Segni forza centrifuga e forza coriolis
Ciao a tutti, come sempre posterò una comanda abbastanza lunga ed i miei ragionamenti, al seguito dei quali ci saranno solo i miei tre dubbi molto coincisi:
Consideriamo un caso specifico:
"Un punto materiale P di massa $M$ è legato ad una molla elastica ideale di lunghezza a
riposo pari a $bar(L)=5m$ e costante elastica $k$, ed è disposta su un piano orizzontale privo di attrito.
$x(0)=7m$
$v(0)=2m/s$
Il piano orizzontale inizia a ruotare in senso antiorario con velocità angolare di $3$
giri al secondo attorno ad un asse verticale passante per l’estremo fisso della molla.
Scrivere l’equazione di moto di $P$ per un osservatore solidale col piano orizzontale ed un equazione di moto di $P$ per un osservatore solidale con un punto fisso a terra (sistema di riferimento inerziale)."
Chiamiamo l'asse verticale $z$ = $xi$.
In questo caso, per ovvie ragioni, le uniche due forze fittizie saranno la forza centrifuga e la forza di coriolis.
Io so in generale che, definito $Sigma$ un sistema di riferimento fisso con assi $x$, $y$ e $z$ (e rispettivi versori $vecu_x$, $vecu_y$ e $vecu_z$),
e $S$ un sistema di riferimento mobile che sta solo ruotando con assi $ zeta $, $eta$ e $xi$ (e rispettivi versori $veci$, $vecj$ e $veck$), le accelerazioni rispetto ai due sistemi di riferimento possono essere così scritte:
$veca_[Sigma] = veca_S + vecomega xx ( vecomega xx veczeta) + 2vecomega xx (vecdot(zeta)+vecdot(eta))$
$veca_[Sigma] = veca_S + omegaveck xx ( omegaveck xx zetaveci) + 2omegaveck xx (dot(zeta)veci+dot(eta)vecj)$
mentre, ovviamente
$ veca_S = veca_[Sigma] - omegaveck xx ( omegaveck xx zetaveci) - 2omegaveck xx (dot(zeta)veci+dot(eta)vecj)$ ${text(*)}$
Siete d'accordo??
Primo dubbio:
EDIT: Pubblico questo dubbio sulla velocità relativa in un altro post, in modo da essere più dettagliata.
Qui il link:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=205260
Secondo dubbio
Nell'equazione di moto del sistema di riferimento solidale col piano orizzontale (non inerziale), davanti alle forze di coriolis e forze centrifughe, dovrò scrivere un meno, giusto? In virtù della ${text(*)}$ (vedi sopra).
Terzo dubbio
Sulla scia del secondo dubbio, mi chiedo se, scrivendo l'equazione del moto rispetto al sistema di riferimento solidale con il piano in rotazione (non inerziale), dovrei giungere a questo risultato:
$mveca_S= ma_[Sigma] - m(omegaveck xx (omegaveck xx zetaveci)) - m(2omegaveck xx (dot(zeta)veci + dot(eta)vecj))$
E' corretto?
Ma soprattutto, chi è $ma_[Sigma]$? su due piedi direi $-kxvecu_x$, ovvero la forza elastica, ma penso proprio che sbaglierei, inoltre avrei un versore di un sistema di riferimento diverso da quello dell'equazione del moto.
Consideriamo un caso specifico:
"Un punto materiale P di massa $M$ è legato ad una molla elastica ideale di lunghezza a
riposo pari a $bar(L)=5m$ e costante elastica $k$, ed è disposta su un piano orizzontale privo di attrito.
$x(0)=7m$
$v(0)=2m/s$
Il piano orizzontale inizia a ruotare in senso antiorario con velocità angolare di $3$
giri al secondo attorno ad un asse verticale passante per l’estremo fisso della molla.
Scrivere l’equazione di moto di $P$ per un osservatore solidale col piano orizzontale ed un equazione di moto di $P$ per un osservatore solidale con un punto fisso a terra (sistema di riferimento inerziale)."
Chiamiamo l'asse verticale $z$ = $xi$.
In questo caso, per ovvie ragioni, le uniche due forze fittizie saranno la forza centrifuga e la forza di coriolis.
