Sfere immerse collegate in condizioni di equilibrio statico

[biowep]

Il mio problema è i seguente:

Due sfere di egual volume e massa \(\displaystyle m_1 = 1kg \land m_2 = 3kg \), collegate da un sottile filo di massa trascurabile, sono completamente immerse in acqua. Sapendo che i due corpi si trovano in condizioni di equilibrio statico, si calcoli la tensione della fune e il volume delle due sfere.
[\(\displaystyle T=9.8N, V=2dm^3 \)]

Io per calcolare la tensione della fune sommo la forza \(\displaystyle \color{#080}{F_1} \) con cui la sfera in basso tira verso il basso a quella \(\displaystyle \color{#00F}{F_2} \) che esercita la sfera in alto verso l'alto.

\(\displaystyle T = \color{#080}{m_2 g - V \rho_{H_2O}} + \color{#00F}{V \rho_{H_2O} - m_1 g} = (m_2-m_1)g = 19.6N \color{#F00} \neq 9.8N \)

È sbagliato il procedimento o il risultato atteso?


EDIT: \(\displaystyle V \rho_{H_2O} \) è sempre \(\displaystyle V \rho_{H_2O}g \)

[axpgn]

Perché i due pesi hanno direzioni contrarie?

[biowep]

Ho considerato la tensione come la somma di due forze: una causata dalla sfera in basso (F1) rivolta verso il basso ed un causata dalla sfera in alto (F2) rivolta verso l'alto. Ho calcolato F1 come la somma tra il peso della sfera meno la sua spinta di archimede (perché rivolta verso l'alto ed opposta a F1). Per F2 invece, essendo rivolta verso l'alto, ho sommato la spinta di archimede ed ho sottratto il peso (perché quest'ultimo essendo rivolto verso il basso si oppone ad F2 che è rivolta verso l'alto).
[img]http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?mode=view&id=580[/img]

[axpgn]

Fissiamo un sistema di riferimento e dato che abbiamo solo forze verticali è sufficiente un asse verticale e poniamo il verso positivo verso il basso.
Dato che il sistema è in equilibrio, la forza risultante sarà nulla che equivale a dire che la somma (vettoriale) delle forze in gioco sarà nulla.
Detta $m_H$ la massa d'acqua pari al volume di una sfera abbiamo quindi $m_1g+m_2g-2m_Hg=0$ da cui $m_1+m_2=2m_H$ e quindi $m_H=(m_1+m_2)/2$.

Trovata la massa del volume spostato basta applicare Archimede ad una delle due sfere per trovare la tensione del filo ...

Cordialmente, Alex

[biowep]

Non ho esattamente capito quindi ho interpretato come:
\(\displaystyle m_1g + T - m_Hg = 0 \;\;\Rightarrow\;\; T = (m_H-m_1)g = 9.8N \) oppure
\(\displaystyle m_2g - T - m_Hg = 0 \;\;\Rightarrow\;\; T = (m_2-m_H)g = 9.8N \)

Nella prima equazione T lo sommo perché la tensione della corda è diretta in senso concorde con il verso scelto, mentre nella seconda è diretta verso l'alto.

Forse ho confuso le posizioni delle sfere. In QUESTO caso, le equazioni sopra si applicano quando m_1 è sopra m_2 (infatti nella prima equazione peso e tensione della fune hanno verso concorde, cioè verso il basso entrambe).
Se qualcuno leggesse questo thread faccio notare che ho sbagliato sia nella formula all'inizio, sia nell'immagine.
\(\displaystyle V \rho_{H_2O} \) doveva sempre essere moltiplicato per g, altrimenti è solo una massa.

Grazie mille.

[axpgn]

Quando hai una fune tesa, la tensione ad un capo è la stessa in modulo e direzione di quella all'altro capo: quello che cambia è solo il verso; perciò calcolarla in una sfera o nell'altra è indifferente, farlo per tutte e due è inutile (a meno che tu non lo faccia come verifica).
Una cosa però non è esatta: i valori che hai ottenuto devono avere segni opposti.

Cordialmente, Alex