Seconda equazione cardinale della dinamica nel piano
Buona domenica,
vorrei svolgere un facile esercizio di meccanica delle vibrazioni (piccole oscillazioni), ma non capisco perché commetto un errore di segno a livello delle equazioni della dinamica.
Il meccanismo consta di due aste lunghe $L$ e dense $rho$ (momento d'inerzia rispetto ad un estremo pari a $J=1/3rhoL^3$), vincolate al telaio mediante una cerniera e fra loro mediante una biella; inoltre l'asta di destra è vincolata al telaio anche tramite una molla di costante elastica $k$.
Ipotizzo $theta$ orario. Per convenzione, consideriamo uscente il verso antiorario ed entrante quello orario. Scegliamo come poli i centri delle due cerniere a terra.
La seconda equazione della dinamica per l'asta di sinistra è:
$Jddottheta+LF_(32)=0 rarr F_(32)=-J/Lddottheta rarr F_(23)=J/Lddottheta$
La seconda equazione della dinamica per l'asta di destra è:
$Jddottheta-LF_(23)+L/2F_(13)=0 rarr Jddottheta-L*J/Lddottheta+L/2*kL/2theta=0 rarr theta=0$
Invece dovrebbe uscire un'equazione differenziale del tipo $ddottheta=omega_n^2theta$. L'errore è che l'equazione che porta al risultato sarebbe dovuta essere $Jddottheta+L*J/Lddottheta+L/2*kL/2theta=0$ (con un segno diverso al secondo termine), ma non capisco perché.
Grazie.
vorrei svolgere un facile esercizio di meccanica delle vibrazioni (piccole oscillazioni), ma non capisco perché commetto un errore di segno a livello delle equazioni della dinamica.
Il meccanismo consta di due aste lunghe $L$ e dense $rho$ (momento d'inerzia rispetto ad un estremo pari a $J=1/3rhoL^3$), vincolate al telaio mediante una cerniera e fra loro mediante una biella; inoltre l'asta di destra è vincolata al telaio anche tramite una molla di costante elastica $k$.
Ipotizzo $theta$ orario. Per convenzione, consideriamo uscente il verso antiorario ed entrante quello orario. Scegliamo come poli i centri delle due cerniere a terra.
La seconda equazione della dinamica per l'asta di sinistra è:
$Jddottheta+LF_(32)=0 rarr F_(32)=-J/Lddottheta rarr F_(23)=J/Lddottheta$
La seconda equazione della dinamica per l'asta di destra è:
$Jddottheta-LF_(23)+L/2F_(13)=0 rarr Jddottheta-L*J/Lddottheta+L/2*kL/2theta=0 rarr theta=0$
Invece dovrebbe uscire un'equazione differenziale del tipo $ddottheta=omega_n^2theta$. L'errore è che l'equazione che porta al risultato sarebbe dovuta essere $Jddottheta+L*J/Lddottheta+L/2*kL/2theta=0$ (con un segno diverso al secondo termine), ma non capisco perché.
Grazie.
Risposte
Non trovo più il pulsante BUMP. Forse si può usare una volta sola? Comunque: BUMP.
Scusa se formatto male ma sono col telefono. Nella seconda equazione anche F23 deve avere il segno positivo perché F23 (così come F32 nella prima) rappresentano le componenti della forza rispetto ad un asse x orizzontale orientato a destra. Quindi, affinché la seconda equazione cardinale abbia senso, ci vuole il segno più. Infatti, se la componente della forza è positiva, quindi verso destra, l'angolo teta avrà derivata seconda negativa (infatti accelererà in verso orario) e quindi il primo membro della equazione si può annullare. Questo ragionamento si applica indifferentemente a tutte e due le equazioni che hai scritto. È vero che le due forze saranno sempre opposte per il terzo principio, ma questa è un'altra cosa. Spero di essere stato chiaro.
Grazie per la risposta, @mathbells. In realtà, ho risolto un esercizio analogo allo stesso modo ed ottenevo il risultato corretto (poi magari il procedimento è sbagliato). Perché lì andava bene e qui no? Grazie.