Io so in generale che, definito $Sigma$ un sistema di riferimento fisso con assi $x$, $y$ e $z$ (e rispettivi versori $vecu_x$, $vecu_y$ e $vecu_z$),
e $S$ un sistema di riferimento mobile che sta solo ruotando con assi $ zeta $, $eta$ e $xi$ (e rispettivi versori $veci$, $vecj$ e $veck$), le accelerazioni rispetto ai due sistemi di riferimento possono essere così scritte:
$veca_[Sigma] = veca_S + vecomega xx ( vecomega xx veczeta) + 2vecomega xx (vecdot(zeta)+vecdot(eta))$
$veca_[Sigma] = veca_S + omegaveck xx ( omegaveck xx zetaveci) + 2omegaveck xx (dot(zeta)veci+dot(eta)vecj)$
mentre, ovviamente
$ veca_S = veca_[Sigma] - omegaveck xx ( omegaveck xx zetaveci) - 2omegaveck xx (dot(zeta)veci+dot(eta)vecj)$ ${text(*)}$
Siete d'accordo??
Primo dubbio:
EDIT: Pubblico questo dubbio sulla velocità relativa in un altro post, in modo da essere più dettagliata.
Qui il link:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=205260
Secondo dubbio
Nell'equazione di moto del sistema di riferimento solidale col piano orizzontale (non inerziale), davanti alle forze di coriolis e forze centrifughe, dovrò scrivere un meno, giusto? In virtù della ${text(*)}$ (vedi sopra).
Terzo dubbio
Sulla scia del secondo dubbio, mi chiedo se, scrivendo l'equazione del moto rispetto al sistema di riferimento solidale con il piano in rotazione (non inerziale), dovrei giungere a questo risultato:
$mveca_S= ma_[Sigma] - m(omegaveck xx (omegaveck xx zetaveci)) - m(2omegaveck xx (dot(zeta)veci + dot(eta)vecj))$
E' corretto?
Ma soprattutto, chi è $ma_[Sigma]$? su due piedi direi $-kxvecu_x$, ovvero la forza elastica, ma penso proprio che sbaglierei, inoltre avrei un versore di un sistema di riferimento diverso da quello dell'equazione del moto.
Risposte
Non capisco perché scrivi le accelerazioni (rivediti i concetti di forze apparenti, io ne ho parlato recentemente qua).
Io farei così.
Visto che il secondo quesito è molto più semplice partirei da quello, infatti nel sistema inerziale esterno, dato che non c'è attrito tra massa e piano, semplicemente vale:
$m ddot s = - k (s-s_0)$ con $s$ generico spostamento della molla dall'estremo fisso.
Scrivere (e risolvere) invece rispetto al sistema mobile è molto più complicato, questo è il classico caso in cui conviene ragionare dal sistema inerziale esterno.
Comunque nel sistema mobile io ragionerei in coordinate polari.
Edit
Rimosso quanto scritto prima: avevo sbagliato il calcolo delle componenti delle accelerazioni polare e tangenziale, devo rivederlo...
Io farei così.
Visto che il secondo quesito è molto più semplice partirei da quello, infatti nel sistema inerziale esterno, dato che non c'è attrito tra massa e piano, semplicemente vale:
$m ddot s = - k (s-s_0)$ con $s$ generico spostamento della molla dall'estremo fisso.
Scrivere (e risolvere) invece rispetto al sistema mobile è molto più complicato, questo è il classico caso in cui conviene ragionare dal sistema inerziale esterno.
Comunque nel sistema mobile io ragionerei in coordinate polari.
Edit
Rimosso quanto scritto prima: avevo sbagliato il calcolo delle componenti delle accelerazioni polare e tangenziale, devo rivederlo...
"Faussone":
Non capisco perché scrivi le accelerazioni (rivediti i concetti di forze apparenti, io ne ho parlato recentemente qua).
Gentilissimo, appena letto, molto utile. Effettivamente non conviene proprio tanto seguire la strada da me intrapresa in generale.
Per l'applicazione del secondo principio, per evitare di fare errori, cito ciò che hai scritto:
$m vec a =vec F_e$
Dal momento che
$vec a=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$
Posso scrivere:
$m (vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r))=vec F_e$
Ovvero:
$m vec a_r= -m (vec(\alpha) \times vec(r))-m vec(a_o) - m (vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r))) -2 m (vec(omega) \times vec(v_r))+ vec F_e$
Penso che d'ora in poi farò così, senza andare a fare tanti giri inutili.
Confermi la correttezza di ciò che hai scritto?
"Faussone":
Io farei così.
Visto che il secondo quesito è molto più semplice partirei da quello, infatti nel sistema inerziale esterno, dato che non c'è attrito tra massa e piano, semplicemente vale:
$m ddot s = - k (s-s_0)$ con $s$ generico spostamento della molla dall'estremo fisso.
