Sfere concentriche e dielettrico
Ciao, ecco il testo dell'esercizio che mi sta consumando:
- Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore trascurabile, hanno raggi R1 = 10 cm, R2 = 20 cm, R3 = 40 cm. L’intercapedine compresa tra R2 e R3 è riempita di ossigeno liquido ($ \kappa $ = 1,5). Un generatore di f.e.m. nota viene collegato al conduttore più interno (polo positivo) e più esterno (polo negativo).
Si esprima, in funzione della carica sulle armature, il campo elettrico in tutto lo spazio. Assumendo uguale a zero il potenziale sulla superficie più interna, esprimere la differenza di potenziale tra i due conduttori più interni e tra i due più esterni; si calcoli anche la capacità dei due conduttori più interni e dei due più esterni.
Calcolare il valore numerico della carica sulle armature nel caso in cui la f.e.m. valga 600 V e calcolare i corrispondenti valori numerici per i punti (b), (c), (d), (e).
Infine si calcoli l’energia elettrostatica del sistema.
[/list:u:3er7vbaq]
Questo è il link del sito a cui si trova: http://slideplayer.it/slide/542114/
Non capisco perché in quella soluzione il campo nello spazio tra le superfici sferiche di raggi R2 ed R3,riempito con ossigeno, dovrebbe essere diverso da 0 :
in qualsiasi configurazione di sistemi composti da tre sfere concentriche si ripete sempre lo stesso format, ovvero:
-la sfera interna (raggio R1) ha, distribuita uniformemente sulla sua superficie (rivolta verso l'esterno) la carica +q positiva. Per induzione elettrostatica completa le cariche che compaiono sulle superfici delle sfere di raggi R2 ed R3 sono rispettivamente -q e +q, queste ultime sempre uniformemente distribuite su di esse.
-il campo elettrico E(r) in funzione di r="distanza dal centro", vale:
1) $ 0 \leq r \le R_{1}$: $ \vec E(r)=0$
2) $ R_{1} \leq r \le R_{2} $: $ \vec E(r)=\frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} $
3) $ R_{2} \leq r \le R_{3} $: $ \vec E(r)=\frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} + \frac{-q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} = 0$
4) $ R_{3} \leq r \le R_{4} $: $ \vec E(r)=\frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} + \frac{-q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} + \frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} = \frac{+q}{4 \pi \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} $
Ovvero, in una configurazione di tre sfere concentriche di questo tipo, dove le cariche delle superfici sferiche interne si propagano completamente per induzione su quelle più esterne, risulta sempre che il campo elettrostatico nello spazio compreso tra la sfera di raggio R2 e quella di raggio R3 è nullo.
Poi devo premettere un'altra osservazione:
sul mio libro di fisica è presente un esempio riguardo il campo elettrostatico prodotto da una sfera con carica q distribuita uniformemente su tutta la sua superficie e immersa in un dielettrico di costante dielettrica relativa $ \kappa $, secondo cui
il campo da essa prodotta risulta essere $\vec E(r) = \frac{+q}{4 \pi \kappa \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} = \frac{\vec E_{0} (r)}{ \kappa } $, ovvero, uguale a quello che la sfera avrebbe se invece che essere immessa nel dielettrico fosse immessa nel vuoto, ridotta del fattore $\kappa$ rispetto a quest'ultimo.
Tornando all'esercizio, non capisco per quale motivo se il campo elettrico tra la sfera di raggio R2 e quella di raggio R3, che è nullo in assenza di dielettrico, magicamente acquista il valore $ \frac{+q}{4 \pi \kappa \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} $:
se il mio libro mi dice che il campo elettrico prodotto dalla sfera all'interno del dielettrico è uguale a $\vec E(r) = \frac{\vec E_{0} (r)}{ \kappa }$, in questo esercizio il campo prodotto nello spazio compreso tra la sfera di raggio R2 e quella di raggio R3 come fa a essere $\vec E(r) = \frac{+q}{4 \pi \kappa \epsilon _{0} r^2} \hat u_{x} $ se $ \vec E_{0}(r) = 0$ con r tra R2 ed R3??????????????
