posso non essere stato chiaro e ti ringrazio di cuore in anticipo per l'aiuto!
La corrente $i$, fornita dal generatore, scorre in tutte le spire del solenoide, visto che sono parte dello stesso conduttore avvolto intorno al toro ferromagnetico, quindi la corrente è unica nell'unico circuito costituito dal generatore e dal solenoide.
Ok per H, ma il campo magnetico B, dipendendo dalla permeabilità relativa, che dai dati è indicata proporzionale al raggio $\mu_r=\gamma r$, sarà indipendente dal raggio stesso.
Ok per H, ma il campo magnetico B, dipendendo dalla permeabilità relativa, che dai dati è indicata proporzionale al raggio $\mu_r=\gamma r$, sarà indipendente dal raggio stesso.
Giustissimo! Che distrazione enorme, mi ero dimenticato di sostituire \(\displaystyle \mu_r \) con \(\displaystyle \gamma r \) ed effettivamente H è inversamente proporzionale ad r, mentre B è costante ed M è crescente rispetto ad r. Mentre ok ho capito il fatto della corrente, che è unica nell'intero circuito, mi stavo perdendo nel nulla! Grazie davvero!
Di nulla.
Se hai tempo, quando hai completato la tua soluzione, sarebbe utile, per i futuri lettori, postarla interamente, anche se in forma sintetica, ma in formato TeX, non in formato "foglio".
Se hai tempo, quando hai completato la tua soluzione, sarebbe utile, per i futuri lettori, postarla interamente, anche se in forma sintetica, ma in formato TeX, non in formato "foglio".
Riporto di seguito la soluzione dell'esericizio fin dove sono arrivato:
a)
Poichè è presente un materiale magnetico all'interno del solenoide toroidale, possiamo subito affermare che il campo di induzione magnetica B sarà generato non solo dalle correnti di conduzione ma anche da quelle di magnetizzazione; conviene quindi utilizzare il teorema di circuitazione di Ampère relativo al vettore campo magnetico H, generato invece dalle sole correnti di conduzione:
\(\displaystyle \int_l \overline{H} d\overline{l} = \sum_{k} i_{k} \)
Si osserva subito che considerando una linea chiusa \(\displaystyle l \) circolare di centro O e raggio \(\displaystyle r \), con \(\displaystyle r>b \) o \(\displaystyle r
\(\displaystyle \int_l \overline{H} d\overline{l} = \sum_{k} i_{k} = Ni \)
\(\displaystyle \Rightarrow H(r) 2\pi r = Ni \)
\(\displaystyle \Rightarrow H(r) = {Ni \over 2\pi r} \)
Una volta determinato il campo magnetico H interno al solenoide, il cui modulo è inversamente proporzionale alla distanza r dall'asse del toroide, possiamo determinare il campo induzione magnetica B secondo la seguente relazione:
\(\displaystyle B = \mu H = \mu_{0} \mu_{r} H = \mu_{0} \gamma r H(r) \)
\(\displaystyle \Rightarrow B = \mu_{0} \gamma {Ni \over 2\pi} \)
Di conseguenza osserviamo che il campo di induzione magnetica B è nullo, proprio come H, esternamente al solenoide, mentre assume valore costante al suo interno. Entrambi i campi sono diretti lungo il versore \(\displaystyle \hat{\phi} \), rispetto al sistema di coordinate cilindrico con asse z e centro O nel centro del toroide.
