Sfera legata al fondo della vasca
Ciao! Non so proprio da dove cominciare con questo problema.
Una sfera di raggio R e massa m galleggia in una vasca di liquido avente densità incognita ρ. A un certo punto viene legata al fondo della vasca con una fune di lunghezza L in modo che resti sommersa. La sferetta oscilla leggermente attorno alla verticale con un periodo T. Si determini la densità del fluido.
Potete aiutarmi? Grazie
Una sfera di raggio R e massa m galleggia in una vasca di liquido avente densità incognita ρ. A un certo punto viene legata al fondo della vasca con una fune di lunghezza L in modo che resti sommersa. La sferetta oscilla leggermente attorno alla verticale con un periodo T. Si determini la densità del fluido.
Potete aiutarmi? Grazie
Risposte
Problemino simpatico !
Comincia a ragionare sulla condizione di equilibrio, quando la sfera è stata tirata tutta sott'acqua dal filo . Evidentemente le tre forze $vecP$ , $vecS$ , e $vecT$ (peso, spinta e tensione del filo) si fanno equilibrio, quindi :
$vecP + vecS + vecT = 0 $ -----(1)
È chiaro anche che siccome prima la sfera galleggiava la tensione del filo deve essere diretta verso il basso, per contrastare , coadiuvata dal peso $vecP$ , la spinta di Archimede $vecS$ . Se proietti l'eq. scritta su un asse $z$ orientato verso l'alto hai dunque :
$S -T - P = 0 $ ----(2)
È chiaro fin qui? Si, è semplice.
Ora sposta la sfera dalla sua posizione di equilibrio, tenendo sempre il filo in tensione. La sfera può solo descrivere un arco di circonferenza , che ha per centro il punto di attacco del filo al fondo e per raggio la lunghezza $L$ del filo. Diciamo $\theta$ l'angolo di cui è ruotato il filo .
Che succede alle forze ? $vecS$ e $vecP$ conservano valore e direzione (verticale) . LA tensione prende la direzione del filo , che non è più verticale ma inclinata secondo il filo. La tensione cambia anche di valore, ma ora non ci importa.
Ci importa invece capire che la somma vettoriale $vecS + vecP$ è un vettore verticale , diretto verso l'alto, di modulo paria alla differenza dei moduli $S-P$ . Chiamiamo $vecR = vecS + vecP$ questa risultante , che è una "forza di massa" : così si chiamano le forze che sonno proporzionali alle masse dei corpi su cui agiscono.
Allora, è anche evidente che $vecR$ ha una componente sulla tangente alla circonferenza , che vale in grandezza $Rsen\theta$, e funge da forza di richiamo verso la posizione di equilibrio di prima .
E questo che cosa è ? È un pendolo semplice messo sottosopra, dove la forza di richiamo ha il valore detto!
Mentre nel pendolo semplice la forza di richiamo è la componente del peso tangenziale alla traiettoria, qui la forza di richiamo è data da $(S-P) sen\theta$ .
Perciò, se sai scrivere l'equazione del moto del pendolo semplice, sostituendo $sen\theta \approx \theta$ per le piccole oscillazioni , e ricavare quindi pulsazione e periodo del moto armonico, sai continuare pure nell'esercizio dato.
Comincia a ragionare sulla condizione di equilibrio, quando la sfera è stata tirata tutta sott'acqua dal filo . Evidentemente le tre forze $vecP$ , $vecS$ , e $vecT$ (peso, spinta e tensione del filo) si fanno equilibrio, quindi :
$vecP + vecS + vecT = 0 $ -----(1)
È chiaro anche che siccome prima la sfera galleggiava la tensione del filo deve essere diretta verso il basso, per contrastare , coadiuvata dal peso $vecP$ , la spinta di Archimede $vecS$ . Se proietti l'eq. scritta su un asse $z$ orientato verso l'alto hai dunque :
$S -T - P = 0 $ ----(2)
È chiaro fin qui? Si, è semplice.
