Sfera appesa ad una molla appesa al soffitto
Buonasera, riporto da un noto testo della scuola secondaria un banale problema di fisica che mi attanaglia con una doppia soluzione.
Correggetemi se sbaglio.
Modo 1: equilibrio delle forze. Sulla sfera lasciata libera agiscono la forza peso \(\displaystyle mg \) verso il basso e la forza elastica \(\displaystyle k x \) verso l'alto (\(\displaystyle x \) è l'allungamento della molla). Ricavo banalmente \(\displaystyle x=\frac{mg}{k} \).
Modo 2: conservazione dell'energia meccanica. La variazione dell'energia cinetica è banalmente nulla; la variazione dell'energia potenziale gravitazionale è \(\displaystyle -mgx \); la variazione dell'energia potenziale elastica è \(\displaystyle \frac{1}{2} k x^2 \). Poichè la somma di queste variazioni è nulla ricavo \(\displaystyle x=\frac{2mg}{k} \).
Ovviamente sbaglio qualcosa. Ma cosa?
Grazie a tutti!
Una sfera di massa \(\displaystyle m \) è appesa ad una molla di costante \(\displaystyle k \) e lunghezza a riposo \(\displaystyle L \). La molla è appesa ad un'estremità al soffitto, ed è inizialmente mantenuta ferma nella sua posizione a riposo. Quindi si lascia la sfera libera di muoversi. Di quanto si allunga al massimo la molla?
Correggetemi se sbaglio.
Modo 1: equilibrio delle forze. Sulla sfera lasciata libera agiscono la forza peso \(\displaystyle mg \) verso il basso e la forza elastica \(\displaystyle k x \) verso l'alto (\(\displaystyle x \) è l'allungamento della molla). Ricavo banalmente \(\displaystyle x=\frac{mg}{k} \).
Modo 2: conservazione dell'energia meccanica. La variazione dell'energia cinetica è banalmente nulla; la variazione dell'energia potenziale gravitazionale è \(\displaystyle -mgx \); la variazione dell'energia potenziale elastica è \(\displaystyle \frac{1}{2} k x^2 \). Poichè la somma di queste variazioni è nulla ricavo \(\displaystyle x=\frac{2mg}{k} \).
Ovviamente sbaglio qualcosa. Ma cosa?
Grazie a tutti!
Risposte
Nel modo 1 trovi l'allungamento della molla nella posizione di equilibrio, con la massa ferma. Questo è l'allungamento che si raggiunge asintoticamente, quando le oscillazioni si smorzano, oppure facendo scende la sfera pian piano.
Ma non è quello che succede nel tuo caso: qui, quando la massa raggiunge la posizione di equilibrio non è ferma, possiede una energia cinetica, quindi va oltre fino a fermarsi all'allungamento massimo, che è quello che trovi con il modo 2, e poi oscilla avanti e indietro fra questa posizione e quella iniziale.
Ma non è quello che succede nel tuo caso: qui, quando la massa raggiunge la posizione di equilibrio non è ferma, possiede una energia cinetica, quindi va oltre fino a fermarsi all'allungamento massimo, che è quello che trovi con il modo 2, e poi oscilla avanti e indietro fra questa posizione e quella iniziale.
Certo, che stupido! Grazie!
Aspetta, vediamo se ho capito. Nel modo 1 ho trovato la posizione di equilibrio della sfera dopo averla lasciata libera di muoversi. Questo valore risulta esattamente la metà rispetto alla posizione di massimo allungamento della molla. Dico bene?
Dici bene. Ma la risposta giusta è la 2.
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