b)
Per determinare le correnti di magnetizzazione, dobbiamo anzitutto determinare la magnetizzazione M, ricavabile dalla seguente relazione:
\(\displaystyle M = {B \over \mu_{0}} - H \Rightarrow M = \gamma r {Ni \over 2\pi r} - {Ni \over 2\pi r} = {Ni \over 2\pi r} (\gamma r -1) = {Ni \over 2\pi r} (r(\gamma -{1\over r})) \Rightarrow M = {Ni \over 2\pi}(\gamma - {1\over r}) \)
Osserviamo quindi che il modulo del vettore magnetizzazione (diretto anch'esso lungo \(\displaystyle \hat{\phi} \)), cresce al variare di r. Una volta determinato M possiamo passare a determinare le densità di corrente di magnetizzazione di superficie e di volume, quest'ultima comporta la presenza di correnti di magnetizzazione volumiche dovute alla non omogeneità del vettore magnetizzazione M. Le relazioni sono le seguenti:
\(\displaystyle \overline{J_{ms}} = \overline{M} \times \hat{n} \) e \(\displaystyle \overline{J_{mv}} = \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} \)
Osserviamo che \(\displaystyle \overline{M} \) e \(\displaystyle \hat{n} \) sono tra loro ortogonali, di conseguenza il loro prodotto vettoriale dà come risultato il modulo M. Possiamo subito determinare la corrente di magnetizzazione di superficie:
\(\displaystyle i_{ms} = \int_l M d\overline{l} = M 2\pi r = Ni(\gamma -{1\over r}) r \Rightarrow i_{ms} = (\gamma r - 1) Ni \)
Passiamo a determinare \(\displaystyle \overline{J_{mv}} \):
\(\displaystyle \overline{J_{mv}} = \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \hat{k}[-(\mu_{r} -1) {Ni \over 2\pi r^{2}}] \)
Passando ora all'integrale di superficie per il calcolo della corrente di magnetizzazione di volume, si osserva che il vettore \(\displaystyle \overline{J_{mv}} \) è parallelo al versore \(\displaystyle \hat{n} \) normale alla superficie considerata:
\(\displaystyle i_{mv}= \int_{S} \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} d\overline{S} = \pi r^{2} [ -( \mu_{r} -1) {Ni \over 2\pi r^{2}}] = -( \mu_{r} -1) {Ni \over 2} \Rightarrow i_{mv} = -(\gamma r -1){Ni \over 2} \)
c)
Bisogna osservare che, una volta collegato il solenoide al generatore di tensione \(\displaystyle \epsilon \), la corrente che vi inizia a circolare non raggiunge immediatamente il proprio valore limite, ma mostra una crescita dipendente dal tempo di tipo esponenziale. Di fatti si genera all'interno del solenoide una forza di autoinduzione oltre che la forza elettromotrice del generatore. Dalla seconda legge di Kirchoff otteniamo:
\(\displaystyle R i = \epsilon + f_{a} = \epsilon - L{di \over dt} \)
Separando le variabili, integrando, imponendo la condizione iniziale che vede \(\displaystyle i(t) =0 \) per \(\displaystyle t=0 \) e passando in forma esponenziale otteniamo la seguente espressione della corrente:
\(\displaystyle i(t) = {\epsilon \over R}(1-e^{-{R\over L} t}) \)
La spira quadrata concatenata, subirà dunque un'induzione magnetica che comporterà il generarsi di una corrente \(\displaystyle I' \), opposta alla corrente che scorre nel solenoide, che a sua volta genererà un campo \(\displaystyle B' \) opposto in direzione e verso a quello del solenoide. Dalla legge di Faraday-Neumann avremo che:
\(\displaystyle f_{i} = I' \rho = -{d \Phi(\overline(B)) \over dt} \Rightarrow I' = -{1 \over \rho} {d\Phi(\overline{B}) \over dt} \)
Nel calcolo del flusso di B dobbiamo tenere presente che la superficie attraverso la quale verrà calcolato il flusso non è quella dell'intera spira quadrata, bensì quella della sezione del toroide, unica zona all'interno di quella delimitata dalla spira quadrata in cui è presente il campo B, dunque:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B}) = \int_{A} \overline{B} d\overline{A} = \int_{A} \overline{B} \hat{n} dA \)
Si osserva subito che B ed n sono tra loro paralleli, quindi:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B}) = B(r) h(b-a) = {\mu_{0} \gamma N \over 2\pi} h(b-a) i(t) \)
Da qui, tramite la legge di Faraday Neumann otteniamo infine la corrente indotta nella spira quadrata come:
\(\displaystyle I' = -{1 \over \rho} {\mu_{0} \gamma N \over 2\pi} h(b-a) {di(t) \over dt} \)
Vi prego di segnalare qualsiasi errore possa aver commesso, grazie ancora per l'aiuto!