Risposte
"Rino95":
Ovvero, in una configurazione di tre sfere concentriche di questo tipo, dove le cariche delle superfici sferiche interne si propagano completamente per induzione su quelle più esterne, risulta sempre che il campo elettrostatico nello spazio compreso tra la sfera di raggio R2 e quella di raggio R3 è nullo.
Confesso di aver letto tutto con la dovuta attenzione, ma questa frase mi ha colpito. Perchè poi fra R2 e R3 il campo dovrebbe essere zero? A me pare che un guscio sferico conduttore di spessore infinitesimo è come se non ci fosse (ci sono due strati uguali e opposti sulle due facce)
Scusa ho dimenticato di dire che i fatti che ho scritto sono validi qualora le sfere concentriche in questione siano dei conduttori. Ad ogni zona di spazio in funzione della coordinata r, che definisce la distanza dal centro di tutte e tre le sfere concentriche conduttrici, corrisponde un determinato valore del campo elettrico $\vec E(r)$.
Per 0 < r < R1 il campo vale 0, poiché r è interno a tutte e tre le superfici che, non essendo cariche all'interno, non producono un campo elettrico in questa zona.
Per R1 < r < R2 il campo vale $ \frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $, perché in questo caso r è ESTERNO alla sfera di raggio R1, e quindi risente del campo elettrico che questa produce nello spazio AL DI FUORI di se stessa, ma al contempo è INTERNO alle sfere di raggi R2 ed R3, per cui non risente della loro azione.
Per R2 < r < R3 il campo vale $ \frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] + \frac[-q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] = 0$, perché in questo caso r è ESTERNO sia alla sfera di raggio R1 che alla sfera di raggio R2, per cui risente della loro azione.
Sulla superficie della sfera di raggio R1 si trova la carica +q, per cui il campo da essa prodotto su r è $ \frac[+q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $.
Sulla superficie della sfera di raggio R2 si trova la carica -q (per effetto dell'induzione elettrostatica completa), per cui il campo da essa prodotto su r è $ \frac[-q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $.
Per il principio di sovrapposizione, il campo risultante su r è datto dalla somma di questi due. Il risultato è 0.
Per R3 < r il campo vale $ \frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $ per gli ovvi motivi che ho spiegato fino adesso.
Per 0 < r < R1 il campo vale 0, poiché r è interno a tutte e tre le superfici che, non essendo cariche all'interno, non producono un campo elettrico in questa zona.
Per R1 < r < R2 il campo vale $ \frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $, perché in questo caso r è ESTERNO alla sfera di raggio R1, e quindi risente del campo elettrico che questa produce nello spazio AL DI FUORI di se stessa, ma al contempo è INTERNO alle sfere di raggi R2 ed R3, per cui non risente della loro azione.
Per R2 < r < R3 il campo vale $ \frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] + \frac[-q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] = 0$, perché in questo caso r è ESTERNO sia alla sfera di raggio R1 che alla sfera di raggio R2, per cui risente della loro azione.
Sulla superficie della sfera di raggio R1 si trova la carica +q, per cui il campo da essa prodotto su r è $ \frac[+q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $.
Sulla superficie della sfera di raggio R2 si trova la carica -q (per effetto dell'induzione elettrostatica completa), per cui il campo da essa prodotto su r è $ \frac[-q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $.
Per il principio di sovrapposizione, il campo risultante su r è datto dalla somma di questi due. Il risultato è 0.
Per R3 < r il campo vale $ \frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $ per gli ovvi motivi che ho spiegato fino adesso.
"Rino95":
Sulla superficie della sfera di raggio R2 si trova la carica -q (per effetto dell'induzione elettrostatica completa), per cui il campo da essa prodotto su r è $ \frac[-q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] $.
Ma no. La sfera R2 avrà pure spessore trascurabile, ma ha comunque DUE facce, su quella interna ha carica -q, ma su quella esterna la carica è +q. Del resto è neutra, no? Oppure pensi che l'induzione CREI delle cariche?
