Secondo esercizio di elettrostatica

[yessa1]

Oltre al precedente c'è un secondo esercizio che mi ha fatto penare



Ho provato a risolverlo integrando sulla sfera sfruttando il fatto che vi è una dipendenza dal raggio ma arrivo ben presto ad integrali abbastanza lunghi.
Non riesco a trovare una strategia per portarlo a termine.

Spero in qualche spiegazione eprché non riesco proprio.

[Quinzio]

Per il primo punto dovresti integrare dei gusci sferici...

$\int_0^{+infty}\ 4\pi\ r^2 C e^(-(2r)/(a_0))\ dr$

$ = 4\pi\ C \int_0^{+infty}\ r^2 e^(-(2r)/(a_0))\ dr$

che risolviamo per parti (omettiamo temporaneamente il $4\pi\ C$)

$ = \int_0^{+infty}\ r^2 e^(-(2r)/(a_0))\ dr$

$ = -a_0/2 r^2 e^(-(2r)/(a_0)) \right]_0^{+infty} +a_0 \int_0^{+infty}\ r e^(-(2r)/(a_0))\ dr$

$ = 0 + a_0 \int_0^{+infty}\ r e^(-(2r)/(a_0))\ dr$

$ = -a_0^2/2 r e^(-(2r)/(a_0)) \right]_0^{+infty} + a_0^2/2 \int_0^{+infty}\ e^(-(2r)/(a_0))\ dr$

$ = -a_0^3/4 e^(-(2r)/(a_0)) \right]_0^{+infty} $

$ = a_0^3/4$

Allora

$ 4\pi\ C a_0^3/4 = e$

$ C = e/(\pi\ a_0^3)$

[Quinzio]

Per la seconda parte riprendiamo la soluzione precedente

$Q/(4\pi C) = -a_0/2 r^2 e^(-(2r)/(a_0)) \right]_0^{R} -a_0^2/2 r e^(-(2r)/(a_0)) \right]_0^{R} -a_0^3/4 e^(-(2r)/(a_0)) \right]_0^{R} $

e si sotituisce $R$ con $a_0$, e si calcola la soluzione.

[yessa1]

Grazie ora me lo riguardo per bene Almeno ora ho un'idea su cui ragionare.

Sei gentilissimo

EDITO:
Per la prima parte avevo fatto lo stesso integralee a parte un errore di calcolo che vedo solo ora avevo estero al raggio di Bhor e non a infinito. Non avevo capito che quella era la distribuzione fino ad una sfera infinita

La seconda parte invece non ho capito perché parti da $Q/(4piC)$
Mi sembra che stai integrando sul raggio R e non più a infinito la stessa espressione, ma non sarebbe comeintegrare $\rho*dv$ e non $Q/(4piC)$. Non ho capito quel termine dell'uguaglianza

Mille grazie-