In questo problema il ragionamento è lo stesso ma la situazione è diversa. L'asta 2, se la forza F32 è positiva (verso destra), accelera in verso antiorario e quindi la derivata seconda di teta è positiva; ne segue che ci vuole il segno meno affinché il primo membro dell'equazione si annulli. Ragionando allo stesso modo, l'equazione che hai scritto per l'asta 3 mi pare errata, perché avresti dovuto scrivere $+LF_{23}$ (infatti se $F_{23}$ è positiva, $\ddot\theta$ è negativa). Dunque la forma dell'equazione differenziale per $\theta$ va bene ma $\omega_n$ ti dovrebbe venire di un valore diverso, prova a ricontrollare.
Il concetto è che i segni delle componenti della forza e della variazione del momento angolare devono essere riferiti ad una terna destra cartesiana. Se immagini un asse z uscente dal foglio, hai un asse x verso destra ed un asse y verso l'alto. I segni dei vari termini nella seconda equazione cardinale devono essere coerenti con questa scelta.
Il concetto è che i segni delle componenti della forza e della variazione del momento angolare devono essere riferiti ad una terna destra cartesiana. Se immagini un asse z uscente dal foglio, hai un asse x verso destra ed un asse y verso l'alto. I segni dei vari termini nella seconda equazione cardinale devono essere coerenti con questa scelta.
Allora, ho controllato tutti gli esercizi sulla base di quello che mi hai spiegato e ho capito di averne azzeccati alcuni solo perché in alcuni casi ho sbagliato i segni in modo che l'errore si... annullasse! Ora li ho rifatti e mi escono tutti, ho capito. Grazie 1000.
Prego 
"Bubbino1993":
La seconda equazione della dinamica per l'asta di sinistra è:
$Jddottheta+LF_(32)=0 rarr F_(32)=-J/Lddottheta rarr F_(23)=J/Lddottheta$
La seconda equazione della dinamica per l'asta di destra è:
$Jddottheta-LF_(23)+L/2F_(13)=0 rarr Jddottheta-L*J/Lddottheta+L/2*kL/2theta=0 rarr theta=0$
Invece dovrebbe uscire un'equazione differenziale del tipo $ddottheta=omega_n^2theta$. L'errore è che l'equazione che porta al risultato sarebbe dovuta essere $Jddottheta+L*J/Lddottheta+L/2*kL/2theta=0$ (con un segno diverso al secondo termine), ma non capisco perché.
Secondo me sbagli nello scrivere la seconda equazione. In particolare tu attribuisci un segno esplicito che riflette il fatto che le due forze $F_{23}$ e $F_{32}$ sono opposte, ma poi usi questo segno quando fai la sostituzione, quindi di fatto è come se lo considerassi due volte. Prova per esempio a scrivere le forze per componenti, approssimando che per piccole oscillazioni le forze siano perpendicolari alle barrette, e sempre orizzontali, e vedi un pò che equazioni vengono fuori.
Sì, ho risolto.
$Jddottheta+LF=0 rarr F=-J/Lddottheta$
$Jddottheta-LF+kL^2/4theta=0 rarr Jddottheta+Jddottheta+kL^2/4theta=0 rarr 2Jddottheta+kL^2/4theta=0 rarr ddottheta+(kL^2)/(8J)theta=0 rarr ddottheta+omega_n^2theta=0$
Grazie.
$Jddottheta+LF=0 rarr F=-J/Lddottheta$
$Jddottheta-LF+kL^2/4theta=0 rarr Jddottheta+Jddottheta+kL^2/4theta=0 rarr 2Jddottheta+kL^2/4theta=0 rarr ddottheta+(kL^2)/(8J)theta=0 rarr ddottheta+omega_n^2theta=0$
Grazie.
"Bubbino1993":
Sì, ho risolto.
Ooops, scusa per il doppione, quando ho scritto per qualche strano motivo non mi caricava nessun messaggio del 9 luglio...non so se dipende dalla mia connessione al momento fatiscente...
Figurati, grazie lo stesso per la risposta. 
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