a)
Poichè è presente un materiale magnetico all'interno del solenoide toroidale, possiamo subito affermare che il campo di induzione magnetica B sarà generato non solo dalle correnti di conduzione ma anche da quelle di magnetizzazione; conviene quindi utilizzare il teorema di circuitazione di Ampère relativo al vettore campo magnetico H, generato invece dalle sole correnti di conduzione:
\(\displaystyle \int_l \overline{H} d\overline{l} = \sum_{k} i_{k} \)
Si osserva subito che considerando una linea chiusa \(\displaystyle l \) circolare di centro O e raggio \(\displaystyle r \), con \(\displaystyle r>b \) o \(\displaystyle r
\(\displaystyle \int_l \overline{H} d\overline{l} = \sum_{k} i_{k} = Ni \)
\(\displaystyle \Rightarrow H(r) 2\pi r = Ni \)
\(\displaystyle \Rightarrow H(r) = {Ni \over 2\pi r} \)
Una volta determinato il campo magnetico H interno al solenoide, il cui modulo è inversamente proporzionale alla distanza r dall'asse del toroide, possiamo determinare il campo induzione magnetica B secondo la seguente relazione:
\(\displaystyle B = \mu H = \mu_{0} \mu_{r} H = \mu_{0} \gamma r H(r) \)
\(\displaystyle \Rightarrow B = \mu_{0} \gamma {Ni \over 2\pi} \)
Di conseguenza osserviamo che il campo di induzione magnetica B è nullo, proprio come H, esternamente al solenoide, mentre assume valore costante al suo interno. Entrambi i campi sono diretti lungo il versore \(\displaystyle \hat{\phi} \), rispetto al sistema di coordinate cilindrico con asse z e centro O nel centro del toroide.
b)
Per determinare le correnti di magnetizzazione, dobbiamo anzitutto determinare la magnetizzazione M, ricavabile dalla seguente relazione:
\(\displaystyle M = {B \over \mu_{0}} - H \Rightarrow M = \gamma r {Ni \over 2\pi r} - {Ni \over 2\pi r} = {Ni \over 2\pi r} (\gamma r -1) = {Ni \over 2\pi r} (r(\gamma -{1\over r})) \Rightarrow M = {Ni \over 2\pi}(\gamma - {1\over r}) \)
Osserviamo quindi che il modulo del vettore magnetizzazione (diretto anch'esso lungo \(\displaystyle \hat{\phi} \)), cresce al variare di r. Una volta determinato M possiamo passare a determinare le densità di corrente di magnetizzazione di superficie e di volume, quest'ultima comporta la presenza di correnti di magnetizzazione volumiche dovute alla non omogeneità del vettore magnetizzazione M. Le relazioni sono le seguenti:
\(\displaystyle \overline{J_{ms}} = \overline{M} \times \hat{n} \) e \(\displaystyle \overline{J_{mv}} = \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} \)
Osserviamo che \(\displaystyle \overline{M} \) e \(\displaystyle \hat{n} \) sono tra loro ortogonali, di conseguenza il loro prodotto vettoriale dà come risultato il modulo M. Possiamo subito determinare la corrente di magnetizzazione di superficie:
\(\displaystyle i_{ms} = \int_l M d\overline{l} = M 2\pi r = Ni(\gamma -{1\over r}) r \Rightarrow i_{ms} = (\gamma r - 1) Ni \)
Passiamo a determinare \(\displaystyle \overline{J_{mv}} \):
\(\displaystyle \overline{J_{mv}} = \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \hat{k}[-(\mu_{r} -1) {Ni \over 2\pi r^{2}}] \)
Passando ora all'integrale di superficie per il calcolo della corrente di magnetizzazione di volume, si osserva che il vettore \(\displaystyle \overline{J_{mv}} \) è parallelo al versore \(\displaystyle \hat{n} \) normale alla superficie considerata:
\(\displaystyle i_{mv}= \int_{S} \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} d\overline{S} = \pi r^{2} [ -( \mu_{r} -1) {Ni \over 2\pi r^{2}}] = -( \mu_{r} -1) {Ni \over 2} \Rightarrow i_{mv} = -(\gamma r -1){Ni \over 2} \)
c)
Bisogna osservare che, una volta collegato il solenoide al generatore di tensione \(\displaystyle \epsilon \), la corrente che vi inizia a circolare non raggiunge immediatamente il proprio valore limite, ma mostra una crescita dipendente dal tempo di tipo esponenziale. Di fatti si genera all'interno del solenoide una forza di autoinduzione oltre che la forza elettromotrice del generatore. Dalla seconda legge di Kirchoff otteniamo:
\(\displaystyle R i = \epsilon + f_{a} = \epsilon - L{di \over dt} \)
Separando le variabili, integrando, imponendo la condizione iniziale che vede \(\displaystyle i(t) =0 \) per \(\displaystyle t=0 \) e passando in forma esponenziale otteniamo la seguente espressione della corrente:
\(\displaystyle i(t) = {\epsilon \over R}(1-e^{-{R\over L} t}) \)
La spira quadrata concatenata, subirà dunque un'induzione magnetica che comporterà il generarsi di una corrente \(\displaystyle I' \), opposta alla corrente che scorre nel solenoide, che a sua volta genererà un campo \(\displaystyle B' \) opposto in direzione e verso a quello del solenoide. Dalla legge di Faraday-Neumann avremo che:
\(\displaystyle f_{i} = I' \rho = -{d \Phi(\overline(B)) \over dt} \Rightarrow I' = -{1 \over \rho} {d\Phi(\overline{B}) \over dt} \)
Nel calcolo del flusso di B dobbiamo tenere presente che la superficie attraverso la quale verrà calcolato il flusso non è quella dell'intera spira quadrata, bensì quella della sezione del toroide, unica zona all'interno di quella delimitata dalla spira quadrata in cui è presente il campo B, dunque:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B}) = \int_{A} \overline{B} d\overline{A} = \int_{A} \overline{B} \hat{n} dA \)
Si osserva subito che B ed n sono tra loro paralleli, quindi:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B}) = B(r) h(b-a) = {\mu_{0} \gamma N \over 2\pi} h(b-a) i(t) \)
Da qui, tramite la legge di Faraday Neumann otteniamo infine la corrente indotta nella spira quadrata come:
\(\displaystyle I' = -{1 \over \rho} {\mu_{0} \gamma N \over 2\pi} h(b-a) {di(t) \over dt} \)
Vi prego di segnalare qualsiasi errore possa aver commesso, grazie ancora per l'aiuto!
Mi sembra tutto ok, escludendo la parte relativa alla densità di corrente volumetrica e alla conseguente corrente.
NB La relazione per il campo magnetizzante H direi che si poteva considerare nota, senza andare a ricavarsela e dovresti specificare come ricavare in coefficiente di autoinduzione.
Resta poi da determinare i campi richiesti in c), ne basta ovviamente uno dei tre.
NB La relazione per il campo magnetizzante H direi che si poteva considerare nota, senza andare a ricavarsela e dovresti specificare come ricavare in coefficiente di autoinduzione.
Resta poi da determinare i campi richiesti in c), ne basta ovviamente uno dei tre.
Ok, perchè non dovrebbe tornare la parte relativa alla corrente di magnetizzazione di volume? Ho ragionato pensando che poichè la magnetizzazione non è uniforme, ossia dipende anch'essa dalla distanza r dall'asse del toroide, saranno sicuramente presenti correnti di magnetizzazione volumiche.
Per quanto riguarda il coefficiente di autoinduzione \(\displaystyle L \) è definito come:
\(\displaystyle L = {\Phi(\overline{B}) \over i} \)
dove con \(\displaystyle \Phi(\overline{B}) \) è il flusso concatenato del campo B con ciascuna spira del solenoide, quindi:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B}) = B N S \) con \(\displaystyle S = h(b-a)= h(b-a) \)
mentre \(\displaystyle i \) rappresenta la corrente che scorre nel solenoide.
L'ultimo punto lo sto ancora svolgendo.
Per quanto riguarda il coefficiente di autoinduzione \(\displaystyle L \) è definito come:
\(\displaystyle L = {\Phi(\overline{B}) \over i} \)
dove con \(\displaystyle \Phi(\overline{B}) \) è il flusso concatenato del campo B con ciascuna spira del solenoide, quindi:
\(\displaystyle \Phi(\overline{B}) = B N S \) con \(\displaystyle S = h(b-a)= h(b-a) \)
mentre \(\displaystyle i \) rappresenta la corrente che scorre nel solenoide.