Ora sposta la sfera dalla sua posizione di equilibrio, tenendo sempre il filo in tensione. La sfera può solo descrivere un arco di circonferenza , che ha per centro il punto di attacco del filo al fondo e per raggio la lunghezza $L$ del filo. Diciamo $\theta$ l'angolo di cui è ruotato il filo .
Che succede alle forze ? $vecS$ e $vecP$ conservano valore e direzione (verticale) . LA tensione prende la direzione del filo , che non è più verticale ma inclinata secondo il filo. La tensione cambia anche di valore, ma ora non ci importa.
Ci importa invece capire che la somma vettoriale $vecS + vecP$ è un vettore verticale , diretto verso l'alto, di modulo paria alla differenza dei moduli $S-P$ . Chiamiamo $vecR = vecS + vecP$ questa risultante , che è una "forza di massa" : così si chiamano le forze che sonno proporzionali alle masse dei corpi su cui agiscono.
Allora, è anche evidente che $vecR$ ha una componente sulla tangente alla circonferenza , che vale in grandezza $Rsen\theta$, e funge da forza di richiamo verso la posizione di equilibrio di prima .
E questo che cosa è ? È un pendolo semplice messo sottosopra, dove la forza di richiamo ha il valore detto!
Mentre nel pendolo semplice la forza di richiamo è la componente del peso tangenziale alla traiettoria, qui la forza di richiamo è data da $(S-P) sen\theta$ .
Perciò, se sai scrivere l'equazione del moto del pendolo semplice, sostituendo $sen\theta \approx \theta$ per le piccole oscillazioni , e ricavare quindi pulsazione e periodo del moto armonico, sai continuare pure nell'esercizio dato.
Quindi considero la risultante R
$R=S-P=rho*V*g - m*g$
R è l'unica forza che agisce sulla tangente alla circonferenza, quindi
$R*sen(theta)=m*a$
$a=g*sen(theta)*((rho*V)/m - 1)$
a questo punto introduco l'accelerazione angolare
$alpha=(delta^(2)theta)/(delta t^(2)) = L*g*sen(theta)*((rho*V)/m - 1)$
e sapendo che per le piccole oscillazioni $sen(theta)$ lo posso scrivere $theta$, ottengo
$w^(2)=(g/L)*((rho*V)/m -1)$
(in realtà non ho ben capito le motivazioni di questo passaggio)
e con la formula
$T=(2*pi)/w$
lego la velocità angolare al periodo e ricavo la densità.
E' corretto?
$R=S-P=rho*V*g - m*g$
R è l'unica forza che agisce sulla tangente alla circonferenza, quindi
$R*sen(theta)=m*a$
$a=g*sen(theta)*((rho*V)/m - 1)$
a questo punto introduco l'accelerazione angolare
$alpha=(delta^(2)theta)/(delta t^(2)) = L*g*sen(theta)*((rho*V)/m - 1)$
e sapendo che per le piccole oscillazioni $sen(theta)$ lo posso scrivere $theta$, ottengo
$w^(2)=(g/L)*((rho*V)/m -1)$
(in realtà non ho ben capito le motivazioni di questo passaggio)
e con la formula
$T=(2*pi)/w$
lego la velocità angolare al periodo e ricavo la densità.
E' corretto?
Come nel pendolo semplice (in cui la forza di richiamo è $-Psen\theta$ ), qui l'eq. del moto è :
$ma = -(S-P)sen\theta$
e cioè, ponendo $sen\theta \approx \theta $ per piccoli angoli , e notando che $a = \alpha*L = L*ddot\theta$ :
$mLddot\theta + (S-P) \theta = 0 $
ovvero : $ddot\theta + (S-P)/(mL)\theta = 0 $
che è l' eq, diff. di un moto armonico, di pulsazione : $\omega = sqrt ( (S-P)/(mL)) $ .
Siccome sai che il periodo : $ T = (2\pi)/\omega$ , puoi dire che : $ T = 2\pi*sqrt ((mL)/(S-P))$ . Il periodo $T$ è un dato del problema, quindi puoi ricavare la spinta. A sua volta, la spinta è uguale a $S = \rhogV$ , da cui ottieni la densità del liquido.