Invece, R1 e R3 non sono neutre, in quanto sono collegate al generatore, che ha spostato una carica da R3 a R1, cosicchè in R1 c'è +q e in R3 -q
Il campo elettrico per r compreso tra R2 ed R3 è nullo. Di questo sono sicuro perché lo dice esplicitamente il mio libro di fisica 2.
Ecco un altro allegato per completare il senso dello schema precedente
Mi sbaglierò, ma la mia impressione è che, nelle due immagini che hai postato, si parla di un problema diverso. Dove R2 e R3 NON sono due gusci sferici separati, ma invece la superficie interna ed esterna di un medesimo guscio conduttore.
Poi, quando dici che SEI SICURO che fra R2 e R3 il campo è nullo, perchè così dice il tuo libro, sarebbe carino che tu provassi anche a prendere in considerazione, e magari controbattere, quello che ti ho scritto in contrario.
Poi, quando dici che SEI SICURO che fra R2 e R3 il campo è nullo, perchè così dice il tuo libro, sarebbe carino che tu provassi anche a prendere in considerazione, e magari controbattere, quello che ti ho scritto in contrario.
Hai ragione perdona la mia testardaggine 
effettivamente in quell'esempio si parla di una sfera conduttrice all'interno di un conduttore sferico cavo, di raggi R2 ed R3 come hai intuito...
ma se in questo esercizio, dove si parla di tre sfere conduttrici separate, succede quello che dici tu, ovvero che:
1) sulla superficie esterna di R1 c'è +q
2) sulla superficie interna di R2 c'è -q, su quella esterna c'é +q
3) sulla superficie interna di R3 c'é -q, su quella esterna c'é +q (ho capito bene?)
è importante chiarire una cosa.
Se una superficie sferica è carica su entrambe le sue due facce, ad esempio quella interna con carica -q e quella esterna +q, si ha che:
a) il campo elettrico che agisce al suo interno vale $\frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}]$ (perché essendo la carica -q rivolta verso l'interno della sua superficie agisce generando un campo elettrico attrattivo rivolto verso il suo centro) e quello che invece agisce all'esterno $\frac[2q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}]$ (perché si sommano sia il contributo del campo generato dalla faccia interna che quello generato dalla faccia esterna),
oppure semplicemente che
b) si ha campo nullo sia all'interno che all'esterno perché entrambe le cariche poste sulle due facce della stessa superficie agiscono SOLO ALL'ESTERNO di questa?
Se è come nel secondo caso b), ammesso che anche sulla superficie sferica di raggio R3 ci sia la doppia carica -q sulla faccia interna e +q su quella esterna, i risultati dell'esercizio quadrano: il campo elettrico vale $ \vec E(r) = frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] \hat u_{x} $ "in ogni dove" e questo è proprio quello generato dalla sfera interna R1, perché le due superfici sferiche R2 ed R3 generano campo nullo sia al loro interno che al loro 'esterno.
Se invece sulla superficie ESTERNA soltanto di R3 si deposita la carica -q, il campo per R3
Se invece è come nel primo caso a), si avrebbero valori completamente inaspettati che non hanno niente a che fare con quello che dice la soluzione dell'esercizio.
effettivamente in quell'esempio si parla di una sfera conduttrice all'interno di un conduttore sferico cavo, di raggi R2 ed R3 come hai intuito... ma se in questo esercizio, dove si parla di tre sfere conduttrici separate, succede quello che dici tu, ovvero che:
1) sulla superficie esterna di R1 c'è +q
2) sulla superficie interna di R2 c'è -q, su quella esterna c'é +q
3) sulla superficie interna di R3 c'é -q, su quella esterna c'é +q (ho capito bene?)
è importante chiarire una cosa.
Se una superficie sferica è carica su entrambe le sue due facce, ad esempio quella interna con carica -q e quella esterna +q, si ha che:
a) il campo elettrico che agisce al suo interno vale $\frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}]$ (perché essendo la carica -q rivolta verso l'interno della sua superficie agisce generando un campo elettrico attrattivo rivolto verso il suo centro) e quello che invece agisce all'esterno $\frac[2q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}]$ (perché si sommano sia il contributo del campo generato dalla faccia interna che quello generato dalla faccia esterna),
oppure semplicemente che
b) si ha campo nullo sia all'interno che all'esterno perché entrambe le cariche poste sulle due facce della stessa superficie agiscono SOLO ALL'ESTERNO di questa?