L'ultimo punto lo sto ancora svolgendo.
"Cosmoi":
Ok, perchè non dovrebbe tornare la parte relativa alla corrente di magnetizzazione di volume? Ho ragionato pensando che poichè la magnetizzazione non è uniforme, ossia dipende anch'essa dalla distanza r dall'asse del toroide, saranno sicuramente presenti correnti di magnetizzazione volumiche.
Certo che sì, io intendevo dire che non mi sembra corretta la sua determinazione.
"Cosmoi":
Per quanto riguarda il coefficiente di autoinduzione \(\displaystyle L \) è definito come:
\(\displaystyle L = {\Phi(\overline{B}) \over i} \) ...
Ok, ma dovresti precisare che il flusso, in questo caso, è quello concatenato, N volte il "normale" flusso
\(\displaystyle L = {\Phi_C(\overline{B}) \over i} \)
come hai poi correttamente considerato.
Si giusto hai ragione, intendevo comunque il flusso concatenato con l'intero circuito, quindi N volte il flusso "normale".
Ti riporto di seguito il calcolo che ho eseguito per le correnti di magnetizzazione di volume:
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \overline{J_{mv}} \)
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \overline{\bigtriangledown} \times (\mu_{r} -1) \overline{H} = (\mu_{r} -1) \overline{\bigtriangledown} \times \overline{H} \) , con \(\displaystyle \overline{H} = H \hat{\phi} \)
Quindi:
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{H} = \hat{r} [-{\partial \over \partial z}({Ni \over 2\pi r})] -(0) \hat{\phi} + \hat{z}[{\partial \over \partial r}({Ni \over 2\pi r})] = 0 +\hat{z}[{\partial \over \partial r}({Ni \over 2\pi r})]= \hat{z} [-{Ni \over 2\pi r^{2}}] \)
\(\displaystyle \Rightarrow \overline{J_{mv}} = -(\mu_{r} -1) {Ni \over 2\pi r^{2}} \hat{z} \)
Consideriamo ora la superficie circolare di raggio \(\displaystyle r \) e centro sull'asse del toroide, con versore normale \(\displaystyle \hat{n} \) parallelo quindi all'asse z, per l'integrale di superficie della densità di corrente volumica che identifica la corrente di magnetizzazione volumica:
\(\displaystyle i_{mv} = \int_{S} \overline{J_{mv}} d\overline{S} = \int_{S} J_{mv} \hat{z} \hat{n} dS = \int_{S} J_{mv} dS = \pi r^{2} J_{mv} = -(\mu_{r} -1) {Ni \over 2} \)
\(\displaystyle \Rightarrow i_{mv} =-(\mu_{r} -1) {Ni \over 2} \)
Spero di aver concluso qualcosa di buono stavolta
Ti riporto di seguito il calcolo che ho eseguito per le correnti di magnetizzazione di volume:
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \overline{J_{mv}} \)
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \overline{\bigtriangledown} \times (\mu_{r} -1) \overline{H} = (\mu_{r} -1) \overline{\bigtriangledown} \times \overline{H} \) , con \(\displaystyle \overline{H} = H \hat{\phi} \)
Quindi:
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{H} = \hat{r} [-{\partial \over \partial z}({Ni \over 2\pi r})] -(0) \hat{\phi} + \hat{z}[{\partial \over \partial r}({Ni \over 2\pi r})] = 0 +\hat{z}[{\partial \over \partial r}({Ni \over 2\pi r})]= \hat{z} [-{Ni \over 2\pi r^{2}}] \)
\(\displaystyle \Rightarrow \overline{J_{mv}} = -(\mu_{r} -1) {Ni \over 2\pi r^{2}} \hat{z} \)
Consideriamo ora la superficie circolare di raggio \(\displaystyle r \) e centro sull'asse del toroide, con versore normale \(\displaystyle \hat{n} \) parallelo quindi all'asse z, per l'integrale di superficie della densità di corrente volumica che identifica la corrente di magnetizzazione volumica:
\(\displaystyle i_{mv} = \int_{S} \overline{J_{mv}} d\overline{S} = \int_{S} J_{mv} \hat{z} \hat{n} dS = \int_{S} J_{mv} dS = \pi r^{2} J_{mv} = -(\mu_{r} -1) {Ni \over 2} \)
\(\displaystyle \Rightarrow i_{mv} =-(\mu_{r} -1) {Ni \over 2} \)
Spero di aver concluso qualcosa di buono stavolta
Scusa ma non puoi fare in quel modo in quanto la permeabilità relativa è funzione di r ed inoltre, visto che qui dobbiamo usare un sistema di riferimento in coordinate cilindriche, dato che la sola componente non nulla del vettore magnetizzazione è $M_\phi$ avremo che
$\nabla\times \vec M = \frac{1}{r}\frac{\partial ( r M_\phi)}{\partial r}\hat z$
e nemmeno quella che successivamente hai indicato per la determinazione della corrente di magnetizzazione volumica è la superficie da considerare.