$ma = -(S-P)sen\theta$
e cioè, ponendo $sen\theta \approx \theta $ per piccoli angoli , e notando che $a = \alpha*L = L*ddot\theta$ :
$mLddot\theta + (S-P) \theta = 0 $
ovvero : $ddot\theta + (S-P)/(mL)\theta = 0 $
che è l' eq, diff. di un moto armonico, di pulsazione : $\omega = sqrt ( (S-P)/(mL)) $ .
Siccome sai che il periodo : $ T = (2\pi)/\omega$ , puoi dire che : $ T = 2\pi*sqrt ((mL)/(S-P))$ . Il periodo $T$ è un dato del problema, quindi puoi ricavare la spinta. A sua volta, la spinta è uguale a $S = \rhogV$ , da cui ottieni la densità del liquido.
Scusami, ma mi stai spiegando il passaggio che non avevo capito o la mia risoluzione è sbagliata e la tua è quella giustaal? Perchè i risultati vengono uguali quindi non ho capito se può andare la mia risoluzione
Ho solo fatto delle precisazioni circa il mio procedimento, che poi è lo stesso del pendolo semplice.
Riguardo al passaggio che non hai capito : qual è questo passaggio ? Lo rispieghi ?
Riguardo al passaggio che non hai capito : qual è questo passaggio ? Lo rispieghi ?
Guardando la mia risoluzione non ho ben capito in che modo dalla formula dell'accelerazione angolare sostituendo $sen(theta)$ con $theta$ si riesce a ricavare la velocità angolare al quadrato.. Ho trovato questo procedimento nel link che mi hai passato sul pendolo semplice e l'ho usato perchè mi sembrava si adattasse bene alla situazione, ma non ho ben capito come funziona. Tra l'altro credo sia lo stesso motivo che nelle tue precisazioni ti permette di scrivere $a=L*θ$
Allora ci sono due cose da spiegare.
La prima è che in un moto circolare di raggio $L$ si ha :
$s = L\theta \rightarrow v = dots = Ldot\theta \rightarrow a = dotv = Lddot\theta$
cioè l'accelerazione tangenziale è uguale al raggio $L$ per l'accelerazione angolare.
La seconda è una questione di equazioni differenziali . Ogni volta che trovo una equazione del tipo : $ddotx + c*x = 0 $ , posso dire che si tratta dell'eq.diff. di un moto armonico semplice , di pulsazione : $\omega = sqrtc$ (qui $c$ è una costante qualsiasi) .
Per esempio, se una massa $m$ è attaccata a una molla d i costante elastica $k$ , l'eq. diff. del moto è :
$mddotx = -kx \rightarrow ddotx + k/mx = 0 $
e questa è l'eq. diffi. di un moto armonico di pulsazione : $ \omega = sqrt(k/m) $ .
Ma non mi chiedere la spiegazione matematica di questo, che comunque esiste. Non me la ricordo.
La prima è che in un moto circolare di raggio $L$ si ha :
$s = L\theta \rightarrow v = dots = Ldot\theta \rightarrow a = dotv = Lddot\theta$
cioè l'accelerazione tangenziale è uguale al raggio $L$ per l'accelerazione angolare.
La seconda è una questione di equazioni differenziali . Ogni volta che trovo una equazione del tipo : $ddotx + c*x = 0 $ , posso dire che si tratta dell'eq.diff. di un moto armonico semplice , di pulsazione : $\omega = sqrtc$ (qui $c$ è una costante qualsiasi) .
Per esempio, se una massa $m$ è attaccata a una molla d i costante elastica $k$ , l'eq. diff. del moto è :
$mddotx = -kx \rightarrow ddotx + k/mx = 0 $
e questa è l'eq. diffi. di un moto armonico di pulsazione : $ \omega = sqrt(k/m) $ .
Ma non mi chiedere la spiegazione matematica di questo, che comunque esiste. Non me la ricordo.
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