Se è come nel secondo caso b), ammesso che anche sulla superficie sferica di raggio R3 ci sia la doppia carica -q sulla faccia interna e +q su quella esterna, i risultati dell'esercizio quadrano: il campo elettrico vale $ \vec E(r) = frac[q][4 \pi \epsilon _{0} r^{2}] \hat u_{x} $ "in ogni dove" e questo è proprio quello generato dalla sfera interna R1, perché le due superfici sferiche R2 ed R3 generano campo nullo sia al loro interno che al loro 'esterno.
Se invece sulla superficie ESTERNA soltanto di R3 si deposita la carica -q, il campo per R3
Se invece è come nel primo caso a), si avrebbero valori completamente inaspettati che non hanno niente a che fare con quello che dice la soluzione dell'esercizio.
Guarda, è tutto molto più semplice.
Intanto: il sistema complessivamente è neutro, questo ti dice che il campo all'esterno (Gauss) è zero.
Le due superfici, interna di R1 e esterna di R3, sono scariche.
Le altre si alternano: +, -, +, -
C'è campo nelle due intercapedini (ci sono strati di cariche opposte che si affacciano). Non c'è campo, ovviamente, nello spessore dei gusci.
Volendo, puoi vedere il tutto come due condensatori sferici in serie. Con un filo di intuito in più, lo puoi vedere come un solo condensatore sferico (rimuovendo il guscio R2).
Chiaro che quando metti un dielettrico fra R2 e R3 occorre considerarne due distinti.
Intanto: il sistema complessivamente è neutro, questo ti dice che il campo all'esterno (Gauss) è zero.
Le due superfici, interna di R1 e esterna di R3, sono scariche.
Le altre si alternano: +, -, +, -
C'è campo nelle due intercapedini (ci sono strati di cariche opposte che si affacciano). Non c'è campo, ovviamente, nello spessore dei gusci.
Volendo, puoi vedere il tutto come due condensatori sferici in serie. Con un filo di intuito in più, lo puoi vedere come un solo condensatore sferico (rimuovendo il guscio R2).
Chiaro che quando metti un dielettrico fra R2 e R3 occorre considerarne due distinti.
"mgrau":
Intanto: il sistema complessivamente è neutro, questo ti dice che il campo all'esterno (Gauss) è zero.
Quindi il campo per r>R3 è nullo? Per cui la soluzione dell'esercizio che ho postato per r>R3 è sbagliata?
"mgrau":
C'è campo nelle due intercapedini (ci sono strati di cariche opposte che si affacciano)
In questo caso, visto che sulla faccia interna della superficie di R2 c'é la carica -q, mentre sulla faccia esterna della stessa c'è +q, la carica -q presente sulla faccia interna genera il suo relativo campo rivolta verso il centro oppure rivolta verso l'esterno?
"Rino95":
Quindi il campo per r>R3 è nullo? Per cui la soluzione dell'esercizio che ho postato per r>R3 è sbagliata?
Per quanto ne capisco io, e se il testo è quello che riporti, il campo per r > R3 è zero.
"Rino95":
In questo caso, visto che sulla faccia interna della superficie di R2 c'é la carica -q, mentre sulla faccia esterna della stessa c'è +q, la carica -q presente sulla faccia interna genera il suo relativo campo rivolta verso il centro oppure rivolta verso l'esterno?
Questa è una strana domanda. In realtà ogni carica produce un campo suo proprio che è quello di una carica puntiforme. Se la configurazione finale del campo è diversa, ciò è interamente dovuto al principio di sovrapposizione, per cui, nel caso nostro, il campo in un punto qualsiasi è dovuto a tutte le cariche, non esistono "zone di influenza" specifiche.
Comunque, nello spazio fra R1 e R2 il campo va da R1 a R2.
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