$\nabla\times \vec M = \frac{1}{r}\frac{\partial ( r M_\phi)}{\partial r}\hat z$
e nemmeno quella che successivamente hai indicato per la determinazione della corrente di magnetizzazione volumica è la superficie da considerare.
No, ti devo chiedere scusa io che continuo a dimenticarmi che la permeabilità magnetica relativa dipende da \(\displaystyle r \) e che non ho considerato il rotore in coordinate cilindriche. La superficie da considerare quale sarebe dunque? La superficie del toroide?
La superficie da considerare è quella della corona circolare di raggio interno a e raggio esterno b, ma ti consiglio di andare prima a ricavare la densità di corrente volumetrica, per non cadere in un banale errore.
Per il controllo del risultato, potresti andare a rideterminare la relazione B(r), considerarando il contributo complessivo delle tre correnti: di conduzione, di superficie e di volume, concatenate con la generica circonferenza di raggio r.
Per il controllo del risultato, potresti andare a rideterminare la relazione B(r), considerarando il contributo complessivo delle tre correnti: di conduzione, di superficie e di volume, concatenate con la generica circonferenza di raggio r.
Ok, anzitutto grazie davvero per la pazienza. Vorrei capire quale è il criterio nella scelta della superficie per il calcolo della corrente di magnetizzazione volumica.
In ogni caso ripetendo i calcoli, ottengo:
\(\displaystyle \overline{M} = {Ni\over 2\pi}(\gamma -{1 \over r}) \hat{\phi} \)
quindi:
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \hat{z} {1 \over r}( {\partial \over \partial r}(rM_{\phi})) = {1 \over r} [{\partial \over \partial r}({Ni \over 2\pi}\gamma r -{Ni \over 2\pi})] \hat{z} = {Ni \over 2\pi r} \gamma \hat{z}\)
Considerando ora la corona circolare di raggio interno \(\displaystyle a \) e raggio esterno \(\displaystyle b \), il cui versore normale \(\displaystyle \hat{n} \) è parallelo all'asse z, otteniamo che:
\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} \hat{z} \hat{n} dS = \int_{S} J_{mv} dS = {Ni \over 2\pi r} \gamma [\pi (b^{2} - a^{2})] \)
\(\displaystyle i_{mv} = {Ni \over 2r} \gamma (b^{2} - a^{2}) \)
In ogni caso ripetendo i calcoli, ottengo:
\(\displaystyle \overline{M} = {Ni\over 2\pi}(\gamma -{1 \over r}) \hat{\phi} \)
quindi:
\(\displaystyle \overline{\bigtriangledown} \times \overline{M} = \hat{z} {1 \over r}( {\partial \over \partial r}(rM_{\phi})) = {1 \over r} [{\partial \over \partial r}({Ni \over 2\pi}\gamma r -{Ni \over 2\pi})] \hat{z} = {Ni \over 2\pi r} \gamma \hat{z}\)
Considerando ora la corona circolare di raggio interno \(\displaystyle a \) e raggio esterno \(\displaystyle b \), il cui versore normale \(\displaystyle \hat{n} \) è parallelo all'asse z, otteniamo che:
\(\displaystyle \int_{S} J_{mv} \hat{z} \hat{n} dS = \int_{S} J_{mv} dS = {Ni \over 2\pi r} \gamma [\pi (b^{2} - a^{2})] \)
\(\displaystyle i_{mv} = {Ni \over 2r} \gamma (b^{2} - a^{2}) \)
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