Simmetrie nell'Universo di Godel
Buonasera a tutti,
sono un laureando di Matematica; sto terminando la tesi che verte su:
- introduzione relatività ristretta e generale;
- modello cosmologico FLRW (standard)
- modello cosmologico di Godel (universo rotante)
In quest'ultima parte, mi è stato detto di studiare il lavoro fatto da Chandrasekar, "The Geodesics in Godel’s Universe". In questo articolo, egli va a calcolare esplicitamente le soluzioni per le geodetiche usando la metrica di Godel.
Per farlo, sfrutta ("evidentemente", secondo il mio relatore) le 5 simmetrie che l'universo di Godel possiede.
Tre di queste simmetrie sono le seguenti:
- rotazione nella variabile angolare: [tex]\phi \rightarrow \phi + \phi_0[/tex];
- traslazione nel tempo:[tex]t \rightarrow t + t_0[/tex];
- traslazione lungo l’asse z: [tex]z \rightarrow z+z_0[/tex].
Le rimanenti due non vengono trattate nella maggior parte dei testi perché più di difficile comprensione.
Da wikipedia (normalmente non citerei wikipedia, ma parlando con un docente di Fisica ho scoperto che la pagina "Metrica di Godel" da cui traggo queste informazioni, è stata redatta da un suo collega), scopriamo che le rimanenti due sono:
- [tex]\partial_x - z \, \partial_z[/tex];
- [tex]-2 \exp(-x) \, \partial_t + z \, \partial_x + \left( \exp(-2x) -z^2/2 \right) \, \partial_z[/tex]
___________
Incidentalmente,la traduzione di queste simmetrie in:
- [tex](x+x_0) - z(z-z_0 )[/tex]
- [tex]-2e^{-x}(t+t_0) +z(x+x_0) +(e^{-2x} -\frac{z^2}{2})(z+z_0)[/tex]
vi risulta corretta?
___________
Fatta questa premessa, il mio problema è trovare dove queste simmetrie sono state usate da Chandrasekhar per ottenere gli integrali delle soluzioni.
Domandato questo al professore, la risposta che ho ricevuto è stata disarmante, del tipo "può vedere le simmetrie direttamente dalla metrica, sono quelle che lasciano questa metrica invariante".
La metrica di cui egli parla è la seguente:
[tex]ds^2 = 4[dt^2 - dr^2 -dy^2+(\sinh^4 r - \sinh^2 r)d\phi^2 +2\sqrt{2}\sinh^2 d\phi dt][/tex]
Vorrei poter dire di essere capace a vedere queste cose, ma non lo sono.
Riassumendo, mi servirebbe sapere dove (= in quali passaggi) le varie simmetrie sono state utilizzate, nella derivazione degli integrali fatta da Chandrasekhar.
Era mia intenzione allegare il suo articolo, ma l'ho in versione pdf; potete trovarlo qui: http://www.pnas.org/cgi/reprintframed/47/3/341
Chiedo gentilmente se qualcuno di voi volesse/potesse darmi una qualche dritta più pratica di quelle ricevute finora.
Vi ringrazio anticipatamente,
andrea
sono un laureando di Matematica; sto terminando la tesi che verte su:
- introduzione relatività ristretta e generale;
- modello cosmologico FLRW (standard)
- modello cosmologico di Godel (universo rotante)
In quest'ultima parte, mi è stato detto di studiare il lavoro fatto da Chandrasekar, "The Geodesics in Godel’s Universe". In questo articolo, egli va a calcolare esplicitamente le soluzioni per le geodetiche usando la metrica di Godel.
Per farlo, sfrutta ("evidentemente", secondo il mio relatore) le 5 simmetrie che l'universo di Godel possiede.
Tre di queste simmetrie sono le seguenti:
- rotazione nella variabile angolare: [tex]\phi \rightarrow \phi + \phi_0[/tex];
- traslazione nel tempo:[tex]t \rightarrow t + t_0[/tex];
- traslazione lungo l’asse z: [tex]z \rightarrow z+z_0[/tex].
Le rimanenti due non vengono trattate nella maggior parte dei testi perché più di difficile comprensione.
Da wikipedia (normalmente non citerei wikipedia, ma parlando con un docente di Fisica ho scoperto che la pagina "Metrica di Godel" da cui traggo queste informazioni, è stata redatta da un suo collega), scopriamo che le rimanenti due sono:
- [tex]\partial_x - z \, \partial_z[/tex];
- [tex]-2 \exp(-x) \, \partial_t + z \, \partial_x + \left( \exp(-2x) -z^2/2 \right) \, \partial_z[/tex]
___________
Incidentalmente,la traduzione di queste simmetrie in:
- [tex](x+x_0) - z(z-z_0 )[/tex]
- [tex]-2e^{-x}(t+t_0) +z(x+x_0) +(e^{-2x} -\frac{z^2}{2})(z+z_0)[/tex]
vi risulta corretta?
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Fatta questa premessa, il mio problema è trovare dove queste simmetrie sono state usate da Chandrasekhar per ottenere gli integrali delle soluzioni.
Domandato questo al professore, la risposta che ho ricevuto è stata disarmante, del tipo "può vedere le simmetrie direttamente dalla metrica, sono quelle che lasciano questa metrica invariante".
La metrica di cui egli parla è la seguente:
[tex]ds^2 = 4[dt^2 - dr^2 -dy^2+(\sinh^4 r - \sinh^2 r)d\phi^2 +2\sqrt{2}\sinh^2 d\phi dt][/tex]
Vorrei poter dire di essere capace a vedere queste cose, ma non lo sono.
Riassumendo, mi servirebbe sapere dove (= in quali passaggi) le varie simmetrie sono state utilizzate, nella derivazione degli integrali fatta da Chandrasekhar.
Era mia intenzione allegare il suo articolo, ma l'ho in versione pdf; potete trovarlo qui: http://www.pnas.org/cgi/reprintframed/47/3/341
Chiedo gentilmente se qualcuno di voi volesse/potesse darmi una qualche dritta più pratica di quelle ricevute finora.
Vi ringrazio anticipatamente,
andrea
Risposte
Posso chiederti per curiosità se è una tesi da triennale o da magistrale?
Laurea magistrale.
Purtroppo però la maggior parte degli argomenti di cui tratta sono stati visti poco durante questi anni ed ho dovuto avvicinarmici da "autodidatta".
Purtroppo però la maggior parte degli argomenti di cui tratta sono stati visti poco durante questi anni ed ho dovuto avvicinarmici da "autodidatta".
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