Scrivere (e risolvere) invece rispetto al sistema mobile è molto più complicato, questo è il classico caso in cui conviene ragionare dal sistema inerziale esterno.
Dal momento che:
$m vec a_r= -m (vec(\alpha) \times vec(r))-m vec(a_o) - m (vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r))) -2 m (vec(omega) \times vec(v_r))+ vec F_e$
e che tutti i termini sono scritti con le coordinate del sistema di riferimento mobile, scriverò anche $F_e$ con tali coordinate
($zeta$, $eta$ e $xi$ di prima).
Corretto?
Confermo, a parte le equazioni nel sistema mobile in coordinate polari che ho cancellato perché non andavano bene.
Ho rlfatto i conti per trovare le equazioni nel sistema rotante.
Lavorando in cordinate polari la difficoltà è nello scrivere bene le componenti di velocità e accelerazione in direzione radiale $r$ e circonferenziale $theta$, mentre il calcolo delle forze è più semplice.
Dunque in cordinate polari $r$ e $theta$ per le velocità si ha:
$v_r=dot r$
$v_theta=r dot theta$
Per le accelerazioni si ha:
$a_r=ddot r-r dot theta^2$
$a_{theta}=rddot theta + 2 dot r dot theta$
Quindi le equazioni differenziali del moto diventano
$m a_{r} \equiv m(ddot r-r dot theta^2)=-k (r-r_0)+m omega^2 r +2 m omega r dot theta$
$m a_{theta} \equiv m (rddot theta + 2 dot r dot theta)=-2m omega dot r$
In cordinate cartesiane diventa più semplice la parte a sinistra, ma più difficile quella a destra, comunque assolutamente non impossibile.
Provaci tu.
Lavorando in cordinate polari la difficoltà è nello scrivere bene le componenti di velocità e accelerazione in direzione radiale $r$ e circonferenziale $theta$, mentre il calcolo delle forze è più semplice.
Dunque in cordinate polari $r$ e $theta$ per le velocità si ha:
$v_r=dot r$
$v_theta=r dot theta$
Per le accelerazioni si ha:
$a_r=ddot r-r dot theta^2$
$a_{theta}=rddot theta + 2 dot r dot theta$
Quindi le equazioni differenziali del moto diventano
$m a_{r} \equiv m(ddot r-r dot theta^2)=-k (r-r_0)+m omega^2 r +2 m omega r dot theta$
$m a_{theta} \equiv m (rddot theta + 2 dot r dot theta)=-2m omega dot r$
In cordinate cartesiane diventa più semplice la parte a sinistra, ma più difficile quella a destra, comunque assolutamente non impossibile.
Provaci tu.
"Faussone":
In cordinate cartesiane diventa più semplice la parte a sinistra, ma più difficile quella a destra, comunque assolutamente non impossibile.
Provaci tu.
Ci provo Faussone, vediamo se sono in grado.
Mi sono reso conto che ho dato per scontato che fosse chiara una cosa: scrivere le equazioni differenziali del moto rispetto al sistema mobile, per questo problema, è utile come esercizio fine a se stesso; se si vuole descrivere il moto nel sistema mobile conviene partire dal moto nel sistema fisso, abbastanza semplice in questo problema come detto, e poi a quello sovrapporre la rotazione. Così è molto facile, integrare le equazioni differenziali nel sistema mobile invece non è propriamente agevole in questo caso. Per questo avevo detto che questo è un tipico caso in cui è meglio ragionare nel sistema fisso inerziale.
"Faussone":
Mi sono reso conto che ho dato per scontato che fosse chiara una cosa: scrivere le equazioni differenziali del moto rispetto al sistema mobile, per questo problema, è utile come esercizio fine a se stesso; se si vuole descrivere il moto nel sistema mobile conviene partire dal moto nel sistema fisso, abbastanza semplice in questo problema come detto, e poi a quello sovrapporre la rotazione. Così è molto facile, integrare le equazioni differenziali nel sistema mobile invece non è propriamente agevole in questo caso. Per questo avevo detto che questo è un tipico caso in cui è meglio ragionare nel sistema fisso inerziale.
Sì, in effetti, per scrivere la legge oraria vista dall'sdr inerziale, a terra, basterebbe scrivere
$x(t)= x'(t) + text([legge oraria del sdr mobile])$
Dove $x'(t)$ è la legge oraria del punto P visto dal SDR mobile.
Confermi?
"anonymous_be0efb":
[....]
Confermi?
Sì.
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