Secondo teorema di Konig???
Salve a tutti ho bisogno di una mano: non riesco a farmi entrare in testa una cosa che sarà sicuramente banale!
Il teorema di Konig mi dice che l energia cinetica di un sistema è la somma tra energia cinetica dei punti materiali rispetto al centro di massa e l'energia cinetica del centro di massa stesso!
$ k= sum_i (1/2)(m_i)(v^2_CM) + sum_i (1/2)(m_i)(v^2_i) $
Poiché $ v_sis = (v_i) + v_CM $
Allora $ K= sum_i (1/2)(m_i)v^2_sis = sum_i (1/2)(m_i)(v^2_CM) + sum_i (1/2)(m_i)(v^2_i) + v_CM sum_i (m_i)(v_i); $
Si arriva all enunciato del teorema perché l ultimo termine viene cancellato. PERCHÉ????
Dicono: il sistema di punti è solidale al centro di massa, quindi la velocità del centro di massa è nulla!
Ma anche allora anche il primo membro dovrebbe annullarsi! Ma poi.. praticamente, se io sto su un'autovettura e considero il centro di massa l auto senza pneumatici e i punti materiali come quelli delle ruote che toccano l asfalto, se la macchina si muove, perché la v del cm dovrebbe essere nulla?
Perché il sistema dei punti è solidale al centro di massa! Bene...e quel termine dell equazione come mi indica che sto calcolando la velocità del mc rispetto agli altri punti materiali????
Il teorema di Konig mi dice che l energia cinetica di un sistema è la somma tra energia cinetica dei punti materiali rispetto al centro di massa e l'energia cinetica del centro di massa stesso!
$ k= sum_i (1/2)(m_i)(v^2_CM) + sum_i (1/2)(m_i)(v^2_i) $
Poiché $ v_sis = (v_i) + v_CM $
Allora $ K= sum_i (1/2)(m_i)v^2_sis = sum_i (1/2)(m_i)(v^2_CM) + sum_i (1/2)(m_i)(v^2_i) + v_CM sum_i (m_i)(v_i); $
Si arriva all enunciato del teorema perché l ultimo termine viene cancellato. PERCHÉ????
Dicono: il sistema di punti è solidale al centro di massa, quindi la velocità del centro di massa è nulla!
Ma anche allora anche il primo membro dovrebbe annullarsi! Ma poi.. praticamente, se io sto su un'autovettura e considero il centro di massa l auto senza pneumatici e i punti materiali come quelli delle ruote che toccano l asfalto, se la macchina si muove, perché la v del cm dovrebbe essere nulla?
Perché il sistema dei punti è solidale al centro di massa! Bene...e quel termine dell equazione come mi indica che sto calcolando la velocità del mc rispetto agli altri punti materiali????
Risposte
Nel sistema di riferimento inerziale si ha che
$$E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{i})$$
dal teorema delle velocità relative (tra sistema di riferimento inerziale e sistema di riferimento del centro di massa) invece si ha che
$$\vec{v}_{i}=\vec{v}_{CM}+\vec{v}_{i}'$$
ovvero sostituendo
$$E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})\cdot(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(v^{2}_{CM}+v'^{2}_{i}+2\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i})=$$
$$=\frac{1}{2}Mv^{2}_{CM}+\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v'^{2}_{i}+\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i}=E_{kCM}+E_{k'}+\vec{v}_{CM}\cdot\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}$$
Nell'ultimo termine la velocità del centro di massa non dipende dall'indice $i$ e quindi esce dalla sommatoria; mentre per le proprietà delle masse $m_{i}$ e del prodotto scalare la sommatoria e le stesse masse entrano nel prodotto scalare.
A questo punto devi osservare che la posizione del centro di massa misurata NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA è identicamente nulla, e quindi lo sono anche la velocità e l'accelerazione del centro di massa misurate NELLO STESSO SISTEMA DI RIFERIMENTO, ovvero
$$\vec{v}'_{CM}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}}{M}=\vec{0}\hspace{0.5 cm}\Rightarrow\hspace{0.5 cm}\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}=\vec{0}$$
$$E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(\vec{v}_{i}\cdot\vec{v}_{i})$$
dal teorema delle velocità relative (tra sistema di riferimento inerziale e sistema di riferimento del centro di massa) invece si ha che
$$\vec{v}_{i}=\vec{v}_{CM}+\vec{v}_{i}'$$
ovvero sostituendo
$$E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})\cdot(\vec{v}_{CM}+\vec{v}'_{i})=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}(v^{2}_{CM}+v'^{2}_{i}+2\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i})=$$
$$=\frac{1}{2}Mv^{2}_{CM}+\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v'^{2}_{i}+\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{CM}\cdot\vec{v}'_{i}=E_{kCM}+E_{k'}+\vec{v}_{CM}\cdot\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}$$
Nell'ultimo termine la velocità del centro di massa non dipende dall'indice $i$ e quindi esce dalla sommatoria; mentre per le proprietà delle masse $m_{i}$ e del prodotto scalare la sommatoria e le stesse masse entrano nel prodotto scalare.
A questo punto devi osservare che la posizione del centro di massa misurata NEL SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA è identicamente nulla, e quindi lo sono anche la velocità e l'accelerazione del centro di massa misurate NELLO STESSO SISTEMA DI RIFERIMENTO, ovvero
$$\vec{v}'_{CM}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}}{M}=\vec{0}\hspace{0.5 cm}\Rightarrow\hspace{0.5 cm}\sum_{i}m_{i}\vec{v}'_{i}=\vec{0}$$
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