Sfera uniformemente carica e guscio sferico

[anonymous_f3d38a]

Ciao!
Vi propongo un esercizio classico in cui commetto un errore, non so quale.

TESTO DELL'ESERCIZIO:

"Consideriamo una sfera di raggio $R_1$ uniformemente carica don densità di carica di volume $rho_0$.
La sfera è circondata da un guscio sferico dielettrico di raggio interno uguale al raggio della sfera $R_1$ e raggio esterno $R_2$ (ovviamente $R_2$ > $R_1$).
Costante dielettrica relativa del guscio sferico uguale a $epsilon_r$.
Si determini la densità di carica di polarizzazione superficiale per $R=R_1$, ovvero $sigma_p(R_1)$".

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MIO SVOLGIMENTO:

Io ho calcolato innanzitutto la carica della sfera in funzione del raggio:

$Q= rho_0 4/3 pi r^3$

Dopodiché ho applicato il teorema di Gauss al vettore $D$

$D 4pir^2 = rho_0 4/3 pi r^3$

$rArr D= rho_0 r/3$

Dopodiché ho utilizzato la relazione classica per ricavare il campo elettrico $E$ ed il vettore $P$

$E= D/(epsilon_0 epsilon_r) = rho_0 r/(3epsilon_0 epsilon_r)$

$P= epsilon_0 (epsilon_r -1) E= (epsilon_r -1) rho_0 r/(3epsilon_r)$

Infine ho utilizzato l'espressione

$sigma_p= vec(P)*(hat(n)) = P$

$sigma_p (R_1)= (epsilon_r -1) rho_0 R_1/(3epsilon_r)$

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Ebbene...

PURTROPPO questo risultato è errato. Qualcuno saprebbe dirmi dove sta l'errore?
P.s. Mi è stato detto che FORSE ho sbagliato un segno, ma non ne sono sicuro. help!

[mgrau]

E che soluzione propone l'esercizio?

[anonymous_58f0ac]

L'errore sta nel fatto che all'inizio hai utilizzato la relazione tra $E$ e $D$ per i dielettrici.
Ma se il raggio è minore o uguale al raggio della sfera non ci sono dielettrici, quindi non puoi utilizzare questa relazione (con $epsilon_r$).
Infatti l'ultima equazione è corretta se rimuovi l'$epsilon_r$ al denominatore.
Senti comunque mgrau perché è di sicuro più esperto di me.